Section4:Anneau des polynômes à une indéterminée et extensions

On va donner la définition générale d’un polynôme à coefficients dans un anneau $𝔸$ commutatif et unitaire.
Ensuite, on se restreint au cas important où $𝔸=𝕂$ est un corps.
Considérons l’ensemble,
${𝔸}_F^{\mathbb{N}}\subset {𝔸}^{\mathbb{N}}$ des suites d’éléments de $𝔸$ dont les termes sont nuls à partir d’un certain rang. On munit cet ensemble des deux lois suivantes :

$${(a_k)}_{k\in \mathbb{N}}+{(b_k)}_{k\in \mathbb{N}}={(a_k+b_k)}_{k\in \mathbb{N}}$$

et

$${(a_k)}_{k\in \mathbb{N}}\ast {(b_k)}_{k\in \mathbb{N}}={(c_k)}_{k\in \mathbb{N}}\mathrm{a}vec{c}_n=\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j,n\in \mathbb{N}.$$

On identifie $𝔸$ à l’ensemble $\{(a_0,0,\mathrm{\dots }),a_0\in 𝔸\}$ des suites particulières, soit

$$𝔸\sim \{(a_0,0,\mathrm{\dots }),a_0\in 𝔸\}$$

On note

$$X^k=(0,\mathrm{\dots },a_k,0,\mathrm{\dots }),k\in \mathbb{N}$$

L’ensemble ${𝔸}_F^{\mathbb{N}}$ muni des deux opérations $+$ et $\ast$ est appelé ensemble des polynômes à coefficients sur $𝔸$. On le note $𝔸[X]$. L’addition et la multiplication de deux polynômes $A$ et $B$ sont donc données par:

$$C=A+B=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k+b_k)X^k$$

$$C=A\ast B=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{X}^n\sum _{k=0}^{k=\mathrm{\infty }}{a}_k{b}_{n-k}=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{b}_j{X}^{i+j}$$

On introduit la multiplication par un élément $\lambda \in 𝕂$

$$\lambda P=\lambda (a_0,a_1,\mathrm{\dots },a_{\mathrm{\infty }})=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\lambda a_k)X^k.$$

On peut vérifier que le produit $\lambda P$ est aussi le produit de $P$ par le polynôme constant $P=(\lambda ,0,\mathrm{\dots },)$ identifié au scalaire $\lambda$.
On remplace souvent les notations $+$ et $\ast$ par celles de l’addition et de la multiplication sur $𝕂$.
La famille des suites $X^k$ pour $k\in \mathbb{N}$ constitue la base canonique de l’ensemble ${𝔸}_F^{\mathbb{N}}$ identifié à $𝔸[X]$.
On obtient alors l’écriture unique suivante pour tout polynôme $P$ de $𝔸[X]$.

$$P=(a_0,a_1,\mathrm{\dots },a_{\mathrm{\infty }})=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{X}^k.$$

L’ensemble $𝔸[X]$ possède la structure d’un $𝔸$-module pour l’addition et la multiplication par un scalaire. Si $𝔸=𝕂$ est un corps, alors $𝕂[X]$ est un $𝕂-$espace vectoriel.
Autres définitions
(1)–Les lois ainsi définies sont des lois internes et associatives.
(2)–La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
(3)–La multiplication admet comme élément neutre le polynôme $(1,0\mathrm{\dots })$ qui sera identifié à $1$.
(4)–L’addition admet comme élément neutre le polynôme $(0,0\mathrm{\dots })$ appelé polynôme nul.
(5)–Le plus petit indice $k$ tel que $a_k\ne 0$ est appelé
valuation de $P$ et on le note $val(P)$. Par convention, $\mathrm{v}al(0)=+\mathrm{\infty }$.
On a $\mathrm{d}eg(X^k)=\mathrm{v}al(X^k)=k$.
(6)–Si $P\ne 0$, le plus grand indice $k$ tel que $a_k\ne 0$ est appelé degré de $P$ et on le note $\mathrm{d}eg(P)$.
(7)–Si $P=0$, par convention le degré de $P$ est $-\mathrm{\infty }$. Pour $P\in 𝔸[X]$ où $𝔸$ est un anneau intègre ou un corps $𝕂$, on a l’équivalence suivante :

$$P=0\iff \mathrm{d}eg(P)=-\mathrm{\infty }.$$

(8)–Le coefficient
$a_{\mathrm{d}eg(P)}$ est appelé coefficient dominant de $P$.
(9)–Le support de $P$ est l’ensemble des $n\in \mathbb{N}$ tels que $a_n\ne 0$. Le support d’un polynôme est donc fini.
(10)–Un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est $1$.
(11)–Deux polynômes $P$ et $Q$ non nuls sont dits associés s’il existe $\lambda$ inversible tel que $P=\lambda Q$.

