Section20: Espace probabilisé, Probabilité

0.1 Espace probabilisé, Probabilité

0.2 Espace probabilisable

Une expérience aléatoire est une expérience pouvant conduire à
plusieurs résultats possibles et dont le résultat ne peut être
prévu avec certitude. Cela signifie que si l’on répète
plusieurs fois la même expérience, on obtient à chaque
fois un résultat bien défini mais qui n’est pas toujours le
même. L’ensemble des résultats possibles sera noté $\Omega$ .

Exemple 0.2.1

Le lancer d’un dé cubique ne
pouvant rester en equilibre sur aucune de ses arêtes et dont les
faces sont numérotées de 1 à 6 est une expérience
aléatoire. Les resultats possibles de cette expérience sont
les six chiffres 1, 2,…, 6.

D’une manière générale toute expérience physique est
aléatoire. En effet, même les expériences pour lesquelles
on peut appliquer le principe classique suivant : la même cause
produit toujours le même effet sont aléatoires dans le sens
où la mesure de l’effet peut introduire des incertitudes.
Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire
est appelé événement aléatoire élémentaire.
L’ensemble de tous ces événements est appelé ensemble
fondamental et il est souvent désigné par
$\Omega$ . Toute partie de $\Omega$
est appelé événement aléatoire. L’ensemble de tous les
événements liés à une expérience aléatoires
est donc confondu avec l’ensemble ${\cal P}(\Omega)$ des
parties de $\Omega$ .
Un événement lié au lancer d’un dé cubique est
par exemple $A=\{1,3,5\}$ .
Avant de procéder à une expérience aléatoire,
on peut être intéressé par un événement donné
A et vouloir faire une prévision sur la chance que cet
événement a de se réaliser. On peut dire à priori que
$A=\{1,3,5\}$ a une chance sur deux de se réaliser si la
symétrie du dé est parfaite.
L’événement $\Omega$ qui par
définition a toutes les chances de se réaliser est appelé
événement certain et l’événement
$\Phi$ , ensemble vide, qui n’a aucune chance de se réaliser est
appelé événement impossible.
L’événement certain $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ correspond à l’affirmation “l’expérience va conduire
à l’un des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6”.
L’événement impossible $\Phi$ correspond à
l’affirmation “l’expérience ne conduit à aucun des chiffres
1, 2, 3, 4, 5, 6”.
Soit une expérience aléatoire conduisant à un
nombre fini $n$ de résultats possibles, par exemple, pour un
lancer de dé on a $n=6$ . Dans ce cas le nombre
d’événements possibles est donné par

{\mathrm{C}ard}\{{\cal P}(\Omega)\}=2^{{\mathrm{C}ard}(\Omega)}=2^{n}

où l’on désigne par ${\mathrm{C}ard}(\Omega)$ le cardinal de $\Omega$ .
A la suite d’une telle expérience, on est
amené naturellement à s’intéresser à la
réalisation d’un événement $A$ ou à sa non
réalisation, à la réalisation simultannée de deux ou
plusieurs événements, à la réalisation d’au moins un
événement faisant partie d’un sous-ensemble de deux ou
plusieurs autres événements, etc $\ldots$
On introduit ainsi sur l’ensemble des événements
${\cal P}(\Omega)$ les trois opérations classiques suivantes.

1.

La réunion pour indiquer la réalisation de $A$ ou $B$ :
$A\cup B$ .
2.

L’intersection pour indiquer la réalisation
simultannée de $A$ et $B$ : $A\cap B$ .
3.

La complémentation par rapport à $\Omega$ pour
indiquer la non réalisation de $A:C_{\Omega}^{A}$ .

Considérons l’ensemble ${\cal P}(\Omega)$ muni des
opérations intersection, complémentation et réunion. Les
différents sous-ensembles de ${\cal P}(\Omega)$ ne présentent
pas tous le même intérêt pour l’expérimentateur
qui est amené à considérer des parties ${\cal T}$ de
${\cal P}(\Omega)$ qui sont plus ou moins grandes. Donnons
quelques exemples de sous-ensembles de ${\cal P}(\Omega)$ .

1.

Le joueur est intéressé
par chacun des numéros et par toute réunion de ces
numéros. Il doit donc considérer le sous-ensemble
${\cal T}$ de ${\cal P}(\Omega)$ le plus grand possible, i.e.

${\cal T}={\cal P}(\Omega).$
2.

Le joueur est intéressé uniquement par la
parité du numéro de la face du dé. Dans ce cas, il peut
résoudre son problème en considérant le sous-ensemble

${\cal T}=\{\Phi,\Omega,(1,3,5),(2,4,6)\}\subset{\cal P}(\Omega).$
3.

Le joueur est intéressé par miser sur un ensemble de
numéros parmi lesquels au moins un est gagnant ou ne pas engager de
mise. Le plus petit sous-ensemble qu’il doit
considérer pour résoudre son problème est :

${\cal T}=\{\Omega,\Phi\}\subset{\cal P}(\Omega).$

Soit un ensemble $\Omega$ fini et ${\cal P}(\Omega)$ l’ensemble
des parties de $\Omega$ . On appelle tribu de $\Omega$
(ou $\sigma$ -algèbre) toute famille ${\cal T}$ de ${\cal P}(\Omega)$ contenant $\Omega$ et stable pour la réunion et la
complémentation par rapport à $\Omega$ . Le couple
$(\Omega,{\cal T})$ est appelé espace probabilisable.
Les trois ensembles définis ci-dessus sont des tribus de
$\Omega$ .

0.3 Espace probabilisé fini

Avant de procéder à une expérience aléatoire,
intéressons nous à une réalisation particulière
dénommée $\omega_{i}$ et appelée événement
élémentaire ou singleton. On peut vouloir faire une
estimation de la chance que cet événement a de ce
réaliser. Pour obtenir une telle estimation on procède
comme suit. On répète $N$ fois l’expérience dans les
mêmes conditions et on associe à $\omega_{i}$ le nombre

p_{i}=\frac{n_{i}}{N},\quad 0\leq p_{i}\leq 1

où $n_{i}$ représente le nombre de fois où $\omega_{i}$
s’est réalisé. On fait tendre $N$ vers l’infini et le
nombre $p_{\infty}$ ainsi obtenu est appelé probabilité de
$\omega_{i}$ . On définit ainsi une application $P$ de $\Omega$
dans [0,1] par:

P(\omega_{i})=p^{i}_{\infty},\quad i=1,\ldots,{\mathrm{C}ard}(\Omega)\quad{% \mathrm{a}vec}\quad\sum_{i=1}^{{\mathrm{C}ard}(\Omega)}P(\omega_{i})=1.

Si le nombre $P(\omega_{i})$ associé à chacun des singletons
$\omega_{i}$ est indépendant de ce dernier, l’application $P$
est constante et définie sur $\Omega$ une probabilité
uniforme. Dans cette hypothèse d’équiprobabilté, on
peut étendre la définition de $P$ à l’ensemble
$\Omega$ lui-même de la manière suivante :

P(A)=\sum_{\omega_{i}\in A}=\frac{{\mathrm{C}ard}(A)}{{\mathrm{C}ard}(\Omega)}.

Soit $(\Omega,{\cal T})$ un espace probabilisable fini et $P$
l’application qui associe à chaque $\omega_{i}$ le nombre

P(\omega_{i})=\frac{1}{{\mathrm{C}ard}(\Omega)}.

L’application $P$ se prolonge d’une manière unique et
définit une probabilité sur $(\Omega,{\cal T})$ .
Une probabilité est donc une application de $(\Omega,{\cal T})$ sur [0, 1] qui vérifie les axiomes suivants :

P(A)=\sum_{\omega_{i}\in A}P\{\omega_{i}\}\quad{\mathrm{e}t}\quad\sum_{\omega_% {i}\in\Omega}P\{\omega_{i}\}=1.

Le triplet $(\Omega,{\cal T},P)$ est appelé espace
probabilisé.

Dans l’hypothèse
d’équiprobabilité des événements élémentaires,
le calcul de la probabilité d’un événement quelconque se
ramène à un calcul de dénombrement. Ce calcul repose sur
les relations classiques qui donnent les nombres d’arrangements, de
permutations et de combinaisons de $n$ objets.

Nombre d’arrangements Le nombre de façons
différentes de choisir $p$ objets tous différents parmi
$n$ objets tous différents (tenant compte de l’ordre des $p$
objets choisis) est donné par

A^{P}_{n}=\frac{n!}{(n-p)!}.

Nombre de permutations Le nombre de façons
différentes d’ordonner $n$ objets tous différents est
donné par

P_{n}=A^{n}_{n}=\frac{n!}{0!}=n!.

Nombre de combinaisons Le nombre de façons
différentes de choisir $p$ objets tous différents (sans
tenir compte de l’ordre des $p$ objets choisis) parmi $n$ objets
tous différents est donné par tirage sans remise :

C^{p}_{n}=\frac{n!}{p!(n-p)!}.

Nombre de combinaisons avec répétitions Le nombre de
façons différentes de choisir $p$ objets, non tous
forcément différents, (sans tenir compte de l’ordre des
$p$ objets choisis) parmi $n$ objets tous différents est
donné par tirage avec remise :

\Gamma^{p}_{n}=\frac{(n+p-1)!}{p!(n-1)!}.

0.4 Espace probabilisé quelconque

Soit un ensemble $\Omega$ quelconque et ${\cal P}(\Omega)$ l’ensemble des
parties de $\Omega$ . On appelle tribu ou $\sigma$ -algèbre de $\Omega$ toute famille ${\cal T}$ de
${\cal P}(\Omega)$ vérifiant les trois propriétés
suivantes :

$\bullet$ T contient $\Omega$

$\bullet$ T est stable pour la réunion
dénombrable

$\bullet$ T est stable pour la complémentation par
rapport à $\Omega$
Le couple $(\Omega,{\cal T})$ est appelé espace mesurable
et les éléments de ${\cal T}$ sont appelés parties
mesurables de $\Omega$ . Si $B$ est une partie d’un espace $\mathbb{E}$ ,
la plus petite tribu de $\mathbb{E}$ contenant $B$ est appelée tribu engendrée par $B$ .

Exemple 0.4.1

Tribus classiques

•

Tribu fine : ${\cal T}={\cal P}(\Omega)$
•

Tribu grossière : ${\cal T}=\{\Phi,\Omega\}$
•

Tribu de Bernoulli : ${\cal T}=\{\Phi,A,\overline{A},\Omega\}$ .
•

Tribu de Borel : Soit $(\mathbb{E},\Theta)$ un espace topologique.
Il est clair que la topologie $\Theta$ n’est pas une tribu. La
tribu engendrée par $\Theta$ est appelée tribu de Borel
sur $\mathbb{E}$ . Si $\mathbb{E}=\mathbb{R}$ , on admettra que la tribu de Borel est
engendrée par les ouverts de $\mathbb{R}$ et qu’elle est aussi
engendrée par des demi-droites $]-\infty,\alpha[$ . Cette
tribue sera notée $\mathbb{B}$ .

Une mesure positive est une application $\mu$ d’un espace
mesurable $(\Omega,{\cal T})$ sur l’espace mesurable $(\mathbb{R},\mathbb{B})$
muni de sa tribu de Borel qui verifie les axiomes suivants :

•

Positivité: pour tout élément $A$ de ${\cal T}$ on
a $\mu(A)\in\mathbb{R}^{+}$
•

Additivité complète: pour toute suite fini ou
dénombrable d’éléments $A_{n}$ de ${\cal T}$ deux à deux disjoints, on a:

$\mu(\cup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_{n}).$

Le triplet $(\Omega,{\cal T},\mu)$ est appelé espace
mesuré. Toute mesure positive $P$ vérifiant $P(\Omega)=1$ est appelée probabilité. Un espace mesuré où la
mesure est une probabilité est appelé espace
probabilisé.

Produit d’espaces probabilisés Si $(\Omega_{1},{\cal P}(\Omega_{1}),P_{1})$ et $(\Omega_{2},P(\Omega_{2}),P_{2})$ sont deux espaces probabilisés, on peut
considérer sur l’espace probabilisable $[\Omega_{1}\times\Omega_{2}$ ,
${\cal P}(\Omega_{1}\times\Omega_{2})]$ la fonction $P$ définie par

P(\omega_{1},\omega_{2})\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}P_{1}(\omega_{1})P% _{2}(\omega_{2})\quad\forall\quad(\omega_{1},\omega_{2})\in\Omega_{1}\times% \Omega_{2}.

Il est facile de vérifier que $P$ définie une
probabilité sur l’espace $[\Omega_{1}\times\Omega_{2},{\cal P}(\Omega_{1}\times\Omega_{2})]$ appelé espace produit. On peut étendre ce
procédé pour définir de proche en proche l’espace
produit de $n$ espaces probabilisés.

0.5 Règles de calcul sur un espace
probabilisé

La probabilité de la réunion de deux
événements quelconques est donnée par la
formule des probabilités
totales :

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

(1)

Deux évènements sont dits incompatibles ou disjoints si leur
intersection est réduite à l’ensemble vide. L’axiome
d’additivité complète conduit à l’identité suivante :

P(A\cup B)=P(A)+P(B).

(2)

Deux événements sont dits complémentaires s’ils sont
disjoints et si en plus leur réunion est égale à
l’ensemble $\Omega$ . Dans ce cas on a

P(A\cup B)=P(A)+P(B)=1.

(3)

Un système complet d’événements est un ensemble
d’événements deux à deux disjoints et tels que leur
réunion donne l’ensemble $\Omega$ . Un tel système forme
une partition de $\Omega$ . La probabilité de la réunion
des événements d’un systèmes complet est toujours
égale à 1. Si $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ forment un système
complet, alors tout événement $B$ se décompose sous la forme :

B=B_{1}\cup B_{2}\cup\ldots\cup B_{n}\quad{\mathrm{a}vec}\quad B_{i}\stackrel{% {\scriptstyle\Delta}}{{=}}A_{i}\cap B

et on a

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B_{i}).

Soit $\Omega$ un ensemble fini ou dénombrable et $P$
une probabilité définie sur $(\Omega,{\cal P}(\Omega))$ .
Alors les événements élémentaires de
$\Omega$ , i.e. les singletons $\{\omega_{i}\}$ de ${\cal P}(\Omega)$
forment un système complet. De plus $P$ est définie de manière
unique par la donnée des $P(\{\omega_{i}\})$ . En effet, les ensembles
$\{\omega_{i}\}$ forment une partition de $\Omega$ et donc tout
événement $B$ peut s’écrire

B=\cup_{i\in\mathbb{N}}B\cap\{\omega_{i}\}.

La valeur de $P(B)$ est alors définie d’une manière
unique par

P(B)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\sum_{i\in\mathbb{N}}P(B\cap\{\omega_{% i}\})=\sum_{\omega_{i}\in B}P\{\omega_{i}\}.

Toute mesure de probabilité possède les propriétés
élémentaires suivantes.

\Phi\subset A\subset\Omega\Rightarrow 0\leq P(A)\leq

A\subset B\Rightarrow P(A)\leq P(B)

\bar{A}=C^{A}_{\Omega}\Rightarrow P(\bar{A})=1-P(A).

0.6 Probabilité conditionnelle, Indépendance

Soit ( $\Omega,{\cal T},P)$ un espace
probabilisé et $A$ un évènement de probabilité non nulle.
Soit l’application $P_{A}$ définie par

P_{A}(B)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\stackrel{{% \scriptstyle\Delta}}{{=}}P(B{\mathbf{|}}A)

(4)

où la notation $P(B{\mathbf{|}}A)$ se lit couramment
probabilité de $B$ sachant $A$ . Il est facile de vérifier que
$P_{A}$ définit une probabilité sur $(\Omega,{\cal T})$ .
Cette probabilité est appelée probabilité conditionnelle
(conditionnellement à la réalisation de $A$ ). On a donc :

P(A\cap B)=P(B{\mathbf{|}}A)P(A)

(5)

et aussi par symétrie, pour $P(B)\neq 0$ ,

P(A\cap B)=P(A{\mathbf{|}}B)P(B)

(6)

Les deux expressions de $P(A\cap B)$
conduisent à la relation suivante dénommée formule de
Bayes :

P(A{\mathbf{|}}B)=\frac{P(A)}{P(B)}~{}P(B{\mathbf{|}}A).