Pour démontrer le point $(3)$, le résultat étant évident si l’un des polynôme est nul, on suppose donc les deux polynômes non nuls
et on vérifie que si les termes dominants de $P$ et $Q$ sont $a{X}^p$ et $b{X}^q$ alors le terme dominant de $PQ$ est donné par
$ab{X}^{p+q}$. On utilise la relation qui définit le coefficient $c_n$ du polynôme produit. On vérifie alors que $c_n=0$ pour
$n>p+q$ et que $c_{p+q}=0+a_p{b}_q+0=a_p{b}_q$. Si l’anneau $𝔸$ est intègre, on a $a_p{b}_q\ne 0$.
Autres définitions et propriétés dans $𝔸[X]$

1. 1.

   $\mathrm{d}eg(P+Q)\le sup[\mathrm{d}eg(P),\mathrm{d}eg(Q)]$ avec égalité notamment si $\mathrm{d}eg(P)\ne \mathrm{d}eg(Q)$.

2. 2.

   $\mathrm{v}al(P+Q)\le sup[\mathrm{v}al(P),\mathrm{v}al(Q)]$ avec égalité notamment si $\mathrm{v}al(P)\ne \mathrm{v}al(Q)$.

3. 3.

   La composition de deux polynômes est définie par

   $$PoQ=P[Q(X)]=\sum _{k=0}^{k=n}{a}_{k}Q{(X)}^k$$

   et elle admet le polynôme $X$ comme élément neutre.

4. 4.

   $(P+Q)\circ R=P\circ R+Q\circ R$ mais en général $P\circ (Q+R)\ne P\circ Q+P\circ R$.

5. 5.

   $\mathrm{d}eg(P\circ Q)=\mathrm{d}eg(P)\mathrm{d}eg(Q)$.

6. 6.

   La multiplication se traduit par $X^n\ast X^m=X^{n+m}$ et elle admet $X^0\stackrel{\mathrm{\Delta }}{=}1$ comme élément neutre.

Le cas pratique important correspond à la situation où $𝔸=𝕂$ est un corps $(\mathbb{Q},ℝ,ℂ)$. L’ensemble $𝕂[X]$ est alors un anneau commutatif, unitaire et intègre. Mais, on est amené parfois à considérer des polynômes dont les coefficients n’appartiennent pas à un corps mais à anneau commutatif tel que l’ensemble des entiers relatifs et même à un anneau non commutatif tel que l’ensemble des matrices carrées d’ordre $N$.
Dérivation, intégration, formules de Leibnitz et de Taylor sur $𝔸[X]$
Comme sur l’ensembles des fonctions, on introduit sur l’anneau des polynômes les opérations classique qui sont la composition et la dérivation :

$$P(X)=\sum _{k=0}^{k=n}{a}_k{X}^k,P^{\prime }=\sum _{k=0}^{k=n}k{a}_k{X}^{k-1},P^{(n+1)}=0.$$

$$P(X)=\sum _{k=0}^{k=n}{a}_k{X}^k,\int P=\sum _{k=0}^{k=n}{a}_k\frac{X^{k+1}}{(k+1)!}+Cte.$$

$$P\circ Q=P[Q(X)]=\sum _{k=0}^{k=n}{a}_{k}Q{(X)}^k,{(P\circ Q)}^{\prime }=P^{\prime }[Q]Q^{\prime }.$$

Comme pour les fonctions, la dérivation des polynôme est une opération linéaire et la dérivée
d’ordre $n$ d’un produit est donnée par la formule de Leibnitz suivante :

$${(PQ)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{𝒞}_k^n{P}^{(k)}{Q}^{(n-k)}.$$

Lorsque $𝕂$ est un corps, l’anneau $𝕂[X]$ est un anneau intègre et donc tout polynôme $Q$ non nul est un élément régulier de $𝕂[X]$. On peut donc simplifier par un tel élément, soit
$QP=QR$ avec $Q\ne 0$ implique toujours $P=R$.
La formule de Taylor pour un polynôme $P\in 𝕂[X]$ au point $\lambda \in 𝕂$ est donnée par

$$P(X)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{X}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{P^{(k)}(\lambda )}{k!}{(X-\lambda )}^k\lambda \in 𝕂\text{Taylor}\}.$$

Démontrons la formule pour $\lambda =0$ en évaluant les dérivées d’ordre $k>0$ en $0$. On a

$$P^k(0)=a_{k}k!,a_k=\frac{P^k(0)}{k!}.$$

D’où la formule pour $\lambda =0$. On applique ensuite cette formule à $Q=P(X+\lambda )$. On obtient

$$P(X+\lambda )=Q(X)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{Q^{(k)}(0)}{k!}{X}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{P^{(k)}(\lambda )}{k!}{X}^k$$

Remplaçant $X$ par $X-\lambda$, on obtient le développement de Taylor pour $\lambda$ quelconque.
Évaluation de $P\in 𝔸[X]$ sur $𝔸$ ou sur un autre anneau ${𝔸}^{\prime }$
Étant donnée une $𝔸$-algèbre associative, commutative et unitaire.
On peut identifier le polynôme

$$P=\sum _{k=0}^{k=n}{a}_k{X}^k$$

à l’application de $𝔸$ dans $𝔸$, définie par

$$\tilde{P}:x\in 𝔸\to \tilde{P}(x)=\sum _{k=0}^{k=n}{a}_k{x}^k$$

dénommée application polynômiale associée à $P$. S’il n’y a pas d’ambiguïté, on remplace la notation $\tilde{P}$ par $P$.
Attention Il est important de noter que
le polynôme $P$ est
défini par la donnée d’une suite de nombres d’un corps $𝕂$ (ou d’un anneau commutatif $𝔸$) et peut être évalué sur des ensembles assez larges. L’évaluation de $P$ au point $x\in 𝔼$ consiste à remplacer $X$ par $x$ à condition que les opérations $x^k$,
$a{x}^k$ et $a{x}^k+b{x}^h$ soient clairement définies sur $𝔼$. L’évaluation ne pose aucun problème si $𝔼=𝔸$ mais si $𝔼$ est, par exemple, l’espace des matrices, on est obligé de se restreindre au sous-espaces des matrices carrées et de même dimension.
Par exemple, si $x$ est une matrice carrée et $a_k$ un scalaire, l’opération $a_k{x}^k$ est bien définie et conduit à une matrice. On peut évaluer un polynôme à coefficients dans $𝔸$ sur l’ensemble des matrices ${ℳ}_n(𝔸)$ à éléments dans $𝔸$ etc…
L’évaluation conduit à l’application polynômiale $\tilde{P}$ qui prend donc ses valeurs sur $𝔼$. Par exemple si $x=f$ est un endomorphisme, alors $\tilde{P}(f)$ est aussi un endomorphisme et non plus un polynôme.
Si on évalue $P=X^2-X-a$ sur l’ensemble des endomorhismes, on doit écrire,$P(f)=f^2-f-a{I}_d$ où $I_d$
désigne l’endomorphisme identité et l’écriture $a{I}_d$ rappelle que l’on additionne des endomorphismes.
L’écriture $2\sqrt{3}-1/3$ peut être vue comme l’évaluation sur $ℝ$ de $2X-1/3$ en tant que
polynôme de $\mathbb{Q}[X]$. L’écriture $P=X+\sqrt{2}$ ne peut pas représenter une évaluation car
elle contient $X$, elle désigne un polynôme de $ℝ[X]$ ou de $ℂ[X]$.
Les lois qui définissent l’anneau sont des lois internes. Donc le composé de deux polynômes de
$𝔸[X]$ doit être un polynôme à coefficients dans $𝔸$. Par exemple, l’anneau $\mathbb{Q}[X]$ ne peut pas contenir un polynôme du type $X+\sqrt{2}$ qui est par contre élément de $ℝ[X]$. L’anneau $ℝ[X]$ ne contient pas le polynôme $X+1+i$ qui est un élément de $ℂ[X]$, etc…Certaines propriétés de $𝔸[X]$ sont liées à sa structure d’anneau (règles de calcul, division euclidienne, etc …) et $𝔸[X]$ possède d’autres propriétés liées à $𝔸$ (factorisation, existence de racines, …). On appelle racine où zéro d’un polynôme sur $𝔼$, un élément
$x𝔼$ pour lequel $\tilde{P}(x)=0$. On reviendra sur cette notion importante plus loin.
L’écriture $PQ=0$ signifie que $PQ$ est le polynôme nul et n’introduit aucune évaluation du
polynôme. L’écriture $P(u)=0$ pour $u\in 𝔼$ signifie que sur l’ensemble
$𝔼$, la grandeur $P(u)$, qui est bien définie, est égale au « zéro » de $𝔼$. Par exemple,
si $u$ est un endomprphisme et $P=X^2-X$,
$P(u)=0$ signifie que l’endomorphisme $u$ vérifie $u^2-u=0$ et c’est donc un projecteur. Cette identité qui s’écrit
aussi $u\circ (u-I)=(u-I)\circ u=0$ signifie que l’image de $u$ est incluse dans le noyau de $u-I$ et
que l’image de $u-I$ est incluse dans le noyau de $u$.
Par exemple, le réel ${\sqrt{3}}^2-3$ peut s’interpréter comme
la valeur, pour $X=\sqrt{3}\in ℝ$, du polynôme $X^2-3$ de $\mathbb{Q}[X]$.
On appelle polynôme annulateur d’un nombre $\alpha \in ℂ$, d’un endomorphisme $\alpha \in ℒ(𝔼)$, d’une matrice $\alpha \in M_n(𝔼)$ etc…, un polynôme $P$ tel que $\tilde{P}(\alpha )=0$. A titre d’exemple,
Si $P$ est un polynôme à coefficients dans $𝕂$ et $f\in ℒ(𝔼)$, $P(f)$ est un endomorphisme. Si $𝔼$ est de dimension finie, il existe toujours un polynôme $P$ tel que $P(f)=0$. Cela signifie que pour tout $x\in 𝔼$, on a
$P(f)(x)=0$. Cela ne veut pas dire que $P$ s’annule pour une infinité de valeurs et donc $P=0$. C’est l’endomorphisme $P(f)$ qui est nul en tout point de $𝔼$ et qui est donc nul.