(7)

Plus généralement, si $A_{1},A_{2},...A_{n}$ est un système complet de
$\Omega$ et $B$ un événement quelconque, on obtient la seconde
formule de Bayes suivante :

P(A_{i}{\mathbf{|}}B)=\frac{P(B{\mathbf{|}}A_{i})P(A_{i})}{\sum_{j=1}^{n}P(B{% \mathbf{|}}A_{j})P(A_{j})}\quad i=1,2,...,n.

(8)

Cette identité se déduit immédiatement de la
première formule de Bayes qui donne

P(A_{i}{\mathbf{|}}B)=\frac{P(B{\mathbf{|}}A_{i})P(A_{i})}{P(B)}

(9)

et de la définition d’un système complet qui permet d’écrire

P(B)=\sum_{j=1}^{n}P(B{\mathbf{|}}A_{j})P(A_{j}).

(10)

Les formules de Bayes sont à la base de la branche de la
statistique appelée statistique Bayésienne. Ces formules sont
couramment appelées formules des probabilités des causes.
En effet, les $A_{i}$ peuvent s’interprêter comme
des causes incompatibles pouvant provoquer l’événement
B. Les probabilités $P(A_{i})$ sont appelées
probabilité a priori alors que les $P(A_{i}{\mathbf{|}}B)$ portent le nom de probabilités a posteriori.

Exemple 0.6.1

Application de la formule de Bayes

Dans une usine deux machines $A_{1}$ et $A_{2}$ fabriquent des boulons
de même type. $A_{1}$ sort en moyenne 0,3% de boulons
défectueux et $A_{2}$ 0,8%. On a $P(D{\mathbf{|}}A_{1})=0,003$ et
$P(D{\mathbf{|}}A_{2})=0,008$ . On mélange 1000 boulons dans une caisse, 650 provenant
de $A_{1}$ et 350 de $A_{2}$ . Lorsque l’on tire un boulon au hasard les
probabilités dites a priori qu’il provienne de $A_{1}$ ou de $A_{2}$ sont :
$P(A_{1})=0,65$
et $P(A_{2})=0,35$ . Sachant que lévénement, noté $D$ : le boulon
tiré est défectueux, s’est réalisé, les
probabilités précédentes sont modifiées et
remplacées par les probabilités plus précises dites a
posteriori : $P(A_{1}{\mathbf{|}}D)$ et $P(A_{2}{\mathbf{|}}D)$ . Pour calculer
ces probabilités, on applique le 2ème formule de Bayes.

Indépendance Soient $A_{1},...,A_{n}$ un ensemble de $n$
événements définis sur un espace probabilisé. Ces
événements sont dits indépendants deux à deux
si, et seulement si :

P(A_{i}\cap A_{j})=P(A_{i})P(A_{j})\quad\quad i\neq j

(11)

ils sont dits indépendants dans leur ensemble si pour
toute partie $I$ de l’ensemble $\{1,2,...,n\}$ on a :

P(\cap_{i\in I}A_{n})=\Pi_{i\in I}P(A_{i}).

(12)

Remarque 0.6.2

Si l’on considère un ensemble de
trois événements, les deux formes d’indépendances sont
équivalentes si, et seulement si, la formule (12) est valable
pour $I=\{1,2,3\}$ .

Remarque 0.6.3

On peut trouver des ensembles de n événements indépendants dans leur ensemble et tel que
tout sous ensemble de $n-1$ événements constitue un
ensemble d’événements non indépendants dans leur ensemble.

L’incompatibilité de deux événements est
définie sur un espace probabilisable sur lequel aucune
probabilité n’a été définie.
L’incompatibilité de $A$ et $B$ ne fait pas intervenir la
probabilité, elle exprime simplement la condition
$A\cap B=\phi$ . Par contre l’indépendance de $A$ et $B$
est directement liée à une probabilité. Elle
peut donc changer avec la probabilité définie sur
l’espace probabilisable considéré. Deux événements $A$
et $B$ peuvent être en même temps :

•

Indépendants et incompatibles
•

Indépendants et compatibles
•

Dépendants et incompatibles
•

Dépendants et compatibles.

0.7 Variable aléatoire

0.8 Statistique à une dimension et variable aléatoire

Nous considérons dans ce chapitre, une population $\Omega$ d’effectif total $N$ ,
et dont chaque élément présente un caractère $X$ [saporta].
Soit, par exemple, un ensemble $\Omega$ d’individus dont on veut
étudier la taille X. A chaque individu $\omega$ on associe la valeur de
sa taille $x=X(\omega)$ . Pour cela, on peut supposer que $x$
appartient à un intervalle $[a,b]$ . On subdivise alors $[a,b]$ en $r$
sous-intervalles de même amplitude et on appelle $x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},\ldots,x_{r}$ les centres de ces intervalles. Au lieu d’associer à
chaque individu $\omega$ , le nombre $x$ , on convient de lui associer
le nombre $x_{i}$ défini par le centre de l’intervalle contenant $x$ .
Ainsi un même nombre $x_{i}$ peut être associé à plusieurs individus
$\omega$ .
On appelle série statistique pour le caractère $X$
l’application qui à chaque élément $\omega$ de $\Omega$ associe
le nombre $x_{i}$ . Soit une série statistique dont le caractère $X$ a pour
valeurs $x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},\ldots,x_{r}$ . On appelle effectif
partiel du nombre $x_{i}$ le nombre $n_{i}$ des éléments $\omega$ de la
population $\Omega$ dont la valeur du caractère est $x_{i}$ . Les
fréquences partielles sont définies par :

f_{i}=\frac{n_{i}}{N}\quad{\mathrm{a}vec}\quad\sum_{i=1}^{r}f_{i}=1\quad{% \mathrm{e}t}\quad 0\leq f_{i}\leq 1

La moyenne, la variance et l’écart type de $X$ sont
respectivement définis par :

\overline{X}=\sum_{i=1}^{r}f_{i}x_{i},\quad{\mathrm{V}ar}(X)=\sum_{i=1}^{r}f_{% i}(x_{i}-\overline{X})^{2},\quad\sigma_{X}=\sqrt{{\mathrm{V}ar}(X)}.

Dans ce qui précède, nous avons introduit une application $X$
qui associe à chaque élément $\omega$ le nombre $x$ de $\mathbb{R}$
et les nombres $f_{i}$ compris entre 0 et 1 et tels que leur somme
vaut 1. Lorsque le nombre $N$ tend vers l’infini, chaque $f_{i}$
tend vers une limite appelée probabilité du nombre vers lequel
tend $x_{i}$ . La fonction $X$ tend vers une fonction limite
appelée variable aléatoire (V.A) discrète. Le concept de V.A
a été introduit pour « quantifier » les résultats d’une
expérience aléatoire [blanclapierre-fortet]
[papoulis] [picinbono1] [saporta].
Par exemple, le lancer d’une pièce peut conduire aux deux
résultats possibles : obtenir face ou pile. On peut associer à
ces deux résultats respectivement les nombres $-1$ et 1 et
parler des résultats possibles $-1$ et 1. Chacun parmi ces deux
nombres est alors entâché d’une probabilité qui sera celle
de la face qui lui est associée. On a ainsi défini une
application $X$ de l’espace probabilisé associé à
l’expérience sur l’ensemble des réels, chacune des valeurs $x$
prises par cette application étant affectée d’une
probabilité égale à celle de tous les antécédents de
$x$ . La loi de probabilité d’une V.A est complètement
déterminée à partir de la probabilité $P$ introduite sur
$\Omega$ . On considère $\mathbb{R}$ muni de sa tribu de Borel et on
doit imposer à $X$ de vérifier la propriété suivante :

X^{-1}(B)\in{\cal T},\quad\forall B\in\mathbb{B}

qui signifie que $X$ est une application mesurable de
l’espace probabilisé $(\Omega,{\cal T},P)$ dans l’espace
probabilisable $(\mathbb{R},\mathbb{B})$ . Si ${\cal T}={\cal P}(\Omega)$ , toute
application $X$ est mesurable. Toute application mesurable de
$(\Omega,{\cal T},P)$ est appelée variable aléatoire
(V.A). Une V.A complexe est une application d’un espace
probabilisé sur l’ensemble des nombre complexes telle que ses
parties réelle et imaginaire sont des variables aléatoires
réelles.

0.9 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

A chaque V.A définie sur $(\Omega,{\cal T},P)$ est associée sa « loi de
distribution de probabilités » ou simplement sa « loi de probabilité ». La loi de
probabilité d’une V.A $X$ , notée $P_{X}$ , est définie à partir de $P$ par :

P_{X}(B)=P(\omega|X(\omega)\in B)=P[X^{-1}(B)],\quad\forall B\in\mathbb{B}.

Pour une autre V.A, $Y$ , définie sur le même espace probabilisé
$(\Omega,{\cal T},P)$ , la loi de probabilité sera notée $P_{Y}$ mais s’il n’y a pas d’anbiguïté,
on utilise la même notation $P$ pour la loi de probabilité de $X$ , de $Y$ et
même pour celles de toutes les V.A définies sur $(\Omega,{\cal T},P)$ .

Exemple 0.9.1

Variable certaine et variable aléatoire

Si l’espace probabilisé est défini par la tribu grossière ${\cal T}=\{\Omega,\Phi\}$ , toute application constante de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$
est une V.A. Ce cas correspond à une variable dite certaine. Si l’espace est
défini par une tribu de Bernoulli $\{\Phi,A,\overline{A},\Omega\}$ la fonction indicatrice de $A$ est une V.A dite variable indicatrice de
l’événement $A$ . Si l’espace est défini par une tribu engendrée
par une partition $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ , une application $X$ est une
V.A. si, et seulement si, $X$ est constante sur chaque $A_{i}$ .

Exemple 0.9.2

La notion de V.A dépend de la tribu choisie

On considère l’espace probabilisable $(\Omega,{\cal T})$
avec ${\cal T}=\{\Omega,\Phi\}.$ Soit $X$ l’application numérique telle que
$\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ étant deux éléments distincts de $\Omega$ , on ait :

X(\omega_{1})=x_{1}\mbox{ et }X(\omega_{2})=x_{2}\neq x_{1}

Montrer que $X$ n’est pas une V.A sur l’espace probabilisable considéré. En
déduire que les seule fonctions pouvant être des V.A sur $(\Omega,{\cal T})$
sont les fonctions constantes.

Proposition 0.9.3

La loi de probabilité d’une V.A $X$ est complètement déterminée
par l’application de $\mathbb{R}$ dans $[0,1]$ définie par :

F(x)=P_{X}(X\leq x),\forall x\in\mathbb{R}

(13)

où $(X\leq x)$ désigne l’ensemble de valeurs de $X$ appartenant à
$]-\infty,x]$ . Cette
application est appelée fonction de répartition de $X$ .

Parfois la fonction de répartition est définie par:

\widetilde{F}(x)=P_{X}(X<x)

et on l’identité:

F(x)=\widetilde{F}(x)+P_{X}(X=x).

On conviendra dans toute la suite que la fonction de répartition
est définie par (13). Elle possède alors les
propriétés suivantes.

Non décroissance $:x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow F(x_{1})\leq F(x_{2})$

Valeurs à l’infini $\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0,\quad{\mathrm{e}t}\quad\lim_{x\rightarrow-% \infty}F(x)=1.$

Continuité : la fonction de répartition $F$ admet des
limites à droite et à gauche en tout point $x$ , ses
discontinuités éventuelles sont bornées et elle est continue
à droite en tout point $x$ .

Proposition 0.9.4

Une
fonction $F$ est une fonction de répartition si, et seulement si, elle vérifie
les trois propriétés suivantes :

•

$F$ est non décroissante
•

$F(-\infty)=0,\;F(+\infty)=1$
•

$F$ est continu à droite en tout point de $\mathbb{R}$ .

Exemple 0.9.5

Exemples de fonctions de répartition.

Les fonctions suivantes sont
des fonctions de répartition.

$\displaystyle F(x)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 0\quad\mbox{pour}\quad x<-c$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle 1/2\quad\mbox{pour}\quad-c\leq x<c$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle 1\quad\mbox{pour}\quad x\geq c,\quad c>0$
$\displaystyle G(x)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1-e^{-x}}{2(1+e^{-x})}$
$\displaystyle H(x)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle e^{x}/2\quad\mbox{pour}\quad x<0$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle 1\quad\mbox{pour}\quad x\geq 0.$

La fonction $F$ est la fonction de répartition d’une V.A discrète qui ne
peut prendre que les valeurs $\pm c$ avec une probabilité 1/2. On a une seule
V.A associée à $F$ , car $F$ est une fonction en escaliers. La fonction
$G$ est la fonction de répartition d’une V.A continue qui peut prendre « toute
les valeurs réelles ». Il existe une infinité de V.A admettant $G$ comme
fonction de répartition. Deux telles V.A ne peuvent être différentes que sur
un ensemble de $\mathbb{R}$ de probabilité nulle (elles sont dites égales presque
partout au sens de la mesure $H$ ). La fonction $H$ est la fonction de répartition
d’une V.A continue ne pouvant prendre que des valeurs négatives et la valeur 0
avec une probabilité 1/2. Comme pour $G$ , il existe une infinité de V.A admettant
$H$ comme fonction de répartition.

Dans la majorité des problèmes pratiques, on ignore
complètement l’espace probabilisé et on définit une V.A $X$
par la donnée de sa fonction de répartition $F$ . Il existe une
infinité de V.A associées à $F$ et l’information contenue
dans $F$ est commune à toutes ces V.A. La probabilité pour que
chacune de ces V.A prenne ses valeurs dans un intervalle $]a,b]$
s’exprime à l’aide de $F$ par:

P_{X}(a<X\leq b)=F(b)-F(a).

(14)

Variable aléatoire discrète Une V.A $X$ définie sur
$\mathbb{R}$ est dite discrète si elle ne prend qu’un nombre fini ou
dénombrable de valeurs avec des probabilités non nulles. Il
existe donc une suite de nombres strictement positifs $P_{k}$ dont
la somme vaut 1 et une suite de réels $x_{k}$ tels que $P_{X}(X=x_{k})=P_{k},\;k=1,2,\ldots$ et $P_{X}(X\neq x_{k})=0$ .

Variable aléatoire continue Une V.A $X$ définie sur
$\mathbb{R}$ est dite absolument continue s’il existe une fonction $f$
telle que la fonction de répartition de $X$ se mette sous la
forme

F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt,\quad\forall x\in\mathbb{R}.

(15)

La fonction de répartition d’une V.A absolument continue est dite fonction
absolument continue et la fonction $f$ est appelée densité de probabilité de
$X$ . On a donc

F^{\prime}(x)=f(x).

(16)

Une fonction $f$ positive, continue par morceau et qui vérifie

\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1.

(17)

est une densité de probabilité. La fonction de répartition associée est alors
définie par (15).