L’associativité permet de ramener les calculs au cas de deux polynômes.

	$R=\text{pgcd}(A,B,C)$	ssi	$R\in D_{A,B,C}=\{\text{diviseurs communs à}A,B,C\}$
		et	$\exists U,V,W\in 𝕂[X]/AU+BV+CW=R.$

Les polynômes $A,B,C$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si $\text{pgcd}(A,B,C)=1$ et il sont premiers deux à deux si

$$\text{pgcd}(A,B)=\text{pgcd}(B,C)=\text{pgcd}(A,C)=1.$$

La seconde propriété implique la première mais la réciproque est fausse.
Soient $A,B,C$ trois polynômes non tous nuls. Alors on a

$$\text{pgcd}(A,B,C)=1\text{ssi}\exists U,V,W\in 𝕂[X]/AU+BV+CW=1.$$

Soient $A,B,C$ trois polynômes non tous nuls et $R$ un polynôme unitaire. Alors on a

	$\text{pgcd}(A,B,C)=R$		$\text{ssi}\exists U,V,W\in 𝕂[X]\text{tels que}$
			$A=RU,B=RV,C=RW\text{ et pgcd}(A,B,C)=1.$

On dit que le polynôme $B$ divise le polynôme $A$ ou que $A$ est un multiple de $B$ s’il existe un polynôme $Q$ tel que $A=QB$.
Cette relation, appelée relation de divisibilité, se note $A|B$ et elle est réflexive et transitive.
C’est une relation d’ordre sur l’ensemble des polynômes unitaires ou nuls, mais elle n’est pas antisymétrique sur $𝕂[X]$. En effet, si
$A|B$ et $B|A$, il existe $\lambda \in 𝕂$ tel que $A=\lambda B$.

A titre d’exemple, deux polynômes
$X-\lambda$ et $X-\alpha$ sont premiers entre eux si et seulement si $\lambda \ne \alpha$. Dans ce cas particulier, l’identité de Bezout s’énonce comme suit.

$$\forall \alpha ,\beta \in 𝕂,\exists U,V\in 𝕂[X]\text{ tels que }(X-\alpha )U(X)+(X-\beta )V(X)=1.$$

IL y a un grand lien entre la divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et dans $\mathbb{Z}[X]$. A titre d’exemple, l’identité

$$a^n-1=(a-1)\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k$$

permet de donner une condition suffisante pour qu’un nombre $n$ soit premier. En effet, elle montre que
si $a^n-1$ est premier, alors le facteur $a-1$ est forcément égal à $1$ et donc on a $a=2$. De plus si
$n=pq$, alors

$${(a^p)}^q-1=(a^p-1)\sum _{k=0}^{n-1}{a}^{pk}$$

et donc $a^n-1$ n’est pas premier.

Cette propriété fait de $𝕂[X]$ un anneau euclidien.
Sa démonstration repose sur l’existence d’une application de $𝕂[X]$ sur $\mathbb{Z}$ qui associe à tout polynôme son degré. On utilise le fait que « toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un plus petit élément. La propriété $\mathrm{d}eg(AB)=\mathrm{d}eg(A)+\mathrm{d}eg(B)$, valable même si l’un des polynôme est nul, facilite souvent certaines démonstrations. On va donner deux démonstrations pour le point (1) de la proposition dans le cas où $𝕂=𝔸$ est un anneau tel que $\mathbb{Z}$.
Existence du couple $(Q,R)$
On va donner deux démonstrations différentes valables dans $𝕂[X]$ et dans $𝔸[X]$ si $𝔸$ est un anneau unitaire commutatif à condition
que le coefficient dominant de $B$ soit inversible.
Preuve utilisant l’existence du plus petit élément si coefficient $b$ inversible (cas d’un corps)
Si $B$ divise $A$, on a $A-KB=0$ et il suffit de prendre $R=0$. Si $B$ ne divise pas $A$, considérons l’ensemble

$$\mathrm{\Delta }=\{\mathrm{d}eg(A-KB),K\in 𝕂[X],A-KB\ne 0\}.$$

Cet ensemble contient $\mathrm{d}eg(A-B)$, il ne contient pas $-\mathrm{\infty }$. C’est donc un sous ensemble de $\mathbb{N}$ qui n’est pas vide. Il possède donc un plus petit élément $\rho$. Soit $Q$ tel que le polynôme $A-QB=R$ soit de degré $\rho$. Démontrons que . Raisonnons par l’absurde en supposant $\rho \ge \beta$. Alors,
si $r$ et $b$ désignent les coefficients dominants de $R$ et $B$ respectivement, on obtient

soit, en remplaçant $R$ par $A-QB$,

On a ainsi construit un polynôme $K_1=Q-\frac{r}{b}{X}^{\rho -\beta }$ tel que
. Ceci contredit la minimalité de $\rho$ et on a donc .
Preuve par récurrence sur le degré si coefficient $b$ inversible
Montrons l’existence en raisonnant par récurrence sur $n=\mathrm{d}eg(A)$. Posons $\mathrm{d}eg(B)=\beta$ et désignons par $a$ et $b$ les
coefficients dominants de $A$ et $B$.
Si , on prend $Q=0$, $R=A$, on a bien et donc le couple $(Q,B)$ est bien défini. Pour $n\ge \beta$, supposons l’existence de $(Q,B)$ vraie pour $\mathrm{d}eg(A)\le n-1$ et démontrons qu’elle est alors vraie pour $\mathrm{d}eg(A)=n$. Comme $b$ est inversible, on peut toujours construire le polynôme

$$A-a{b}^{-1}{X}^{n-\beta }B$$

dont le degré est strictement inférieur à $n$. Donc, par hypothèse de récurrence, il existe $Q_0,R\in 𝔸[X]$
tels que

D’où

ce qui prouve l’existence du couple $(Q=Q,R)$ pour $A$ de degré $n$.
Preuve de l’unicité lorsque $𝔸$ est intègre
Pour établir l’unicité, supposons l’existence de deux couples $(Q_1,R_1)$ et $(Q_2,R_2)$.
Alors on a $B(Q_1-Q_2)=R_1-R_2$. Supposons $Q_1\ne Q_2$. Alors $\mathrm{d}eg(Q_1-Q_2)\ge 0$ et donc
$\mathrm{d}eg[B(Q_1-Q_2)]=\mathrm{d}eg(Q_1-Q_2)+\mathrm{d}eg(B)$ car l’anneau est intègre. On obtient $\mathrm{d}eg(R_1-R_2)\ge \mathrm{d}eg(B)$.
Or

On arrive à une contradiction et donc $Q_1=Q_2$ et par suite
$R_1=R_2$.

Pour établir ce résultat, on fait une récurrence inverse sur la valuation de $C$. Si cette valuation est supérieure
ou égale à $n+1$.
Racine ou zéro d’un polynôme de $𝔸[X]$
Considérons l’identité suivante

$$P(X)=(X-\lambda )Q(X)+P(\lambda )$$

où $P\in 𝔸[X]$, $𝔸$ désigne un sous-anneau d’un anneau commutatif euclidien ${𝔸}^{\prime }$ et $\lambda$ un élément de ${𝔸}^{\prime }$. On dit que $\lambda$ est racine de $P$ dans ${𝔸}^{\prime }$ si le polynôme $(X-\lambda )$
est un diviseur de $P\in {𝔸}^{\prime }[X]$ ce qui équivaut à dire que $P(\lambda )=0$. Si $𝔸=𝕂$ est un corps
commutatif (cas le plus fréquent), alors $𝕂[X]$ est un anneau euclidien, donc un anneau principal, donc un anneau factoriel, $P(\lambda )$ est le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-\lambda )$ et les trois conditions suivantes sont équivalentes pour $n\in \mathbb{N}$.