0.10 Fonction de répartition et densité de probabilité

D’une manière générale, une V.A peut être définie par la donnée d’une
fonction $F$ non décroissante vérifiant $F(-\infty)=0$ et
$F(\infty)=1$ . Cette fonction est la fonction de répartition de la
V.A considérée. Un élément différentiel $d x$ de
$\mathbb{R}$ , centré en $x$ , porte l’élément de probabilité :

dF(x)=f(x)dx+\sum_{k=1}^{n}\delta(x-x_{k})P_{k}dx

(18)

où $f(x)$ représente la dérivée de $F$ qui doit exister sauf aux points
$x_{k}$ et

\delta(x-x_{k})\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\lim_{x\rightarrow\infty}% \int_{x_{k}+\sigma}^{x_{k}+\sigma}\delta(x-x_{k})dx=1

(19)

la distribution de Dirac centrée en $x_{k}$ , $k=1,2,\ldots,n$ . Cette forme de $d F$ fait apparaître une densité
généralisée au sens des distributions qui est valable aussi
bien pour représenter les V.A discrètes que les V.A continues.
Dans toute la suite, il ne sera fait aucune distinction entre
$d P$ , $dP_{X}$ et $d F$ . On utilisera surtout la notation $d F$ et si
l’on considère plusieurs V.A en même temps, on introduira des
indices pour distinguer les fonctions $F$ associées (par
exemple, $F_{X}$ , $F_{Y}$ $\ldots$ Pour une V.A absolument continue,
l’élément $dF(u)$ se réduit au seul terme $f(u)du$ et pour
une V.A discrète, $dF(u)$ ne contient pas le terme $f(u)du$ .
D’où

$\displaystyle F_{X}(x)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}dF(u)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{-\infty}^{x}f(u)~{}du\quad\mbox{ pour une V.A continue}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{x_{i}\leq x}x_{i}P_{i}\quad\mbox{ pour une V.A discr\`{e}te}.$

Exemple 0.10.1

Fonction de répartion d’une V.A discrète

Une V.A pouvant prendre les valeurs discrètes $1,2,\ldots,6$ avec les probabilités respectives $P_{1},P_{2},\ldots,P_{6}$ admet
comme fonction de répartition, la fonction $F$ définie par :

dF(x)=\sum_{k=1}^{6}P_{k}\delta(x-x_{k})dx.

(21)

0.11 Fonction d’une variable aléatoire

Soit une fonction déterministe $h$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ . A toute V.A réelle $X$ on
associe la nouvelle V.A $Y$ dont chacune des valeurs y est obtenue comme
image d’au moins une valeur $x$ de $X$ . On pose

Y=h(X)

(22)

et l’on dit que la V.A $Y$ est l’image de $X$ par la fonction $h$ . On se
propose alors de déterminer la densité de probabilité $f_{Y}$ et la fonction de
répartition $F_{Y}$ de $Y$ à partir de la densité $f_{X}$ et de la fonction de
répartition $F_{X}$ de $X$ . Le cas le plus simple corréspond à des fonction $h$
monotones. Par exemple si $h$ est une bijection croissante, on obtient

	$\displaystyle F_{Y}(y)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle P(Y\leq y)=P(h(X)\leq y)=P[X\leq h^{-1}(y)]$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle[F_{X}oh^{-1}](y),\forall~{}y~{}\in\mathbb{R}.$

D’où

F_{Y}=F_{X}oh^{-1}

(23)

Si l’on suppose $F_{X}$ et $h$ dérivables, on
obtient, en distinguant les cas $h$ croissante et $h$
décroissante :

f_{Y}(y)=\frac{f_{X}(x)}{|h^{\prime}(x)|},\quad\mbox{avec}\quad y=h(x).

(24)

Exemple 0.11.1

Fonction affine d’une V.A

Dans le cas d’une fonction affine $y=h(x)=ax+b$ , un raisonnement
direct conduit à:

f_{Y}(y)=\frac{f_{X}(\frac{y-b}{a})}{|a|}.

Exemple 0.11.2

Fonction quadratique d’une V.A

Considérons maintenant le cas de la fonction $y=h(x)=x^{2}$ . Pour déterminer $F_{Y}$ , introduisons l’événement :

A_{y}=\{\omega/-\infty<Y\leq y\}=\{\omega/-\infty<X^{2}\leq y\}.

On a par définition $F_{Y}(y)=P(A_{Y})$ . D’où $F_{Y}(y)=0$ pour $y<0$ et pour
$y\geq 0$ , on a :

	$\displaystyle F_{Y}(y)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle P(A_{y})=P(\{\omega/-\sqrt{y}\leq X\leq\sqrt{y}\})$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle F_{X}(\sqrt{y})-F_{X}(-\sqrt{y})+P(X=-\sqrt{y}).$

La dérivée de $F_{Y}(y)$ donne la densité $f_{Y}(y)=0$ pour
$y\leq 0$ et

f_{Y}(y)=\frac{f_{X}(\sqrt{y})}{\sqrt{y}}+\frac{f_{X}(-\sqrt{y})}{\sqrt{y}},% \quad{\mathrm{p}our}\quad y>0.

Cette densité peut se mettre sous la forme :

f_{Y}(y)=\frac{f_{X}(x_{1})}{|h^{\prime}(x_{1})|}+\frac{f_{X}(x_{2})}{|h^{% \prime}(x_{2})|}\quad\mbox{avec}\quad y=h(x_{1})=h(x_{2}).

Ce résultat peut s’obtenir directement en partant de
(24) et en introduisant les restrictions monotones de $h$
définies sur $\mathbb{R}^{-}$ et $\mathbb{R}^{+}$ . Utilisant ce même
raisonnement, on peut généraliser 0.11 au cas des
fonctions $h$ quelconques pour obtenir la relation suivante :

f_{Y}(y)=\frac{f_{X}(x_{1})}{|h^{\prime}(x_{1})|}+\ldots+\frac{f_{X}(x_{n})}{|% h^{\prime}(x_{n})|}

(25)

avec

y=h(x_{1})=\ldots=h(x_{n}).

0.12 Espérance mathématique, variance et écart type

L’espérance mathématique d’une V.A
$X$ , si elle existe, est donnée par :

$\displaystyle E(X)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{\Omega}X(\omega)dP(\omega)\int_{-\infty}^{\infty}xdF_{X}(x)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xf_{X}(x)dx\quad\mbox{ pour une V.A continue}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{i}x_{i}P_{i}\quad\mbox{ pour une V.A discr\`{e}te}.$

L’espérance $E(X)$ n’existe pas toujours. Par exemple, pour la
densité de probabilité:

f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^{2})}\quad\mbox{{Loi de Cauchy}}

(27)

l’intégrale $E(X)$ est divergente. De même, on peut
déterminer $a$ pour que la fonction définie par $f(x)=0$ pour
$x\leq 1$ et $f(x)=ax^{-3/2}$ pour $x>1$ soit une densité
de probabilité. On peut vérifier que $E(X)$ n’existe pas.
Lorsque $E(X)$ existe, pour tout réel $\alpha$ donné on a :

$\displaystyle E(\alpha)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\alpha$
$\displaystyle E(\alpha X)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\alpha E(X)$	(28)
$\displaystyle E(\alpha+X)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\alpha+E(X).$

Théorème fondamental
Pour toute
fonction déterministe $h$ et toute V.A $X$ telles que les
espérances de $X$ et de $Y=h(X)$ existent, on a :

E(Y)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\int_{\mathbb{R}}ydF_{Y}(y)=\int_{% \mathbb{R}}h(x)dF_{X}(x).

(29)

Pour faciliter la compréhension de ce théorème, nous donnons
sa démonstration dans le cas d’une V.A discrète. Supposons que
$X$ peut prendre les valeurs suivantes : $x_{11},x_{12},\ldots,x_{1n_{1}}\quad x_{21},x_{22},\ldots,x_{2n_{2}}\quad% \ldots\quad x_{k1},x_{k2},\ldots,x_{kn_{k}}$
avec les probabilités $p_{ij}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}P(X=x_{ij})$ . Supposons
que la fonction $h$ qui n’est pas forcément injective, prend les
valeurs $y_{1},y_{2},\ldots,y_{k}$ et que pour

y_{i}=h(x_{i1})=h(x_{i2})=\ldots=h(x_{in_{i}}),\quad i=1,\ldots,k.

Comme $P(Y=y_{i})\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}q_{i}=\sum_{j=1}^{n_{i}}p_{ij}$ on obtient

	$\displaystyle E(Y)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{j=1}^{k}y_{i}q_{i}=\sum_{i=1}^{k}y_{i}\sum_{j=1}^{n_{i}}p_{% ij}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}y_{i}p_{ij}$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}h(x_{ij})p_{ij}=\int_{\mathbb{R}}% h(x)dF_{X}(x).$

Cette démonstration se généralise sans difficulté au cas
d’une V.A continue.

On peut établir que si $g$ est une fonction convexe et $X$ une
V.A telle que les espérances de $X$ et de $g(X)$ existent, alors
on a :

g(E[X])\leq E[g(X)].

(30)

Le théorème fondamental ci-dessus est très important puisqu’il
permet de calculer $E(Y)$ directement à partir de $F_{X}(x)$ sans
passer par la détermination de la loi de $Y$ . Il permet aussi
d’introduire les grandeurs suivantes associées à
une V.A.

La variance d’une variable aléatoire est la quantité positive
ou nulle définie par

\sigma^{2}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)% \stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E[(X-E(X))^{2}]=\int_{\mathbb{R}}(x-E(X))^% {2}dF_{X}(x).

(31)

Le nombre positif $\sigma$ défini par (31) est appelé écart
type de $X$ .

La fonction déterministe $f(a)=E([X-a]^{2})$ atteint son minimum pour
$a=E(X)$ et l’on a

f(a)=E((X-a)^{2})={\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)+[E(X)-a]^{2}

(32)

Cette relation est à comparer avec la formule de König-Huyghens sur les
moments d’inertie. On déduit de (32) les résultats suivants valables pour
tout nombre déterministe $a$

{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}

{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)={\mathop{\mathrm{v}ar}}(X+a)\quad{\mathrm{e}t}\quad% {\mathop{\mathrm{v}ar}}(aX)=a^{2}{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X).

On a souvent besoin de connaître un majorant de la probabilité
de l’ensemble des valeurs de $X$ vérifiant $|X-E(X)|$ $\geq k\sigma$ . L’inégalité de Bienaymé-Tchebyshev donnée
par :

P(|X-E(X)|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^{2}}\quad\forall k\in\mathbb{R}^{+}

(33)

permet d’avoir un tel majorant en fonction de la valeur moyenne et
de l’écart type de la V.A. Cette inégalité ne nécessite
donc pas la connaissance complète de $X$ et pour l’établir, on
peut se reporter à l’exercice LABEL:exer:1b03.

Exemple 0.12.1

V.A prenant des valeurs entières

Si $X$ est une V.A à valeurs entières $\geq 0$ , on a
l’égalité suivante :

\sum_{n=1}^{\infty}nP[X=n]=\sum_{k=1}^{\infty}P[X\geq k].

(34)

En effet, on a $P(X\geq k)=$ Prob $[X=0]+$
Prob $[X=1]+\ldots+$ Prob $[X=k]$ . D’où en prenant
$k=0,1,\ldots,\infty$ et en sommant membre à membre les
égalités obtenues, on obtient le résultat énoncé.

0.13 Fonctions caractéristiques, moments, cumulants

La fonction caractéristique d’une V.A réelle $X$ est la transformée de Fourier
de sa mesure de probabilité. Elle est notée couramment $\Phi_{X}$ et on a
par définition :

\Phi_{X}(u)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E(e^{iuX})=\int_{\mathbb{R}}e^{% iux}dF_{X}(x),\quad i^{2}=-1.

(35)

Comme $F_{X}$ est une mesure bornée et $|e^{iu}|=1$ , la fonction $\Phi_{X}$
existe toujours et elle est continue. Lorsque $F_{X}$ est une mesure
absolument continue on a :

\Phi_{X}(u)=\int_{\mathbb{R}}e^{iux}f_{X}(x)dx

(36)

où $f_{X}$ désigne la densité de probabilité de $X$ . La fonction
caractéristique possède les propriétés suivantes qui découlent
directement de sa définition.

\Phi_{X}(0)=1,\quad\Phi_{(\alpha X)}(u)=\Phi_{X}(\alpha u),\quad\Phi_{(X+% \alpha)}(u)=e^{iu\alpha}\Phi_{X}(u).

Pour tout entier positif $k$ , on définit le moment centré
d’ordre $k$ , s’il existe, par

m_{k}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E([X-E(X)]^{k})=\int_{\mathbb{R}}(x-E% (X))^{k}dF_{X}(x)

et les moments non centrés par

\mu_{k}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E(X^{k}).

Les moments $\mu_{k}$ peuvent se calculer à partir de la fonction
caractéristique. En effet, si $\Phi_{X}(u)$ est dérivable à l’ordre $k$
on a :

\Phi_{X}^{(k)}(0)=i^{k}E(X^{k})

(37)

et si $\Phi_{X}(u)$ admet un développement en série au voisinage de 0,
il est donné par :

\Phi_{X}(u)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^{k}}{k!}i^{k}E(X^{k}).

(38)

D’après les propriétés de la transformée de Fourier, deux V.A ayant
la même fonction caractéristique ont forcément la même loi de probabilité. Les
formules d’inversion de la transformée de Fourier permettent d’obtenir

F_{X}(b)-F_{X}(a)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-T}^{+T}\Phi_{X% }(u)\frac{e^{-iua}-e^{-iub}}{iu}du.

(39)

\int_{\mathbb{R}}|\Phi_{X}(u)|du<\infty

alors $X$ admet une densité de probabilité $f(x)$ continue donnée par

f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\Phi_{X}(u)e^{-iux}du.

(40)

Il est facile d’établir qu’une fonction caractéristique vérifie toujours :

\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\Phi_{X}(u_{i}-u_{j})z_{i}z_{j}^{*}\geq 0

(41)

et ceci pour toute famille finie de réels $u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}$ et pour toute famille finie de complexes $z_{1},z_{2},\ldots,z_{n}$ . Une fonction vérifiant cette propriété est dite
définie non négative.

Théorème de Bochner Une fonction continue est une
fonction caractéristique si, et seulement si, elle est définie
non négative.

Exemple 0.13.1

Fonction caractéristique d’une V.A
uniforme

Soit $X$ une variable aléatoire réelle de densité
uniforme sur $[0,\pi]$ . On définit les variables $Y=\mathop{\mathrm{c}os}(\alpha X)$ et $Z=\mathop{\mathrm{s}in}(\alpha X)$ où $\alpha$ désigne un réel
fixé.

1.

Déterminer les espérances mathématiques $E(Y)$ et $E(Z)$ .
2.

En déduire, sans calcul, la fonction caractéristique de $X$ .

Comme toute fonction caractéristique est continue au voisinage de 0 et
vérifie $\Phi_{X}(0)=1$ , il existe un voisinage $\Delta$ de 0 dans
lequel $\Phi_{X}(u)\neq 0$ . Pour $u\in\Delta$ , on peut donc définir la
seconde fonction caractéristique de $X$ par :

\Psi_{X}(u)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\mbox{Log}\Phi_{X}(u).

(42)

Comme $\Psi_{X}(u)$ est complexe, on choisit la détermination de la fonction
logarithme qui s’annule pour $u=1$ . Si $\Psi_{X}(u)$ est dérivable à l’ordre $k$ on pose

\Psi_{X}^{(k)}(0)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}i^{k}C_{k}(X)

et le réel $C_{k}(X)$ est appelé cumulant d’ordre $k$ de $X$ .
Si $\Psi_{X}(u)$ admet un développement en série au voisinage de 0, ce
dernier est donné par :

\Psi_{X}(u)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^{k}}{k!}i^{k}C_{k}(X).

Remarque 0.13.2

Partant de la relation entre $\Psi_{X}(u)$ et $\Phi_{X}(u)$ et utilisant
un développement limité, on peut établir des relations entre les
cumulants $C_{k}(X)$ et les moments $\mu_{k}$ d’une V.A $X$ .