1. 1.

   ${(X-\lambda )}^m|P$ mais ${(X-\lambda )}^{m+1}$ ne divise pas $a$.

2. 2.

   $P={(X-\lambda )}^{m}Q(X)$ et $Q(\lambda )\ne 0$.

3. 3.

   $P^{(i)}(\lambda )=0$ pour tout $i=1,2\mathrm{\dots },m-1$ et $P^{(m)}(\lambda )\ne 0$.

Si $\lambda$ est racine de $P$, le sous-ensemble $\{k\in \mathbb{N},{(X-\lambda )}^k|P\}$ de $\mathbb{N}$
est non vide et majoré par $\mathrm{d}eg(P)$. Il admet donc un plus grand élément $m$ appelé
multiplicité de la racine $\lambda$.
Soit $P\in 𝕂[X]$ est de degré $n\le 0$ et ${\alpha }_1,\mathrm{\dots },{\alpha }_k$ des racines distinctes de
$P$ de multiplicités respectives $m_1,\mathrm{\dots },m_k$ sur $𝔸$. Alors le polynôme
${(X-{\alpha }_1)}^{m_1}\mathrm{\dots }{(X-{\alpha }_k)}^{m_k}$
divise $P$ et on a toujours
$m_1+\mathrm{\dots }+m_k\le n$. Ainsi un polynôme non nul de degré $n$ possède au plus $n$ racines
comptées avec leurs multiplicités. Seul le polynôme nul possède une infinité de racines.

Considérons le groupe linéaire $G{L}_2(ℂ)$, des matrices de dimensions 2 sur $ℂ$. Cet ensemble est un corps qui contient $ℂ$. Il contient les trois matrices $D_1=\mathrm{D}iag({\lambda }_1)$, $D_2=\mathrm{D}iag({\lambda }_2)$, $D_3=\mathrm{D}iag({\lambda }_1,{\lambda }_2)$. Les polynômes annulateurs minimaux de ces matrices sont respectivement ${\mu }_1=X-{\lambda }_1$,
${\mu }_2=X-{\lambda }_2$ et ${\mu }_3=(X-{\lambda }_1)(X-{\lambda }_2)$.
Le polynôme ${\mu }_3$ est de degré 2 et il s’annule en trois points distincts $D_1,D_2,D_3$ du corps ${𝕂}^{\prime }=G{L}_2(ℂ)$ qui contient le corps $𝕂$.
Il faut remarque que ce corps n’est pas commutatif et surtout qu’il n’est pas euclidien.
Attention Une racine $y\in {𝔸}^{\prime }$ vérifie $P(y)=0_{{𝔸}^{\prime }}$. Par exemple si ${𝔸}^{\prime }$ est l’anneau des matrices carrées, $0_{{𝔸}^{\prime }}$ est la matrice nulle de ${𝔸}^{\prime }$.
Démonstration par récurrence en utilisant la factorisation premières les facteurs étant ${(X-{\lambda }_i)}^{{\alpha }_i}$ où
les ${\lambda }_i$ désignent les racines distinctes.
Polynôme scindé sur $𝔸$ Un polynôme de $𝕂[X]$ est dit scindé sur $𝔸$ s’il n’est
pas constant et possède exactement $N$ racines comptées avec multiplicité sur $𝔸$. Il s’écrit
donc de manière unique sous la forme:

$$P=\alpha {(X-{\alpha }_1)}^{m_1}\mathrm{\dots }{(X-{\alpha }_n)}^{m_n},m_1+\mathrm{\dots }+m_n=N=\mathrm{d}eg(P)$$