0.14 Fonction génératrice

Soit $X$ une V.A pouvant prendre les valeurs $0,1,2,...,k,...$ avec les
probabilités $p_{0},p_{1},p_{2},...,p_{k},...$ On peut associer à $X$ sa fonction
caractéristique $\Phi_{X}$ mais on lui préfère la fonction définie par

g_{X}(z)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\sum_{k=0}^{\infty}p_{k}z^{k},% \quad|z|<1

appelée fonction génératrice de la V.A $X$ . Toute fonction génératrice
$g_{X}$ est holomorphe sur le disque $|z|<1$ . En effet, comme

|\sum_{k=0}^{\infty}p_{k}z^{k}|\leq\sum_{k=0}^{\infty}p_{k}=1

la série est absolument et donc uniformément convergente sur le disque
$|z|<1$ . La fonction génératrice peut se mettre sous la forme suivante :

g_{X}(z)=E(z^{X}),\quad g_{X}(1)=1

qui permet d’introduire les moments factoriels d’ordre $n$ d’une V.A $X$ .
Ces moments sont définis par :

\nu_{n}[X]=E[X(X-1)...(X-n+1)].

Ces moments factoriels sont définis aussi bien pour une V.A discrète que
pour une V.A continue mais ils présentent un intérêt
surtout dans le cas d’une V.A à valeurs entières grâce au résultat
suivant :

\nu_{n}(X)=g^{(n)}_{X}(1).

0.15 Lois de probabilités classiques

Loi uniforme Une V.A discrète est dite uniforme si
elle prend un nombre fini de valeurs $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ avec
les mêmes probabilités $1/n$ . Une V.A continue est dite
uniforme sur $[0,a]$ si elle admet une densité de probabilité
définie par :

f(x)=\frac{1}{a}I_{a}(x)

où $I_{a}$ est la fonction indicatrice de $[0,a]$ . On a :

E(X)=\frac{a}{2},\quad{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)=\frac{a^{2}}{12},\quad\Phi_{X% }(u)=\frac{e^{iua}-1}{iua}.

Loi de Benoulli et loi binomiale ${\cal B}(n,p)$ La loi
de Benoulli de paramètre $p$ est la loi d’une V.A ne pouvant
prendre que deux valeurs (en général, on se ramène à 1 et
0) avec les probabilités $p$ et $q=1-p$ . On a donc $X^{2}=X$
et par suite

E(X)=p,\quad{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)=p(1-p)=pq,\quad\Phi_{X}(u)=pe^{iu}+q.

La loi binomiale peut être introduite de plusieurs manières différentes.
C’est la loi de la variable $X$ égal au nombre de succés lorsqu’on répète
une même expérience $n$ fois dans des conditions indépendantes sachant que
cette expérience conduit à deux résultats complémentaires : succés ou échec.
Introduisant cette loi en considérant une urne contenant $N$ boules dont la
couleur est soit blanche soit noire. Soit $p$ la proportion de boules
blanches et $q=1-p$ celle des boules noires. Supposons que l’on
effectue un tirage avec remise de $n$ boules. Nous supposons donc que
les $n$ tirages successifs sont des épreuves indépendantes. On définit
ainsi une V.A $X$ prenant comme valeurs le nombre de boules blanches
tirées. La loi de $X$ est donnée par :

P(X=k)=C^{k}_{n}p^{k}q^{n-k},\quad k=0,1,\ldots,n.

(43)

Les probabilités $P(X=k)$ sont données par le développement du binôme

(p+q)^{n}=\sum_{k=1}^{n}C^{k}_{n}p^{k}q^{n-k}

et pour cette raison, cette loi est appelée loi binomiale de
paramètres $n$ et $p$ . On la note ${\cal B}(n,p)$ et on a :

E(X)=np,\quad{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)=npq,\quad\Phi_{X}(u)=(pe^{iu}+q)^{n}.

Il est facile de voir que si $X$ suit une loi ${\cal B}(n,p)$ , la
variable définie par $Y=n-X$ suit alors une loi ${\cal B}(n,1-p)$ . Dans la pratique on est souvent conduit à étudier la
V.A $F=\frac{X}{n}$
appelée fréquence. Si la variable $X$ suit
une loi binomiale ${\cal B}(n,p)$ , on obtient facilement

P(F=k/n)=C^{k}_{n}p^{k}q^{n-k},\quad k=0,\ldots,n

E(F)=p,\quad{\mathop{\mathrm{v}ar}}(F)=\frac{pq}{n}.

La variable $F$ prend des valeurs non entière mais suit elle aussi la loi
${\cal B}(n,p)$ .

Loi multinomiale et loi du tirage exhaustif Soit une
urne contenant $N$ boules dont les $k$ couleurs sont
numérotées par $1,2,\ldots,k$ . Soit $p_{i}$ la porportion de
boules de couleur $i,i=1,2,\ldots,k$ . Supposons que l’on
effectue un tirage avec remise de $n$ boules. Nous supposons donc
que les $n$ tirages successifs sont des épreuves
indépendantes. On définit ainsi une V.A ${\mathbf{x}}=(X_{1},X_{2},\ldots,X_{k})$ prenant comme valeurs $(n_{1},n_{2},\ldots,n_{k})$
où $n_{i}$ représente le nombre de boules de couleur $i$
tirées. On obtient aprés calculs :

P\{X=(n_{1},n_{2},\ldots,n_{k})\}=\frac{n!}{n_{1}!n_{2}!\ldots n_{k}!}p_{1}^{n% _{1}}p_{2}^{n_{2}}\ldots p_{k}^{n_{k}}.

Cette loi est appelé loi multinomiale car $P\{X=(n_{1},n_{2},\ldots,n_{k})\}$
est donné par le terme général du développement suivant

(p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{k})^{n}=\sum_{n_{1},\ldots,n_{k}}\frac{n!}{n_{1}!n_{2}!% \ldots n_{k}!}p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\ldots p_{k}^{n_{k}}.

Soit une population de $N$ individus parmi lesquels une proportion $p$
possède une propriété $A$ . On prélève un échantillon de $n$ individus
parmi cette population (le tirage s’effectuant d’un seul coup ou au
fur-et-à-mesure
mais sans remise). Soit $X$ la V.A prenant comme valeur le nombre d’individus
de l’échantillon possédant la propriété $A$ . On montre alors que

P(X=k)=\frac{C^{k}_{N-p}C^{n-k}_{N-N-p}}{C^{n}_{N}}

(44)

et un simple calcul donne

E(X)=np,\quad{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)=\frac{N-n}{N-1}np(1-p).

Loi de Poisson de paramètre $\lambda$ : ${\cal P}(\lambda)$ C’est la loi d’une V.A entière pouvant prendre les
valeurs $0,1,\ldots,\infty$ avec les probabilités suivantes :

P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\quad k\in\mathbb{N}.

(45)

Un calcul simple donne

E(X)=\lambda,\quad{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)=\lambda,\quad g_{X}(z)=e^{\lambda% (z-1)},\quad\Phi_{X}(u)=e^{-\lambda}e^{\lambda e^{iu}}.

Exemple 0.15.1

Loi de Poisson pondérée

Déterminer la fonction génératrice d’une V.A à valeurs entières pour laquelle les $p_{k}$
sont donnés par:

p_{k}=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u}u^{n}}{n!}{\epsilon}(u)du,\quad{\mathrm{a}% vec}\quad{{\epsilon}}(u)=\frac{1}{a}e^{\frac{-u}{a}}

On a

	$\displaystyle g(s)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u}u^{n}}{n!}(1-s)^{% n}{\epsilon}(u)du=\int_{0}^{\infty}e^{-u}e^{u(1-s)}{\epsilon}(u)du$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-us}\frac{1}{a}e^{\frac{-u}{a}}du=\frac{1}{a}% \int_{0}^{\infty}e^{-u\left(s+\frac{1}{a}\right)}du=\frac{1}{a}\left[\frac{e^{% -u\left(s+\frac{1}{a}\right)}}{-s-\frac{1}{a}}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{1+as}$

Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ : ${\cal E}(\lambda)$ Cette loi est définie par

f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\mbox{ pour }x\geq 0\quad\mbox{ et }\quad=0\mbox{ % pour }x<0

On a :

E(X)=1/\lambda,\quad{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)=1/\lambda^{2},\quad\Phi_{X}(u)=% \frac{-\lambda}{iu-\lambda}.

Loi de Laplace-Gauss ou loi normale : ${\cal N}(m,\sigma)$ Cette loi joue un rôle fondamental dans la pratique.
Elle constitue un modèle fréquemment utilisé dans diverses
applications. Une V.A $X$ suit une loi normale si sa densité de
probabilité est donnée par

f_{X}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mbox{ exp}\{\frac{-(x-m)^{2}}{2\sigma^{2}% }\}.

(46)

Si $X$ suit la loi normale ${\cal N}(m,\sigma)$ , on montre que

E(X)=m,\quad{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)=\sigma^{2},\quad\Phi_{X}(u)=e^{imu}e^{-% \frac{1}{2}u^{2}\sigma^{2}}.

Si on effectue le changement de variable

T=h(X)=\frac{X-m}{\sigma}

la nouvelle variable $T$ suit aussi une loi ${\cal N}(0,1)$ appelée loi normale
centrée et réduite et on a :

f_{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}.

La graphe de
$f_{T}$ , appelé courbe en cloche, admet comme asymptote l’axe des
abscisses $t^{\prime}t$ et deux points d’inflexion aux points $t=ñ1$
(voir graphe de $f_{T}$ à la fin de ce chapitre). La fonction
caractéristique de la variable réduite $T$ est donnée par :

\Phi_{T}(u)=e^{-u^{2}/2}.

La probabilité pour que $X$ appartienne à l’intervalle $[a,b]$ est donnée
soit par

P(X\in[a,b])=\int_{a}^{b}f_{X}(x)dx

soit par :

P(X\in[a,b])=P(T\in[\frac{a-m}{\sigma},\frac{b-m}{\sigma}]).

Dans la pratique, on introduit la fonction de répartition de $T$
et on utilise des tables pour calculer les valeurs de cette
fonction.

0.16 Couple aléatoire

0.17 Statistiques à 2 dimensions

Nous considérons une population $\Omega$ d’effectif total $N$ et
dont chaque élément présente deux caractères $X$ et $Y$ .
Soit, par exemple, un ensemble $\Omega$ d’individus dont on veut
étudier la taille $X$ et le poids $Y$ . A chaque individu
$\omega$ on associe la valeur de sa taille $x=X(\omega)$ et de
son poids $y=Y(\omega)$ . Dans la pratique, on peut supposer que
$x$ et $y$ appartiennent respectivement aux intervalles $[a,b]$
et $[c,d]$ . On subdivise alors $[a,b]$ en $r$ sous-intervalles
de même amplitude et on appelle $x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},\ldots,x_{r}$ les centres de ces intervalles. La même opération sur
$[c,d]$ conduit à $s$ sous-intervalles de même amplitude dont
les centres sont $y_{1},y_{2},\ldots,y_{j},\ldots,y_{s}$ . Au lieu
d’associer à chaque individu $\omega,$ le couple $(x,y)$ , on
convient de lui associer le couple $(x_{i},y_{j})$ défini par les
centres des intervalles contenant respectivement $x$ et $y$ . Ainsi
un même couple $(x_{i},y_{j})$ peut être associé à plusieurs
individus $\omega$ . On appelle série statistique double de
$\Omega$ pour les caractères $X$ et $Y$ l’application qui à
chaque élément $\omega$ de $\Omega$ associe le couple $(x_{i},y_{j})$ . Si, par rapport à un repère cartésien $x o y$ , nous
marquons les points de coordonnées $x_{i},y_{j}$ , nous obtenons un
graphique appelé nuage de points ou « graphe » de la série
statistique double. Soit une série statistique double, dont le
caractère $X$ a pour valeurs $x_{1},x_{2}$ , $\ldots$ , $x_{i},\ldots,x_{r}$ et le caractère $Y$ a pour valeurs $y_{1},y_{2},\ldots,y_{i},\ldots,y_{s}$ . On appelle effectif partiel du couple
$(x_{i},y_{j})$ le nombre $n_{ij}$ des éléments $\omega$ de la
population $\Omega$ dont les valeurs des caractères sont
respectivement $x_{i}$ et $y_{j}$ . Nous obtenons le tableau
1.

$\raisebox{-3.98337pt}{x}\ddots\raisebox{7.11317pt}{y}$	$y_{1}$	$y_{2}$	…	$y_{j}$	…	$y_{s}$	Totaux
$x_{1}$	$n_{11}$	$n_{12}$	…	$n_{1j}$	…	$n_{1s}$	$n_{1{.}}$
$x_{2}$	$n_{21}$	$n_{22}$	…	$n_{2j}$	…	$n_{2s}$	$n_{2{.}}$
…	…	…	…	…	…	…	…
$x_{i}$	$n_{i1}$	$n_{i2}$	…	$n_{ij}$	…	$n_{is}$	$n_{i{.}}$
…	…	…	…	…	…	…	…
$x_{r}$	$n_{r1}$	$n_{r2}$	…	$n_{rj}$	…	$n_{rs}$	$n_{r{.}}$
Totaux	$n_{{.}1}$	$n_{{.}2}$	…	$n_{{.}j}$	…	$n_{{.}s}$	$N$

Table 1: Statistique à 2 dimensions

Les fréquences partielles sont définies par :

f_{ij}=\frac{n_{ij}}{N}\quad{\mathrm{a}vec}\quad 0\leq f_{ij}\leq 1,\quad{% \mathrm{e}t}\quad\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{s}f_{ij}=1.

La somme des effectifs partiels contenus dans la ligne de $x_{i}$
est
égale à l’effectif des éléments dont la valeur du
caractère $X$ est $x_{i}$ . On représente par le symbol
$n_{i{.}}$ cette somme, le point remplaçant l’indice de
sommation $j$ qui disparait. Les nombres $n_{i{.}}$ sont appelés
effectifs marginaux et ils vérifient :

n_{i{.}}=\sum_{j=1}^{s}n_{ij},\quad i=1,2,\ldots,r.

On appelle fréquence marginale de $x_{i},i=1,2,\ldots,r$ , le rapport

f_{i{.}}=\frac{n_{i{.}}}{N}.

On suppose que tous les effectifs marginaux sont
différnts de 0 et on appelle fréquence conditionnelle de la valeur
$x_{i}$ sachant $y_{j}$ , le nombre noté $f_{i{\mathbf{|}}j}$ donné par :

f_{i{\mathbf{|}}j}=\frac{n_{ij}}{n_{{.}j}}=\frac{f_{ij}}{f_{{.}j}}.

On obtient la relation relation suivante qui relie
les trois types de fréquence :

f_{ij}=f_{{.}j}f_{i{\mathbf{|}}j}.

Inversant les rôles de $i$ et $j$ , on obtient:

f_{j{\mathbf{|}}i}=\frac{f_{ij}}{f_{i{.}}}\quad{\mathrm{e}t}\quad f_{ij}=f_{i{% .}}f_{j{\mathbf{|}}i}.

Comme les fréquences conditionnelles vérifient :

0\leq f_{i{\mathbf{|}}j}\leq 1,\quad 0\leq f_{j{\mathbf{|}}i}\leq 1\quad{% \mathrm{e}t}\quad\sum_{i=1}^{r}f_{i{\mathbf{|}}j}=\sum_{j=1}^{s}f_{j{\mathbf{|% }}i}=1

les nombres $f_{i{\mathbf{|}}j}$ pour $j$ fixé (res. $f_{j{\mathbf{|}}i}$
pour $i$ fixé) définissent des distributions de probabilité,
appelées probabilités conditionnelles du caractère $X$
sachant $Y=y_{j}$ (res. du caractère $Y$ sachant $X=x_{i}$ ).

0.18 Loi conjointe, loi marginale et loi conditionnelle

Dans ce qui précède, nous avons introduit une application qui associe à
chaque élément $\omega$ le couple $(x,y)=(x_{i},y_{j})$ de $\mathbb{R}^{2}$ et
le nombre $f_{ij}$ compris entre 0 et 1 et tel que les $f_{ij}$ vérifient
(LABEL:4-3). On a ainsi défini une variable aléatoire
sur $\mathbb{R}^{2}$ à partir des
probabilités associées à toutes les valeurs possibles
du couple $(x,y)$ .
On remarque que la connaissance des deux V.A $X$ et $Y$ est
insuffisante pour déterminer la loi du couple $(X,Y)$ .
Considérons une population $\Omega$
d’effectif total pouvant être fini, dénombrable ou non
dénombrable. Chaque élément $\omega$ présente deux caractères
$X$ et $Y$ . Chacun des deux caractères $X$ et $Y$ peut être
considéré comme une V.A et l’on se propose de faire une étude
conjointe du couple $(X,Y)$ . Soient deux V.A $X$ et $Y$
définies sur le même espace probabilisé $(\Omega,{\cal T},P)$ .
Ces variables sont donc des fonctions mesurables de $\Omega$ sur
$\mathbb{R}$ associant à tout élément $\omega$ de $\Omega$ un couple de
réels $(x,y)=\{X(\omega),Y(\omega)\}$ . La variable
aléatoire $(X,Y)$ à deux dimensions est définie par

(X,Y):(\Omega,{\cal T},P)\rightarrow(\mathbb{R}^{2},\mathbb{B}_{2})

(47)

où $B_{2}$ représente la tribue de Borel sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Loi conjointe La loi de probabilité conjointe d’un couple
aléatoire est la loi qui donne la probabilité, notée
$P_{XY}$ , du couple $(X,Y)$ . Elle est définie par la
connaissance, pour tout $(A_{1},A_{2})\in\mathbb{B}_{2}$ , des
probabilités :

P_{XY}\{(X,Y)\in(A_{1},A_{2})\}=P\{\omega\in X^{-1}(A_{1})\cap Y^{-1}(A_{2})\}.

(48)

Les ensembles de valeurs de $(X,Y)$ qui n’ont pas
d’antécédent ont donc une probabilité nulle.

Fonction de répartition La fonction de répartition d’un
couple aléatoire est la fonction de $\mathbb{R}^{2}$ dans $[0,1]$
définie par

F_{XY}(x,y)=P_{XY}(X\leq x,Y\leq y).

(49)

Proposition 0.18.1

La fonction $F_{XY}(x,y)$ est une fonction de répartition si,
et seulement si, elle est non décroissante par rapport aux
variables $x$ et $y$ et vérifie:

F_{XY}(-\infty,-\infty)=0,\quad F_{XY}(+\infty,+\infty)=1

F_{XY}(x^{-},y^{-})=F_{XY}(x,y)

où $x^{-}$ et $y^{-}$ désignent les limites par valeurs inférieures.

La loi de probabilité est une mesure de masse totale 1 définie
sur $\mathbb{R}^{2}$ et la fonction de répartition $F_{XY}(x,y)$ donne la
valeur de cette mesure sur le quart de plan $]-\infty,x]\times$
$]-\infty,y]$ comme l’indique la relation :

F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}dP_{XY}(u,v).

(50)

Si la fonction $F_{XY}(x,y)$ est absolument continue sur $\mathbb{R}^{2}$ ,
i.e., il existe une fonction $f_{XY}$ telle que

F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f_{XY}(u,v)dudv

(51)

le couple aléatoire $(X,Y)$ est dit absolument continu et la fonction
$f_{XY}$ est appelée densité de probabilité conjointe de $(X,Y)$ . La
fonction $F_{XY}$ est alors dérivable en tout point $(x,y)$ , sauf en un
ensemble fini ou dénombrable de points, et l’on a

\frac{\partial^{2}F_{XY}}{\partial x\partial y}=f_{XY}(x,y).

(52)

Comme $F_{XY}$ est non décroissante par rapport à $x$ et $y$ , on peut en
déduire que

f_{XY}(x,y)\geq 0\quad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

(53)

Dans le cas où $(X,Y)$ ne peut prendre qu’un nombre fini ou dénombrable de
valeurs $(x_{i},y_{j})$ avec des probabilités ponctuelles $P_{ij}=P_{XY}(X=x_{i},Y=y_{j})$ , le couple est dit discret. On lui associe alors la densité définie
par la distribution suivante :

f_{XY}(x,y)=\sum_{x_{i}\leq x,y_{j}\leq y}P_{ij}\delta(x-x_{i},y-y_{j})

(54)

où $\delta(x-x_{i},y-y_{j})$ est la distribution de Dirac à deux
dimensions.

D’une manière générale, un couple $(X,Y)$ est défini par la
donnée d’une fonction de répartition. A cette fonction, on peut
associer une densité de probabilité égale à
la somme d’une composante continue et d’une autre composante discrète.
Soit :

dF_{XY}(x,y)=\{f_{XY}(x,y)+\sum_{x_{i}\leq x,y_{j}\leq y}P_{ij}\delta(x-x_{i},% y-y_{j})\}dxdy

(55)

où les $P_{ij}$ sont tous nuls pour un couple continu et $f_{XY}(x,y)$ est
identiquement nulle pour un couple discret. La fonction de répartition s’écrit
donc

F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f_{XY}(u,v)dudv+\sum_{x_{i}% \leq x,y_{j}\leq y}P_{ij}.

(56)

Si $(X,Y)$ est absolument continu, on a forcément
$P\{X=x\}=0$ et $P\{Y=y\}=0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout
$y\in\mathbb{R}$ . Une simple observation du graphe représentant le
rectangle $R=\{(x,y)/a\leq x<b,c\leq y<d\}$ conduit à la relation :

	$\displaystyle P(R)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}dP_{XY}(u,v)=\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f_{% XY}(u,v)dudv.$

Cette probabilité peut donc être représentée par un volume
du prisme compris entre le plan $x o y$ et la surface d’équation
$z=f_{XY}(u,v)$ .

Lois marginales On peut s’intéresser à la projection de
la probabilité $P_{XY}$ sur chacune des coordonnées $X$ et
$Y$ . On définit alors les fonctions de répartition des
variables $X$ et $Y$ prises indépendemment l’une de l’autre. Ces
fonctions, appelées aussi fonctions de répartition marginales,
ont pour expressions :

F_{X}(x)=F_{XY}(x,+\infty)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{+\infty}dP_{XY}(u% ,v)

(57)

F_{Y}(y)=F_{XY}(+\infty,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{+\infty}dP_{XY}(u% ,v).

(58)

Ce sont des fonctions d’une seule variable : $x$ ou $y$ . Pour un couple
continu, les densités de probabilité (appelées densités marginales)
s’introduisent alors naturellement comme suit :

f_{X}(x)=\frac{dF_{X}(x)}{dx}=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dy

(59)

f_{Y}(y)=\frac{dF_{Y}(y)}{dy}=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dx.

(60)

Loi conditionnelle Pour mesurer un lien éventuel pouvant
exister entre deux V.A $X$ et $Y$ , on introduit le concept de lois
de probabilités conditionnelles. Il s’agit de trouver la loi de
probabilité d’une V.A lorsque la seconde a une valeur fixée.
On se place directement dans le cas d’un couple continu. Soit $A$
et $B$ les événements définis par :

A=\{(X,Y)/x\leq X<x+dx\mbox{ et }-\infty<y<+\infty\}

B=\{(X,Y)/y\leq Y<y+dy\mbox{ et }-\infty<x<+\infty\}.

On a

P_{XY}(A)=dx\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dy\quad{\mathrm{e}t}\quad P_{XY% }(B)=dy\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dx

P_{XY}(A\cap B)=f_{XY}(x,y)dxdy.

Le théorème sur les probabilités conditionnelles conduit à la définition de la
probabilité de $X$ conditionnellement à $Y=y$ comme suit :

P_{XY}(A{\mathbf{|}}B)=\frac{P_{XY}(A\cap B)}{P_{XY}(B)}=\frac{f_{XY}(x,y)}{% \int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dx}dx.

(61)

On définit alors la densité de probabilité de $X$
conditionnellement à $Y=y$ , notée $f_{X{\mathbf{|}}Y=y}(x)$ , de sorte que :

P_{XY}(A{\mathbf{|}}B)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}f_{X{\mathbf{|}}Y=y}% (x)dx=\frac{f_{XY}(x,y)}{\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dx}~{}dx.

(62)

Pour $Y=y$ fixé, le couple $(X,y)$ est une V.A dont la
densité de probabilité est donnée par $f_{X{\mathbf{|}}Y=y}(x)$ .
On introduit aussi la fonction de répartition conditionnelle
définie par

F_{X{\mathbf{|}}Y=y}(x)=\int_{-\infty}^{x}f_{X{\mathbf{|}}Y=y}(u)du.

Inversant les rôles de $X$ et $Y$ , on définit la densite
$f_{Y{\mathbf{|}}X=x}(y)$ et la fonction de répartition $F_{Y{\mathbf{|}}X=x}(y)$ de $Y$ .

Espérance mathématique et loi conjointe L’espérance
d’une V.A $X$ se calcule à partir de la loi conjointe du couple
$(X,Y)$ comme suit :

$\displaystyle E(X)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xdF_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-% \infty}^{\infty}xdF_{XY}(x,y)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xf_{XY}(x,y)dxdy% \quad\mbox{ Pour un couple continu}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{i,j}x_{i}P_{ij}\quad\mbox{ Pour un couple discret}.$

Proposition 0.18.2

Pour tout couple aléatoire $(X,Y)$ et tout couple de scalaire
$(\alpha,\beta)$ on a

E[(\alpha X+\beta Y)]=\alpha E(X)+\beta E(Y).

(64)

0.19 Variables aléatoires indépendantes

Deux V.A réelles définies sur le même espace $(\Omega,{\cal T},P)$ sont dites
indépendantes si $\forall(A,B)\in\mathbb{B}_{2}$ , on a :

P_{XY}(\{X\in A\})\cap\{Y\in B\})=P_{X}(X\in A).P_{Y}(Y\in B)

(65)

ceci équivaut à dire que la loi de probabilité du couple $(X,Y)$ est égale au
produit des lois (lois marginales) de chacune des variables $X$ et $Y$ prises
séparément.

Proposition 0.19.1

Deux V.A $(X,Y)$ sont indépendantes si, et seulement
si, la fonction de répartition du couple $(X,Y)$ est égale au produit des
fonctions de répartition marginales de $X$ et $Y$ , i.e.

F_{XY}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y).

(66)

Comme conséquence directe de la définition, on peut établir que si
$X$ et $Y$ sont deux V.A indépendantes, on a :

E(XY)=E(X)E(Y).

(67)

0.20 Fonction de deux variables aléatoires

Cas d’une fonction quelconque Soit une fonction
déterministe $h$ de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}^{2}$ définie par

h:(X,Y)\rightarrow(Z,T)=h(X,Y)

(68)

On dit que le couple aléatoire $(Z,T)$ est l’image par $h$ du couple $h:(X,Y)$ . Comme dans le cas d’une V.A, on peut être conduit à déterminer la densité
de probabilité $f_{ZT}$ et la fonction de répartition $F_{ZT}$ de $(Z,T)$ à
partir de la densité $f_{XY}$ et de la fonction de répartition $F_{XY}$
de $(X,Y)$ .

Proposition 0.20.1

Si la V.A $Z$ est définie par $Z=h(X,Y)$ , son
espérance peut se calculer de deux manières différentes comme suit :

E(Z)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\int_{-\infty}^{+\infty}zdF_{Z}(z)=% \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}h(x,y)dF_{XY}(x,y).

(69)

Ce résultat est la généralisation au cas d’un couple du
théorème déjà établi pour une V.A. Il permet de calculer
l’espérance de $Z$ directement à partir de la loi du couple
$(X,Y)$ et sans passer par la détermination de la loi de $Z$ .

Somme et produit de deux V.A, inverse d’une V.A On va
déterminer la loi de la V.A définie par $Z=X+Y$ en
fonction de celle du couple $(X,Y)$ dans le cas général où
les variables ne sont pas forcément indépendantes. Nous
considérons directement le cas d’un couple continu, le cas
discret pouvant être traîté d’une façon similaire.
Nous allons faire ce calcul de deux manières différentes. La
première consiste à introduire la fonction déterministe $h$
de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}^{2}$ , définie par :

h(X,Y)=(Z=X+Y,W=Y)

calculer ensuite la densité $f_{ZW}$ en fonction de $f_{XY}$ et
déterminer
enfin la densité $f_{Z}$ de $Z$ comme densité marginale. La deuxième méthode
consiste à calculer directement la fonction de répartition $F_{Z}$ de $Z$ et
d’en déduire ensuite $f_{Z}$ en dérivant par rapport à $Z$ .

Méthode 1 L’expressionde $h(X,Y)$ peut s’inverser et
conduire à la solution unique $X=Z-W,Y=W$ . Comme le
Jacobien de l’application (67) vérifie $J(x,y)=1$
pour tout $(x,y)$ , l’application $h$ est inversible et tout
élément de surface infinitésimale $dS=dxdy$ centré en
$(x,y)$ se transforme en un élément $d\Sigma=dzdw$ centré
en $(z,w)$ et réciproquement. Les probabilités associées
à $d S$ et $d\Sigma$ sont les mêmes et l’on a

f_{ZW}(z,w)|d\Sigma|=f_{XY}(x,y)|dS|=f_{XY}(z-w,w)|dS|.

Comme les deux surfaces $d S$ et $d\Sigma$ vérifient $|d\Sigma|=|J(x,y)|~{}|dS|=|dS|$ , on obtient

f_{ZW}(z,w)=f_{XY}(z-w,w).

La densité de $Z$ , définie en tant que densité marginale, est donnée par

f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(z-w,w)dw.

(70)

Méthode 2 On commence par calculer la fonction de
répartition :

F_{Z}(z)=P\{(x,y)/x+y\leq z\}=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{\infty}^{z-y}f_{XY% }(x,y)dxdy.

La dérivation de $F_{Z}(z)$ sous le signe intégral, par rapport
à $z$ , conduit immédiatement à l’expression de $f_{Z}$ obtenue
ci-dessus. Si les V.A $X$ et $Y$ sont indépendantes, la
densité $f_{XY}$ se factorise et on obtient:

f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy.

Proposition 0.20.2

La densité de la somme de deux V.A indépendantes est
égale au produit de convolution des densités de chacune des deux V.A.

On peut vérifier facilement les résultats suivants:

1.

La somme des deux V.A de Poisson indépendantes de
paramètres $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ est une V.A de Poisson de paramètre
$\lambda_{1}+\lambda_{2}$ .
2.

La somme de deux V.A binomiales indépendantes de
lois ${\cal B}(n,p_{1})$ et ${\cal B}(n,p_{2})$ est une V.A binomiale ${\cal B}(n,p_{1}+p_{2})$ .
3.

La somme de deux V.A gaussiennes (normales) indépendantes de lois
${\cal N}(m_{1},\sigma_{1}^{2})$ et ${\cal N}(m_{2},\sigma_{2}^{2})$ est une V.A gaussienne de loi ${\cal N}(m_{1}+m_{2},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$ . On verra plus loin que la somme
de $n$ V.A
gaussiennes dans leur ensemble est aussi une V.A gaussienne même si
ces V.A sont liées. Mais dans ce dernier cas la variance de la somme
n’est plus égale à la somme des variances.

Exemple 0.20.3

Indépendance de V.A uniformes sur un rectangle

Soit $(X,Y)$ uniforme sur le carré $[0,1]\times[0,1]$ . On peut
vérifier facilement que $X$ et $Y$ sont indépendantes et donc
la densité $f_{Z}$ de $Z=X+Y$ est égale au produit de
convolution:

f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(z-w)f_{Y}(w)dw.

C’est donc le produit de convolution de la fonction indicatrice de
l’intervalle $[0,a]$ par elle-même. On obtient la fonction
triangle symétrique de support $[a,a]$ et qui admet $(0,a)$
comme sommet.

Exemple 0.20.4

: Mise en série de deux résistances

1.

Exprimer l’espérance et l’écart type de $R_{i}$ en fonction de $m_{i}$ et de
$\Delta R$ .
2.