où $\alpha$ est le coefficient dominant de $P$. Cette notion dépend de l’ensemble $𝔸$. Par exemple
un polynôme de $\mathbb{Q}[X]$ n’est pas forcément scindé sur $\mathbb{Q}$ mais tout polynôme de $\mathbb{Q}[X]$ est
scindé sur $𝔸=ℂ$. On dit que $ℂ$ est algébriquement clos.
Pour tout $\alpha \in ℂ$, il existe $P\in ℂ[X]$ de degré 1 tel que $P(\alpha )=0$.
Il n’existe pas de $\alpha \in ℝ$, tel que ${\alpha }^2+1=0$. Le polynôme $X^2+1$ ne peut pas être scindé sur $ℝ[X]$ mais
peut être scindé sur $ℂ[X]$. Le polynôme $X^N-1$ est non scindé sur $ℝ$ mais admet $N$ racines distinctes sur $ℂ$.
Exemples de raisonnements utilisant les racines
(1)–Pour tout polynôme $P$ de $𝕂[X]$, on a

$$P(X)-X\text{divise}P(P(X))-X$$

(raisonner dans l’anneau quotient $𝕂[X]/(P(X)-X))$.
On peut aussi utiliser les racines. Si $P(\alpha )-\alpha =0$, on a aussi
$P[P(\alpha )]-\alpha =P(\alpha )-\alpha =0$. Si la multiplicité de la racine $\alpha$ est $m$ pour $P(X)-X$, on vérifie que sa multiplicité pour $P(P(X))-X$ est au moins $m$.
(2)–Si le polynôme $P(X^N)$ est divisible par $X-1$ dans $ℂ[X]$ alors il est aussi divisible par
$X^N-1$. En effet, $P(X^N)=(X-1)Q(X)$ et donc $P(1)=0$. Pour tout $\alpha \ne 1$ vérifiant ${\alpha }_i^N=1$,
on a $P({\alpha }_i^N)=P(1)=0$ et donc $({\alpha }_i-1)Q({\alpha }_i)=0$. Le polynôme $Q$ est donc divisible par $(X-{\alpha }_i)$.
Il est donc divisible par le produit des polynômes $(X-{\alpha }_i)$ puisque les ${\alpha }_i$ sont tous distincts. Le polynôme
$P(X^N)$ est donc divisible par $X^N-1=(X-1)(X-{\alpha }_1)\mathrm{\dots }(X-{\alpha }_{N-1})$.
La majorité des propriétés de la division euclidienne dans l’anneau $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs se
généralisent au cas des polynômes.
Corps algébriquement clos On dit qu’un corps $𝕂$ est algébriquement clos $ssi$
l’une des trois propositions suivantes est vérifiée.

1. 1.

   Tout polynôme de $𝕂[X]$ est scindé, c’est-à-dire produit de polynômes de degré $1$

2. 2.

   Tout polynôme non constant a une racine dans $𝕂$.

Multiplication et division de polynômes sous forme matricielle
Considérons la matrice carrée de décalage de dimension $n$, définie par :

On peut vérifier facilement que l’opération ${𝐉}_n^2$ fait décaler la diagonale formée par des $1$ d’un cran vers le bas et donc on a ${𝐉}_n^n=0$.
Le produit de deux matrices

définies par leurs colonnes ${𝐚}_i\in {ℂ}_p[x]$ et ${𝐛}_i\in {ℂ}_q[x]$ respectives
est une matrice du type $(p,q)$ donnée par :

$$\mathrm{𝐀𝐁}=\sum _{i=1}^n{𝐚}_i{𝐛}_i^T.$$

Si l’on remplace chaque colonne ${𝐚}_i$ par ${𝐉}^{i-1}𝐚$, on obtient une matrice triangulaire inférieure qui a une structure dite de Toeplitz où chaque diagonale est formée par le même éléments apparaissant dans la première colonne :

Rappelons qu’un polynôme $A$ de degré $n$ peut s’écrire

Un polynôme de ${ℂ}_n[x]$ est donc défini de manière unique par la matrice colonne
$𝐚={[a_0,a_1,\mathrm{\dots }]}^T$ où $a_k=0$ pour $k>n$.
Désignons par $𝐜$ le produit de deux polynômes $𝐚$ et $𝐛$ et par
$𝐝$ le quotient de $𝐚$ et $𝐛$. On peut vérifier que la détermination
de $𝐜$ et $𝐝$ se fait à l’aide des relations matricielles suivantes :

$$𝐜=\mathrm{𝐀𝐛},𝐚=\mathrm{𝐃𝐛}$$

où

$$𝐀=[{𝐉}^0{\mathrm{𝐚𝐉}}^1,𝐚,\mathrm{\dots }],𝐃=[{𝐉}^0𝐝,{𝐉}^1𝐝,\mathrm{\dots }]$$

sont des matrices triangulaires inférieures de Toeplitz ayant chacune $n$ colonnes, le nombre de lignes
étant égal à l’infini. Par exemple, si les polynômes $𝐚$ et $𝐛$ sont de degrés $n$ et $m$, le produit étant de degré $n+m$, on aura besoin de prendre une matrice $𝐀$ avec $n+m+1$ lignes.