On s’intéresse à la mise en série des résistances $R_{i},i=1,2$ . Donner la
densité de probabilité $f_{s}(\omega)$ de la résistance $R_{s}=R_{1}+R_{2}$ et
tracer son graphe.

La loi du produit de deux V.A peut être établie à partir de la loi
conjointe en suivant la démarche adoptée pour établir la loi d’une
somme. On sait que si les 2 V.A sont indépendantes, cette loi est
égale au produit des lois de chacune des 2 V.A. Dans le cas général, on
n’a pas d’expression explicite. Donnons maintenant sur un exemple la
façon de traiter l’inverse d’une V.A.

Exemple 0.20.5

: Mise en parallèle de deux résistances

On considère deux résistances $R_{i},i=1,2$ . On suppose que
$R_{1}$ et $R_{2}$ sont deux variables aléatoires indépendantes et que chaque $R_{i}$ a une loi uniforme sur
l’intervalle $[m_{i}-\Delta R,m_{i}+\Delta R]$ , $m_{2}>m_{1}$ . On
s’intéresse à la mise en parallèle des résistances $R_{i},i=1,2$ . On suppose que $\Delta R_{i}/R_{i}<<1$ (résistances de bonne
qualité). Donner des expressions simplifiées pour les
densités suivantes.

1.

Densité de $X_{i}=1/R_{i}$
2.

Densité de $1/R_{p}=1/R_{1}+1/R_{2}$ .
3.

Densité de $R_{p}$ .

0.21 Covariance et coefficient de corrélation

Comme dans le cas d’une V.A à une dimension, la variance de la V.A $X$ est
définie par

{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)=E([X-E(X)]^{2})=E[(X)^{2}]-[E(X)]^{2}

(71)

et l’on a une expression analogue pour la variable $Y$ . Mais les
grandeurs $E(X),E(Y),{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)$ et ${\mathop{\mathrm{v}ar}}(Y)$ ne permettent pas
de mesurer un lien éventuel pouvant exister entre $X$ et $Y$ . On
introduit alors la nouvelle quantité, appelée covariance de
$X$ et $Y$ , définie par :

\mbox{Cov}(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}.

(72)

On peut vérifier, directement à partir de sa définition, que l’opérateur
$\mbox{Cov}(X,Y)$ possède les propriétés suivantes :

\mbox{Cov}(X,X)={\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)

\mbox{Cov}(X,Y)=\mbox{Cov}(Y,X)

\mbox{Cov}(\alpha X,\beta Y)=\alpha\beta\mbox{Cov}(X,Y)

\mbox{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

L’espérance $E\{[X+aY]^{2}\}$ est un polynôme de degré 2 par rapport à
la variable $a$ . Comme ce polynôme ne prend que des valeurs non
négatives lorsque $a$ varie sur $\mathbb{R}$ , on peut en déduire
l’inégalité
suivante (Inégalité de Schwarz) :

|\mbox{Cov}(X,Y)|^{2}\leq|\mbox{Cov}(X,X)||\mbox{Cov}(Y,Y)|.

(73)

Cette inégalité montre que le nombre

r\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\frac{\mbox{Cov}(X,Y)}{\sqrt{{\mathop{% \mathrm{v}ar}}(X)}\sqrt{{\mathrm{V}ar}(Y))}}=\frac{\mbox{Cov}(X,Y)}{\sigma_{X}% \sigma_{Y}}

(74)

appelé coefficient de corrélation linéaire de $(X,Y)$ , vérifie

-1\leq r\leq 1.

(75)

Deux V.A $X$ et $Y$ sont dites non corrélées si elles vérifient la
propriété suivante :

\mbox{Cov}(X,Y)=0.

(76)

On dit aussi que les deux V.A sont orthogonales. Il est facile de voir que $X$
et $Y$ sont non corrélées si, et seulement si, $r=0$ . On admet que
plus la valeur absolue de $r$ est proche de 1, plus les V.A sont
corrélées. Donc plus $r$ est proche de 0, plus les V.A sont
décorrélées et elles sont orthogonales pour $r=0$ . Deux V.A
indépendantes sont forcément non corrélées et ceci pour toute loi de
probabilité. La réciproque est fausse pour une loi de probabilité
quelconque mais peut être vraie pour certaines lois particulières comme
la loi de Gauss. Cependant la non corrélation conduit au résultat
suivant important dans la pratique : si deux V.A $X$ et $Y$ sont non
corrélées, on a pour tout couple $(\alpha,\beta)$ de nombres réels :

{\mathop{\mathrm{v}ar}}(\alpha X+\beta Y)=\alpha^{2}{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)% +\beta^{2}{\mathop{\mathrm{v}ar}}(Y).

(77)

Le coefficient de corrélation entre $X$ et $Y$ représente
le cosinus de l’angle formé par les vecteurs $X-E\{X\}$ et $Y-E\{Y\}$ . Un coefficient de corrélation nul exclut l’existence de
relation linéaire entre $X$ et $Y$ mais n’exclut pas l’existence
d’autres types de relations.

Dans la pratique, la notion d’indépendance est difficile à vérifier et
on préfère se limiter à savoir si deux V.A sont plus ou moins
corrélées. L’étude d’un couple aléatoire se fait donc souvent, de
manière incomplète, à partir de la seule connaissance de la matrice
définie par :

\Gamma\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\left[\begin{array}[]{cc}{\mathop{% \mathrm{v}ar}}(X)&\mbox{Cov}(Y,X)\\ \mbox{Cov}(X,Y)&{\mathop{\mathrm{v}ar}}(Y)\end{array}\right].

(78)

Cette matrice symétrique, dénommée matrice de covariance ou
matrice de corrélation du couple aléatoire est complètement déterminée
par les moments du second ordre du couple $(X,Y)$ . Elle possède des
propriétés importantes qui seront énoncées plus loin dans le cas
général d’un vecteur aléatoire.

Exemple 0.21.1

: V.A non corrélées et dépendantes

On considère le couple aléatoire $(X_{1},X_{2})$ uniformément
réparti à l’intérieur d’un cercle de rayon $R$ et centré
à l’origine des coordonnées. Les densités marginales sont
données par:

f_{X_{i}}(x)=\frac{2\sqrt{R^{2}-x_{i}^{2}}}{\pi R^{2}}\quad(i=1,2).

On vérifie que $f_{X_{1}}f_{X_{2}}\neq f_{X_{1}X_{2}}$ et les varibles
$X_{1}$ et $X_{2}$ ne sont donc pas indépendantes. Un calcul simple
conduit à $E(X_{1})=E(X_{2})=E({X_{1}X_{2}})=0$ et donc les
variables sont corrélées.

Exemple 0.21.2

: V.A corrélées et indépendantes

Les deux V.A $(X,Y)$ de densité conjointe :

f_{XY}(x,y)=\frac{k}{(1+x^{2})(1+y^{2})}

sont évidemment indépendantes et un calcul simple montre
qu’elles sont corrélées.

0.22 Fonction caractéristique d’un couple aléatoire

On appelle fonction caractéristique d’un couple aléatoire $(X,Y)$
la fonction de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{C}$ définie par

(u,v)\in\mathbb{R}^{2}\rightarrow\Phi_{XY}(u,v)=E[e^{i(uX+vY)}].

(79)

On a donc

$\displaystyle\Phi_{XY}(u,v)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(ux+vy)}dF_{XY}% (x,y)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(ux+vy)}f_{XY}(% x,y)dxdy\quad\mbox{ Pour un couple continu}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{i,j}e^{i(ux_{i}+vy_{j})}P_{ij}\quad\mbox{ Pour un couple % discret}.$

La fonction caractéristique est la transformée de Fourier de la
densité de probabilité du couple aléatoire. Elle possède donc des
propriétés importantes qui ne seront pas développées ici. Par exemple,
deux V.A $X$ et $Y$ sont indépendantes si, et seulement si, la fonction
caractéristique du couple $(X,Y)$ est égale au produit de celles de $X$ et
$Y$ , i.e.,

\Phi_{XY}(u,v)=\Phi_{X}(u)\Phi_{Y}(v).

(81)

0.23 Espérance et variance conditionnelles et totales

Soit $Y$ une V.A réelle et $X$ une V.A pouvant être
qualitative. Pour une valeur $X=x$ fixée (ou une situation possible dans le
cas où $X$ est qualitative), le couple $(X,Y)$ se réduit à la V.A $(x,Y)$ .
L’espérance mathématique de $(x,Y)$ est une fonction à valeurs réelles
de la variable $x$ :

h(x)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E(Y{\mathbf{|}}X=x)\in\mathbb{R}.

(82)

Cette fonction est donc une V.A qui
prend les valeurs $h(x)$ avec les probabilités $P(X=x)$ . Cette V.A est
appelée espérance conditionnelle de $Y$ sachant $X$ . On la note
$E(Y{\mathbf{|}}X)$ et l’on a :

E(Y{\mathbf{|}}X)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}h(X)\stackrel{{% \scriptstyle\Delta}}{{=}}\int_{-\infty}^{+\infty}yf_{Y{\mathbf{|}}X=x}(y)dy.

(83)

On définit de la même manière l’espérance conditionnelle de $X$ sachant $Y$
par

E(X{\mathbf{|}}Y)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}k(Y)\stackrel{{% \scriptstyle\Delta}}{{=}}\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{X{\mathbf{|}}Y=y}(x)dx.

(84)

Si $X_{1},X_{2}$ et $Y$ sont trois V.A définies sur le même espace probabilisé et
$(\alpha,\beta)$ un couple de réels, la définition de l’espérance conditionnelle
conduit à la relation suivante :

E[(\alpha X_{1}+\beta X_{2}){\mathbf{|}}Y]=\alpha E(X_{1}{\mathbf{|}}Y)+\beta E% (X_{2}{\mathbf{|}}Y).

(85)

Théorème de l’espérance totale Si $X$ et $Y$ sont deux
V.A définies sur le même espace probabilisé alors
l’espérance de $Y$ , appelée espérance totale, est donnée
par

E(Y)=E[E(Y{\mathbf{|}}X)].

(86)

La démonstration de ce résultat important est donné ci-dessous, dans la
cas d’un couple continu. On a :

$\displaystyle E(Y)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}y[\int_{-\infty}^{\infty}f_{XY}(x,y)dx]dy$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y{\mathbf{\|}}X% =x}(y)dy]f_{X}(x)dx$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}E(Y{\mathbf{\|}}X=x)f_{X}(x)dx=E[E(Y{% \mathbf{\|}}X)].$

Théorème de la variance totale Si $X$ et $Y$ sont deux
V.A définies sur le même espace probabilisé alors la
variance de $Y$ , appelée variance totale, est donnée par:

{\mathop{\mathrm{v}ar}}(Y)=V[E(Y{\mathbf{|}}X)]+E[{\mathop{\mathrm{v}ar}}(Y{% \mathbf{|}}X)].

(87)

oú

{\mathop{\mathrm{v}ar}}(Y{\mathbf{|}}X)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E\{% [Y-E(Y{\mathbf{|}}X)]^{2}{\mathbf{|}}X\}

est appelée variance conditionnelle.

On introduit parfois le nombre $\rho_{X{\mathbf{|}}Y}$ , appelé
rapport de corrélation de $X$ en $Y$ , défini par :

\rho_{X{\mathbf{|}}Y}^{2}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\frac{V[E(X{% \mathbf{|}}Y)]}{V[X]}.

(88)

Ce nombre vérifie $-1\leq\rho_{X{\mathbf{|}}Y}\leq 1$ . Si
$\rho_{X{\mathbf{|}}Y}^{2}=1$ , alors $X$ est reliée à $Y$ par une
relation
fonctionnelle au sens de l’analyse classique.

Si $\rho_{X{\mathbf{|}}Y}^{2}=0$ , alors $E(X{\mathbf{|}}Y)$ est égal à
une constante avec une probabilité 1.

En effet, si $\rho_{X{\mathbf{|}}Y}^{2}=1$ , alors on a $E[{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X{\mathbf{|}}Y)]=0$ , i.e. ${\mathop{\mathrm{v}ar}}(X{\mathbf{|}}Y)=0$ avec une probabilité 1.
Pour $Y$ fixé, la V.A $X$ ne prend qu’une seule valeur
$X=\Phi(Y)$ . Le rapport $\rho_{X{\mathbf{|}}Y}^{2}$ est donc maximal
$(=1)$ si $X$ est reliée à $Y$ par une relation fonctionnelle
au sens de
l’analyse classique.

Si $\rho_{X{\mathbf{|}}Y}^{2}=0$ , alors on a $V[E(X{\mathbf{|}}Y)]=0$ , i.e.
$E(X{\mathbf{|}}Y)$ est égal à une constante avec une probabilité 1. On dit qu’il y a
absence de dépendance en moyenne entre $X$ et $Y$ .

0.24 Espérance conditionnelle et projection

Nous allons donner une interprétation des grandeurs associées à un couple aléatoire en se
plaçant directement dans le cas des V.A complexes.
Un couple $(X,Y)$ à valeurs complexes est une application d’un espace
probabilisé sur l’ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}^{2}$ dont chacune
des deux composantes $X$ et $Y$ est une V.A à valeurs complexes.
Rappelons que $X$ est une V.A à valeurs complexes si ses parties réelle
et imaginaire sont des variables aléatoires réelles.
Soit $\mathbb{E}$ l’ensemble des V.A réelles
ou complexes définies sur le même espace probabilisé $(\Omega,{\cal T},P)$ pour
lesquelles

<X,Y>\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E\{X\overline{Y}\}<\infty.

(89)

Considérons sur $\mathbb{E}$ la relation d’équivalence $X=Y$ ssi $X=Y$ avec
une probabilité 1, c’est-à-dire la probabilité de l’ensemble
des $\omega$ pour lesquels $X(\omega)\neq Y(\omega)$ est nulle.
L’ensemble, dénommé $L^{2}(P)$ , de toutes les classes d’équivalence ainsi
définies est un espace vectoriel complet pour la topologie définie par
la norme

||X||^{2}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E(|X|^{2}).

(90)

En effet, il est facile de vérifier que (90) définit bien une norme
puisque

E(|X|^{2})=0\Longleftrightarrow X=0\mbox{ sur }L^{2}(P).

(91)

L’ensemble $L^{2}(P)$ est donc un espace de Hilbert et il appelé
ensemble des V.A de carré sommable ou d’ordre deux. La
définition de la covariance d’un couple aléatoire complexe
généralise comme suit :

\mbox{Cov}(X,Y)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E[\{X-E(X)\}\{\overline{Y}-% E\{\overline{Y}\}].

(92)

où $\overline{Z}$ désigne le complexe conjugué de $Z$ . L’écart type et la
covariance sont donc la norme et le produit scalaire des V.A centrées.

Proposition 0.24.1

L’ensemble des V.A constantes
(nombres déterministes) est une droite vectorielle $D$ de $L^{2}(P)$ .
L’opérateur qui à une V.A $X$ de $L^{2}(P)$ associe le nombre scalaire
$E(X)$ est l’opérateur projection orthogonale sur $D$ .

Ce résultat est une conséquence directe du fait que le minimum de
$E\{(X-a)^{2}\}$ est atteint pour $a=E(X)$ .

Proposition 0.24.2

Soit $L_{Y}^{2}(P)$ le sous-espace vectoriel de $L^{2}(P)$ formé par les V.A qui
sont fonction de la V.A fixée $Y$ . Alors, l’espace $L_{Y}^{2}(P)$ est convexe et
contient la droite des constantes $D$ . C’est un sous-espace de Hilbert
fermé et l’opérateur projection orthogonale sur $L_{Y}^{2}(P)$
est définie par :

\Pi_{Y}(X)\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E(X{\mathbf{|}}Y).

(93)

Les V.A $Y$ et $X-E(X{\mathbf{|}}Y)$ sont orthogonales.

Démontrons à titre d’exemple que l’opérateur $\Pi_{Y}$
vérifie les deux propriétés suivantes (c’est donc un
projecteur):

\Pi_{Y}{\Pi_{Y}(X)}=\Pi_{Y}(X)\mbox{ (op\'{e}rateur idempotent)}

<Z,\Pi_{Y}(X)>=<\Pi_{Y}(Z),X>\mbox{ (op\'{e}rateur auto-adjoint)}.

La première propriété est évidente d’après la
définition de l’espérance conditionnelle. La deuxième
propriété s’obtient en utilisant le théorème de
l’espérance totale. On a en effet :

E\{ZE(X{\mathbf{|}}Y)\}=E\{E[ZE(X{\mathbf{|}}Y){\mathbf{|}}Y]\}=E\{E(X{\mathbf% {|}}Y).E(Z{\mathbf{|}}Y)\}

et ceci prouve la propriété par symétrie.

Remarque 0.24.3

Le théorème de la variance totale s’interprète comme le théorème de
Pythagore appliqué au triangle dont les cotés sont $X-E(X)$ ,
$X-E(X{\mathbf{|}}Y)$ et $E(X)$ , $E(X{\mathbf{|}}Y)-E(X)$ qui est rectangle en
$E(X{\mathbf{|}}Y)$ . En effet, on a :

$\displaystyle{\mathop{\mathrm{v}ar}}(X)$	$\displaystyle\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}$	$\displaystyle\mid\mid E(X{\mathbf{\|}}Y)-E(X)\mid\mid^{2}+\mid\mid X-E(X{% \mathbf{\|}}Y)\mid\mid^{2}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle V[E(X{\mathbf{\|}}Y)]+E\{[X-E(X{\mathbf{\|}}Y)]^{2}\}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle V[E(X{\mathbf{\|}}Y)]+E[E\{[X-E(X{\mathbf{\|}}Y)]^{2}\}{\mathbf{\|}% }Y]$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle{\mathop{\mathrm{v}ar}}(E(X{\mathbf{\|}}Y))+E\{{\mathop{\mathrm{v}% ar}}(X{\mathbf{\|}}Y)\}.$

0.25 Vecteur Aléatoire

0.26 Passage d’un couple à un vecteur aléatoire

L’étude de la loi de probabilité d’une V.A $X_{1}$ peut dépendre de la
connaissance des valeurs prises par d’autres V.A $X_{2},X_{3},\ldots,X_{n}$ .
Pour faire cette étude, il faut connaître en premier lieu la distribution de
probabilité du $n$ -uplet $(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})$ qui est une application
mesurable de $(\Omega,{\cal T},P)$ dans $\mathbb{R}^{n}$ . D’où la notion de
vecteur aléatoire. Associons aux $n$ V.A
$X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$ , définies sur le même espace
probabilisé $(\Omega,{\cal T},P)$ , le $n$ -uplet

{\mathbf{x}}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})^{T}

(95)

appelé variable aléatoire à $n$ dimensions ou
vecteur aléatoire à $n$ composantes.
La loi de probabilité d’un vecteur aléatoire est la loi qui donne la
probabilité, notée $P_{\mathbf{x}}$ , pour que ${\mathbf{x}}$ prenne ses valeurs
dans un sous-ensemble quelconque de $\mathbb{R}^{n}$ . Cette loi est définie
naturellement par :

	$\displaystyle P_{\mathbf{x}}\{(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})\in(A_{1},A_{2},\ldots% ,A_{n})\}$
	$\displaystyle\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}P\{X^{-1}_{1}(A_{1})\cap X^{-% 1}_{2}(A_{2})\cap\ldots\cap X^{-1}_{n}(A_{n})\}$		(96)
	$\displaystyle\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}P(\{\omega\}/X_{i}(\omega)\in A% _{i},i=1,\ldots,n)$		(97)

et ceci pour toute partie $A_{1}\times\ldots\times A_{n}$ de $\mathbb{R}^{n}$ .

Proposition 0.26.1

La loi d’un vecteur aléatoire ${\mathbf{x}}$ est complètement déterminée à
partir de l’application
de $\mathbb{R}^{n}$ dans $[0,1]$ définie par

F_{\mathbf{x}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=P_{\mathbf{x}}(X_{1}\leq x_{1},X_{2}% \leq x_{2},\ldots,X_{n}\leq x_{n}).

(98)

Cette application est appelée fonction de répartition de ${\mathbf{x}}$ .

L’espérance mathématique d’un vecteur aléatoire est le vecteur
certain de $\mathbb{R}^{n}$ défini par :

{\mathbf{m}}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E({\mathbf{x}})\stackrel{{% \scriptstyle\Delta}}{{=}}\{E(X_{1}),E(X_{2}),\ldots,E(X_{n})\}^{T}.

(99)

Un vecteur aléatoire est dit centré s’il vérifie la condition

E({\mathbf{x}})={\mathbf{0}}.

(100)

0.27 Fonction de plusieurs variables aléatoires

Soit une fonction déterministe ${\mathbf{h}}$ de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}^{m}$
définie par

{\mathbf{h}}:(X_{1},\ldots,X_{n})\rightarrow(Y_{1},\ldots,Y_{m}).

(101)

Si les $X_{i}$ désignent des V.A, alors chaque $Y_{i}$ est une V.A
monodimensionnelle, $Y_{i}=h_{i}(X_{1},\ldots,X_{n})$ , fonction des V.A
$X_{1},\ldots,X_{n}$ . Comme dans le cas d’un couple
aléatoire, on a le théorème suivant.

Proposition 0.27.1

Si la V.A $Y_{i}$ est définie par $Y_{i}=h_{i}(X_{1},\ldots,X_{n})$ , son espérance peut se calculer à partir de la
loi conjointe de $(X_{1},\ldots,X_{n})$ comme suit :

E(Y_{i})\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\int_{\mathbb{R}^{n}}h_{i}(x_{1},% \ldots,x_{n})dP_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots,x_{n}).

(102)

Ce résultat généralise les théorèmes déjà énoncés pour une V.A et pour
un couple. Les notions de densités conjointes, de lois marginales
et de lois conditionnelles, introduites pour un couple aléatoire,
se généralisent également de manière naturelle aux vecteurs
aléatoires.
La loi d’un vecteur aléatoire se rattache à celle d’une V.A comme le
précise le résultat important suivant.

Proposition 0.27.2

La loi de probabilité d’un vecteur aléatoire
${\mathbf{x}}$ est entièrement déterminée par celles de toutes
les combinaisons
linéaires des composantes de ${\mathbf{x}}$ . Elle est donc déterminée par
l’application
de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{C}$
définie par :

{\mathbf{u}}\in\mathbb{R}^{n}\rightarrow\Phi_{\mathbf{x}}({\mathbf{u}})% \stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E[e^{i{\mathbf{u}}^{T}{\mathbf{x}}}]

(103)

et dénommée fonction caractéristique du vecteur ${\mathbf{x}}$ .

Exemple 0.27.3

Soit $X_{i},i=1,2,\ldots,n$ , une suite de $n$ V.A
de Bernoulli indépendantes et de même paramètre $p$ . La loi de
probabilité de la variable définie par

X=\sum_{k=1}^{n}X_{i}

(104)

est une loi ${\cal B}(n,p)$ . Démontrer que la
fonction caractéristique $\Phi_{X}(u)$ de $X$ est égale au produit de
celles des $X_{i}$ . En déduire que

\Phi_{X}(u)=(pe^{iu}+q)^{n}

(105)

Exemple 0.27.4

Loi d’une somme aléatoire de V.A
indépendantes
On considère $N$ V.A, $X_{1},\ldots,X_{N}$ définies sur le même
espace probabilisé, indépendantes et de même loi ( $i i d$ ). On
suppose que $N$ est aussi une VA. On se propose d’exprimer la
fonction caractéristique de la nouvelle VA :

Y\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\sum_{k=1}^{N}X_{k}.

(106)

On obtient en appliquant le théorème de l’espérance totale :

$\displaystyle\Phi_{Y}(u)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle E\{E[e^{iu\sum_{k=1}^{N}X_{k}}]{\mathbf{\|}}N\}=E\{\prod_{k=1}^{N% }E[e^{iuX_{k}}{\mathbf{\|}}N]\}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle E\{\Phi_{X}(u)^{N}\}=E\{e^{j(-j\mathop{\mathrm{L}og}[\Phi_{X}(u)% ]N)}\}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\Phi_{N}(-j\mathop{\mathrm{L}og}[\Phi_{X}(u)]).$

0.28 Indépendance statistique et orthogonalité

Les composantes de ${\mathbf{x}}$ sont dites statistiquement indépendantes
dans leur ensemble si la fonction caractéristique
définie par (107) est égale au produit des fonctions
caractéristiques de chacune des composantes de ${\mathbf{x}}$ , i.e.,

\Phi_{\mathbf{x}}({\mathbf{u}})=\prod_{i=1}^{n}\Phi_{X_{i}}(u_{i}).

(107)

L’indépendance ainsi définie est difficile à vérifier dans la pratique.
On se limite souvent à l’information contenue dans les moments
d’ordre 2 des composantes de ${\mathbf{x}}$ . On introduit alors la
matrice de variance-covariance (ou matrice de covariance) définie par :

\Gamma_{\mathbf{x}}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E\{[{\mathbf{x}}-E({% \mathbf{x}})][{\mathbf{x}}-E({\mathbf{x}})]^{T}\}.

(108)

Cette matrice est complètement déterminée par les moments d’ordre
2 associés au vecteur ${\mathbf{x}}$ et joue un rôle important dans les
applications pratiques. Si les composantes de
${\mathbf{x}}$ sont des V.A réduites, i.e. des V.A de variances égales à
l’unité, la matrice de covariance de ${\mathbf{x}}$ est appelée
matrice de corrélation. Par abus de langage, on ne fait pas de
distinctions entre matrice de corrélation et matrice de covariance. Si
${\mathbf{x}}$ a des composantes réelles, la matrice $\Gamma_{\mathbf{x}}$ est
symétrique et elle est hermitienne dans le cas où les composantes sont
complexes. Dans les deux cas, $\Gamma_{\mathbf{x}}$ vérifie la propriété
suivante ( matrice définie non négative) : .

\sum_{i,j=1}^{n}\lambda_{i}\overline{\lambda}_{j}\gamma_{ij}\geq 0,\quad% \forall\lambda_{i}\in\mathbb{C}

(109)

où les $\gamma_{ij}$ représentent les éléments de $\Gamma_{\mathbf{x}}$ .
En effet, si $Z$ est la V.A complexe définie par

Z\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}X_{i}

(110)

où les $\lambda_{i}$ sont des nombres complexes arbitraires, on a :

E[|Z|^{2}]=\sum_{i,j=1}^{n}\lambda_{i}\overline{\lambda}_{j}\gamma_{ij}\geq 0,% \quad\forall\lambda_{i}\in\mathbb{C}

(111)

puisque l’espérance $E[|Z|^{2}]$ est forcément non négative.

Proposition 0.28.1

Une condition nécessaire et suffisante pour
qu’une matrice soit une matrice de covariance d’un
vecteur aléatoire est qu’elle soit définie non négative.

Les $n$ V.A $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$ sont dites non corrélées si la matrice de
corrélation du vecteur ${\mathbf{x}}$ ayant pour composantes les $X_{i}$ est une
matrice diagonale. Soit

X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}:\mbox{ non corr\'{e}l\'{e}es}\quad ssi\quad\mbox{Cov}% (X_{i},X_{j})=0\mbox{ pour }i\neq j.

Remarque 0.28.2

Il n’y a pas de distinction entre la non corrélation deux à
deux et la non corrélation tout court. Par contre, des V.A indépendantes
deux à deux ne sont pas forcément indépendantes dans leur ensemble.

Variance d’une somme de V.A non corrélées La variance
d’une somme de V.A non corrélées est égale à la somme des
variances de chacune de ces V.A.

Pour établir ce résultat très utile dans les calculs, il
suffit d’utiliser la linéarité de l’espérance et d’appliquer
la définition de la non corrélation, i.e., si $X_{i}$ et $X_{j}$
sont non corrélées on a ${\mathrm{C}ov}(X_{i},X_{j})=0$ .

Exemple 0.28.3

Variance d’une somme de V.A indépendantes

Un avion long-courrier peut transporter 100 passagers et
leurs bagages. Il pèse 120 tonnes, sans passagers ni bagages, mais équipage
compris et plein de carburant effectué. Les consignes de sécurité interdisent au
commandant de bord de décoller si le poids de l’appareil chargé dépasse 129.42
tonnes. Les 100 places ont été réservées. Le poids d’un voyageur suit une loi
d’espèrance mathématique 70 kg et d’écart-type 10 kg. Le poids de ses bagages suit
une loi d’espèrance mathématique 20 kg et d’écart-type 10 kg. Toutes ces variables
aléatoires sont supposées indépendantes.

1.

L’espérance mathématique du poids
total de l’appareil au moment du décollage est-elle conforme aux consignes de
sécurité ?
2.

Calculer l’écart-type $\sigma$ du poids total de l’appareil.
3.

Donner un majorant de la probabilité pour que le poids réel de l’appareil
au décollage dépasse 129.42 tonnes.

0.29 Vecteur gaussien réel, représentation complexe

Un vecteur aléatoire ${\mathbf{x}}$ est dit vecteur gaussien
à $n$ dimensions si toute combinaison linéaire de ses
composantes est une V.A gaussienne, i.e., pour tout vecteur
déterministe ${\mathbf{a}}$ , la V.A scalaire définie par :

Y\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}{\mathbf{a}}^{T}{\mathbf{x}}

est gaussienne.

Tenant compte des propriétés de la fonction caractéristique,
on peut supposer que ${\mathbf{x}}$ est centré. Le théorème de
Cramer-Wold [Cramer] permet d’établir que la loi de ${\mathbf{x}}$ est alors parfaitement déterminée. L’expression de la
fonction caractéristique $\Phi_{\mathbf{x}}$ se déduit de la
relation:

\Phi_{\mathbf{x}}(a)=\Phi_{Y}(1)\quad\mbox{si}\quad Y\stackrel{{\scriptstyle% \Delta}}{{=}}{\mathbf{a}}^{T}{\mathbf{x}}.

Comme, $Y$ est par définition une gaussiènne centrée et de
variance:

{\mathop{\mathrm{v}ar}}(Y)={\mathbf{a}}^{T}{\Gamma}_{\mathbf{x}}{\mathbf{a}}

oú ${\Gamma}_{\mathbf{x}}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E[{\mathbf{x}}{% \mathbf{x}}^{T}]$ désigne la
matrice de covariance du vecteur ${\mathbf{x}}$ , on obtient:
$\Phi_{\mathbf{y}}(u)=e^{-\frac{u}{2}{\mathop{\mathrm{v}ar}}(Y)}$ . D’oú l’expression suivante pour
${\Phi}_{{\mathbf{x}}}$ :

\Phi_{\mathbf{x}}({\mathbf{u}})=e^{-\frac{1}{2}{\mathbf{u}}^{T}{\Gamma}_{% \mathbf{x}}{\mathbf{u}}}.

(112)

Partant de cette expression, on peut établir les résultats
suivants pour un vecteur gaussien.

1.

Les composantes de ${\mathbf{x}}$ sont indépendantes $s s i$ elles sont non
corrélées, i.e., si et seulement si la matrice de covariance est diagonale.
2.

Si la matrice de covariance $\Gamma$ d’un vecteur aléatoire gaussien ${\mathbf{x}}$ est inversible, ${\mathbf{x}}$ admet une densité de probabilité et cette
dernière est donnée par :

${\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^{n}\rightarrow f_{\mathbf{x}}({\mathbf{x}})=\frac{1}% {\sqrt{(2\pi)^{n}[\mathop{\mathrm{d}et}(\Gamma)]}}e^{-\frac{1}{2}({\mathbf{x}}% -{\mathbf{m}})^{T}\Gamma^{-1}({\mathbf{x}}-{\mathbf{m}})}.$ (113)
3.