Polynôme à $n$ indéterminées
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire.
On appelle polynôme à $n$ indéterminées à coefficients dans $A$ l’ensemble des applications presques nulles de ${\mathbb{N}}^n$ dans $A$.
On note $A[X_1,\mathrm{\dots },X_n]$ l’ensemble des polynômes à $n$ indéterminées à coefficients dans $A$.
On identifie $A[X_1,\mathrm{\dots },X_n]$ à $A[X_1,\mathrm{\dots },X_{n-1}][X_n]$, ainsi que $A[X_1,\mathrm{\dots },X_p][X_{p+1},\mathrm{\dots },X_n]$ à
$A[X_1,\mathrm{\dots },X_n]$.
L’anneau $A[X_1,\mathrm{\dots },X_n]$ est intègre si et seulement si $A$ est intègre.
L’anneau $A[X_1,\mathrm{\dots },X_n]$ est muni naturellement d’une structure de $A$-module.
L’ensemble des monômes unitaires est une base de $A[X_1,\mathrm{\dots },X_n]$.
Si $𝕂$ est un corps, $𝕂[X_1,\mathrm{\dots },X_n]$ est naturellement muni d’une structure de $𝕂$-espace vectoriel.
Relations entre coefficients et racines
Désignons par ${\alpha }_1,\mathrm{\dots },{\alpha }_n$ les $N$ racines distinctes ou non d’un polynôme de degré $N$ de $𝕂[X]$ et introduisons les
relations : ${\sigma }_{0,0}=1$, ${\sigma }_{p,N}=0$ pour $p>N$ et pour $1\le p\le N$ :

${\sigma }_{p,N}$

$=$

${\displaystyle \sum _{0\ge i_1>\mathrm{\dots }>i_p\ge 1}}{\alpha }_{i_1}{\alpha }_{i_2}\mathrm{\dots }{\alpha }_{i_p}.$

(3)

A titre d’exemple, pour $N=3$, on obtient : ${\sigma }_{1,3}=r_1+r_2+r_3$,   ${\sigma }_{2,3}=r_2{r}_1+r_3{r}_2+r_3{r}_1$,   ${\sigma }_{3,3}=r_3{r}_2{r}_1$.
On a alors

	$P(X)$	$=$	${\displaystyle \sum _1^N}{a}_k{X}^k=a_N{\displaystyle \prod _1^N}(X-{\alpha }_i)$
		$=$	$a_N{\displaystyle \sum _0^N}{(-1)}^p{\sigma }_p^N{X}^{N-p}\text{avec}{\sigma }_{p,N}={(-1)}^p{\displaystyle \frac{a_{N-p}}{a_N}},1\le p\le N.$

On appelle $k$-ième polynôme de Newton le polynôme ${𝒩}_k={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i^k$ et on a les propriétés suivantes:

1. 1.

   Les polynômes symétriques élémentaires et les polynômes de Newton sont symétriques, i.e, ils sont invariants dans toute
   permutation de l’ensemble des indicies $\{1,2,\mathrm{\dots },N\}$.
   Si $Q$ est un polynôme, alors $P=Q({\sigma }_{1,n},{\sigma }_{2,n},\mathrm{\dots },{\sigma }_{n,n})$ est un polynôme symétrique.

2. 2.

   Si $P\in A[X_1,\mathrm{\dots },X_n]$ est symétrique, alors il existe un polynôme $Q$ tel que $P=Q({\sigma }_{1,n},{\sigma }_{2,n},\mathrm{\dots },{\sigma }_{n,n})$ (récurrence sur le nombre d’indéterminées et sur le degré du polynôme.

3. 3.

   Sommes de Newton et polynômes symétriques élémentaires

   		$=$	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k-1}}{(-1)}^{i+1}{𝒩}_{k-i}{\sigma }_{i,N}+{(-1)}^{k+1}k{\sigma }_{k,N}=0,1\le k\le n$
   		$=$	${\displaystyle \sum _{i=0}^n}{(-1)}^{i+1}{𝒩}_{k-i}{\sigma }_{i,N},N\le k.$

4. 4.

   Sommes de Newton et coefficients du polynôme

   $$P=\sum _{i=0}^N{a}_k{X}^k,\text{alors}\sum _{i=0}^N{a}_i{𝒩}_{k-i}=0,N\le k.$$