Les moments d’ordres impairs sont nuls, i.e.

$E(X_{i_{1}}\ldots X_{i_{2k+1}})=0$ (114)

et les moments d’ordres pairs sont donnés par :

$E[x_{i_{1}}x_{i_{2}}\ldots x_{i_{2k}}]=\sum_{\sigma}E[x_{\sigma({i_{1}})}x_{% \sigma({i_{2}})}]\ldots E[x_{\sigma({i_{2k-1}})}x_{\sigma({i_{2k}})}]$ (115)

où $\sigma$ désigne une permutation de ( $1,2,\ldots,2k$ ) et où la
somme est étendue à l’ensemble de tous les $\sigma$ donnant des termes
différents. Le membre de droite de (115) comprend une somme de $(2k-1)!!\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}1.3.5\ldots(2k-1)$ termes. En particulier si l’on prend $i_{1}=i_{2}=\ldots=i_{2k}$ , on obtient

$E[X^{2k}_{i}]=[(2k-1)!!][E(X^{2}_{i})]^{k}$ (116)
4.

Tous les cumulants d’ordre $n\not=2$ sont nuls et la seconde fonction
caractéristique est donnée par :

${{\Psi}}_{{\mathbf{x}}}({\mathbf{u}})=-\frac{1}{2}{\mathbf{u}}^{T}{\Gamma}_{{% \mathbf{x}}}{\mathbf{u}}.$ (117)

Exemple 0.29.1

Moment d’ordre 4 d’une V.A gaussienne

La relation (116) donne pour $X_{1}=X_{2}=$ $X_{3}=X_{4}=$ $X$ ,
$E(X^{4})=3\sigma^{2}$ oú $\sigma^{2}$ désigne la variance d’une
V.A
gaussienne centrée.

Il est possible d’introduire
la définition d’un vecteur gaussien comme étant un vecteur
dont la loi est définie par (113). On démontre alors
que le caractère gaussien se conserve dans toute transformation
linéaire, i.e., si ${\mathbf{x}}$ est un vecteur gaussien, alors il
en est de même pour ${\mathbf{y}}=h({\mathbf{x}})$ oú $h$ est une
transformation linéaire. Cette propriété fondamentale
s’obtient en calculant la fonction caractéristique de ${\mathbf{y}}$ .
Cette propriété est valable pour les vecteurs de dimension
finie ce qui est souvent le cas des espaces fonctionnels
rencontrés dans différents domaines tels que l’automatique et
le traitement du signal. Par contre, $h({\mathbf{x}})$ n’est plus
gaussien si $h$ est non linéaire. Les V.A gaussiennes jouent un
rôle important dans la pratique pour les raisons
suivantes.

La loi de Gauss introduit de grandes simplifications dans les
calculs.

Toute combinaison linéaire de V.A gaussiennes dans leur ensemble
est une V.A gaussienne.

La loi de Gauss s’introduit naturellement dans un très grand
nombre de problèmes en raison du « théorème central limite »
qui sera énoncé plus loin. Ce théorème relie la moyenne
arithmétique d’une infinité dénombrable de V.A à une V.A
gaussienne.

Il y a équivalence entre la notion d’indépendance et celle de
non-corrélation dans le cas de V.A gaussiennes.

Exemple 0.29.2

Carré d’une V.A gaussienne

Soit $X$ une variables aléatoires (V.A) gaussienne centrée et
de variance $\sigma^{2}$ . On pose $Y=X^{2}$ . Les variables $X$ et $Y$
sont statistiquement liées puisqu’il existe une relation entre
ces deux variables. On a $E(XY)=E(X^{3})=0$ puisque c’est le
moment d’ordre trois d’une variable gaussienne centrée. Les
variables $X$ et $Y$ sont donc orthogonales. On a $E(XY^{n})=E(X^{2n+1})=0$ puisque c’est un moment d’ordre impair d’une
variable gaussienne centrée.

Exemple 0.29.3

Combinaison linéaire de deux V.A gaussiennes

Soit $(X,Y)$ un couple aléatoire réel, centré et de
matrice de covariance :

\Gamma\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\left[\begin{array}[]{cc}1&\alpha\\ \alpha&1\end{array}\right],0<\alpha<1.

On définit
la nouvelle variable aléatoire $Z\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}aX+bY$ où $a$ et $b$ sont deux
constantes déterministes.

1.

On suppose que chacune des V.A $X$ et $Y$ est gaussienne. Alors
$Z$ est non gaussienne.
2.

On suppose que chacune des V.A $X$ et $Y$ est gaussienne et que $X$
et $Y$ sont indépendantes. Alors $Z$ est aussi gaussienne.
3.

On suppose que le couple $(X,Y)$ est gaussien. Alors le calcul de
la fonction caractéristique $\phi_{Z}(w)$ de $Z$ en fonction de
$a$ et $b$ montre que $Z$ est gaussienne. Le calcul de
l’espérance mathématique et de la variance de $Z$ est alors
immédiat.

Exemple 0.29.4

Représentation complexe d’un vecteur gaussien

Pour des raisons pratiques, la notion de V.A à valeurs complexes
joue un rôle important en traitement des signaux. Les
définitions de moments, de cumulants et de V.A gaussienne, ont
étés introduites dans le cas complexe en utilisant des
démarches plus ou moins différentes [picinbono1]. Dans la
référence, la notion de fonction caractéristique classique a
été généralisée comme suit. Si ${z}$ est une V.A
réelle ou complexe, sa fonction caractéristique est définie
par :

\Phi_{{z}}({w},\overline{w})\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E[e^{\frac{j}{% 2}(\overline{w}{z}+{w}\overline{z})}],\quad j^{2}=-1

où ${w}$ est une variable déterministe complexe et
$\overline{w}$ le complexe conjugué de ${w}$ . La fonction
$\Phi_{z}$ est donc une fonction des deux variables complexes ${w}$
et $\overline{w}$ qui prend des valeurs réelles. Pour les variables
réelles, ${z}={x}$ , $\Phi_{{z}}$ est reliée à la fonction
caractéristique classique par :

\Phi_{{x}}({u})=\Phi_{z}({u},\overline{u})=\Phi_{z}({u},{u})

où ${u}$ est une variable réelle. Ainsi cette extension permet
d’avoir une seule définition de la fonction caractéristique qui
est valable aussi bien pour des V.A à valeurs réelles que
complexes. En particulier, les concepts
de moments, cumulants, variable gaussienne seront définis sans
distinction entre le cas réel et le cas complexe. Les résultats
dans le cas complexe ne seront pas développés dans ce chapître.

0.30 Suites de Variables aléatoires

Si $X_{1}$ et $X_{2}$ sont deux VA définies sur le même espace
probabilisé, leur somme $X_{1}+X_{2}$ et leur produit $X_{1}X_{2}$ définissent des
VA sur cet espace. Ce résultat s’étend au cas de plusieurs VA. L’ensemble
des VA définies sur le même espace $(\Omega,{\cal T},P)$ est un sous-espace
vectoriel ${\cal E}(\Omega,\mathbb{R})$ de l’espace vectoriel des applications de
$\Omega$ dans $\mathbb{R}$ . C’est également un sous-anneau de l’anneau des
applications de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ . Supposons que la loi de probabilité
$F_{X}(x,n)$ d’une V.A $X$ dépend d’un paramètre $n$ pouvant prendre toutes les
valeurs entières. Les fonctions $F_{X}(x,n)$ sont déterminées
à partir de la loi de probabilité $P$ introduite sur l’espace probabilisé $(\Omega,{\cal T},P)$ . On peut s’intéresser aux propriétés asymptotique des $F_{X}(x,n)$ . On introduit
alors pour chaque $n$ fixé, une V.A notée $X_{n}$ admettant $F_{X}(x,n)$ comme
fonction de répartition. Il est clair que $X_{n}$ n’est pas unique. On défini
ainsi une suite de V.A Les dirrérentes notions de voisinage d’un point donnée
de l’espace ${\cal E}(\Omega,\mathbb{R})$ permettent d’introduire
différents types de convergences d’une suite de V.A sur ${\cal E}(\Omega,\mathbb{R})$ [papoulis] [picinbono1] [saporta].
Une suite de VA $X_{n},\;n\in N$ , appartenant à ${\cal E}(\Omega,\mathbb{R})$ étant une suite de fonctions de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ , il existe
diverses façons de définir la notion de convergence de $X_{n}$ vers une VA limite $X$ .
Certains types de convergences jouent un rôle important en calcul des probabilités.
Quatre types de convergences vont être examinés dans cette section.

0.31 Convergence en probabilité ou convergence faible

La suite $(X_{n})$ converge en probabilité vers la VA $X$ si pour tout
réel $\epsilon$ fixé, la suite numérique

P_{n,\epsilon}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}P\{\omega/|X_{n}(\omega)-X(% \omega)|\leq\epsilon\}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\int_{\{{\omega/|X_{% n}(\omega)-X(\omega)|\leq\epsilon}\}}dP(\omega)

(118)

converge vers 1. On dénomme cette convergence par la $P$ -convergence. Cette
convergence exprime que pour $n$ suffisamment grand et $\epsilon$
quelconque, la probabilité de l’événement

A_{n,\epsilon}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\{\omega/|X_{n}(\omega)-X(% \omega)|<\epsilon\}

(119)

est arbitrairement voisine de 1. Cette convergence est la convergence en
mesure classique où la mesure est définie par la mesure de probabilité $P$ .

0.32 Convergence presque sûre ou convergence forte

La suite $(X_{n})$ converge presque sûrement (p.s.) vers $X$ si la suite
des ensembles

A_{n,0}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\{\omega/|X_{n}(\omega)-X(\omega)|=0\}

(120)

tend vers un ensemble $A$ de probabilité 1 : $P(A)=1$ . Cette
convergence est la convergence presque partout classique
où la mesure est définie par la mesure de probabilité $P$ .

Condition suffisante La suite $(X_{n})$ converge p.s.
vers $X$ si l’une des deux conditions suivantes est vérifiée :

1. Pour tout $\mu$ fixé, la série à temes positifs suivante est
convergente :

S\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\sum_{n=0}^{\infty}P[\{\omega/|X_{n}(% \omega)-X(\omega)|>\mu\}]

(121)

2. Il existe un réel $s>0$ tel que la série à termes positifs
suivante est convergente :

S\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\sum_{n=0}^{\infty}E\{|X_{n}-X|^{s}\}.

(122)

On peut vérifier à titre d’exemple que la preuve du point 2
découle du point 1. en utilisant l’inégalité de Tchebyscheff
qui permet d’écrire :

P\{\omega/|X_{n}(\omega)-X(\omega)|>\mu\}\leq E\{|X_{n}-X|^{s}\}/\mu^{s}.

(123)

0.33 Convergence en moyenne d’ordre $p$

La suite $(X_{n})$ converge en moyenne d’ordre $p$ vers $X$ si la suite
numérique

V_{n}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E\{|X_{n}-X|^{p}\}

(124)

converge vers 0. Le cas le plus fréquent en pratique correspond
à $p=2$ et l’on parle dans ce cas de convergence en
moyenne quadratique (m.q).

Lemme de Loève Une condition nécessaire et suffisante
pour qu’une suite $(X_{n})$ converge en m.q. est que, lorsque $m$ et
$n$ tendent vers l’infini, indépendemment l’un de l’autre, la
suite suivante tende vers une limite :

u_{n,m}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}E\{X_{n}X_{m}^{*}\}.

0.34 Convergence en loi

La suite de VA $(X_{n})$ de fonctions de répartition $F_{X_{n}}$
converge en loi vers la VA $X$ de fonction de répartition
$F_{X}$ si en tout point $x$ où $F_{X}(x)$ est continue, la suite
numérique $F_{X_{n}}(x)$ converge vers le nombre $F_{X}(x)$ . Pour
des VA discrètes la convergence en loi vers une VA s’exprime
par $P(X_{n}=k)$ converge vers $P(X=k)$ pour toutes les valeurs
$k$ de $X_{n}$ .

Une suite de VA discrètes peut cependant converger vers une
VA continue (par exemple, la loi de Poisson converge vers une
loi de Gauss : voir dans la suite de ce chapitre).

Si une suite de VA $X_{n}$ admettant des densités $f_{n}$ et $X$
une densité $f$ , alors la convergence en loi de $(X_{n})$ vers $X$
implique la convergence ponctuelle de la suite $f_{n}(x)$ vers
$f(x)$ en tout point $x$ .

0.35 Convergence des fonctions caractéristiques

La convergence en loi est liée à la convergence des fonctions
caractéristiques comme le précise le théorème suivant.

Levy-Cramer-Dugué 1. Si la suite $(X_{n})$ converge en loi
vers $X$ alors $\phi_{X_{n}}$ converge uniformément sur tout
intervalle $[a,b]$ vers
$\phi_{X}$ .

2. Si la suite de
fonctions $(\phi_{X_{n}})$ converge vers une fonction $\phi$ dont la partie
réelle est continue à l’origine, alors $\phi$ est une fonction caractéristique
et la suite $(X_{n})$ converge en loi vers une VA $X$ dont la fonction
caractéristique est donnée par $\phi_{X}=\phi$ .

0.36 Liens entre les différents types de convergence

Nous allons donner très brièvement quelques résultats sur les
liens entre les 4 notions de convergence.

La p.s convergence implique la convergence en probabilité. En
effet, il est clair que $A_{n,0}$ est contenu dans
$A_{n,\epsilon}$ , introduit en (119) et donc $P(A_{n,0})\leq P(A_{n,\epsilon})$ . Comme la probabilité est majorée par
1, la condition $P(A_{n,0})$ tend vers 1 entraine
$P(A_{n,\epsilon})$ tend vers 1.

La convergence en m.q implique la convergence en probabilité. En
effet, on a

	$\displaystyle\int_{\Omega}\|X_{n}-X\|^{2}dP(\omega)$	$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\int_{\{{\omega/\|X_{n}-X\|\geq\epsilon}\}}\|X_{n}-X\|^{2}dP(\omega)$
		$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\epsilon^{2}\int_{\{{\omega/\|X_{n}-X\|\geq\epsilon}\}}dP(\omega)=% \epsilon^{2}P[\{\omega/\|X_{n}-X\|\geq\epsilon\}].$

D’où

P[\{\omega/|X_{n}-X|\geq\epsilon\}]\leq\frac{E\{|X_{n}-X|^{2}\}}{\epsilon^{2}}% =\frac{V_{n}}{\epsilon^{2}}\quad\forall\epsilon\in\mathbb{R}^{+}.

(125)

La convergence en pobabilité implique la convergence en loi. En
effet, la convergence en probabilité implique que pour $n$
suffisamment grand et $\epsilon$ quelconque, l’événement
$A_{n,\epsilon}$ définie par (119) est quasi certain. La
suite des fonctions $F_{X_{n}}$ converge donc ponctuellement vers la
fonction de répartition de $X$ .

La convergence en loi est la convergence la plus
faible dans le sens où elle est entraînée par les trois autres. Cependant,
c’est la convergence la plus utilisée en pratique car elle permet d’approximer
la fonction de répartition de $X_{n}$ par celle de $X$ pour les grandes
valeurs de $n$ .

Exemple 0.36.1

Egalités en moyenne quadratique et presque sûrement

On a $X=Y$ en moyenne
quadratique ( $X\stackrel{{\scriptstyle m.q}}{{=}}Y$ ) si, et seulement si, $X=Y$
presque sûrement ( $X\stackrel{{\scriptstyle p.s}}{{=}}Y$ ). En effet,
$X\stackrel{{\scriptstyle m.q}}{{=}}Y$ équivaut à $E(|X-Y|^{2})=0$ et
$X\stackrel{{\scriptstyle p.s}}{{=}}Y$ équivaut à $P[\{\omega/X\neq Y\}]=0$ . Le résultat énoncé se déduit immédiatement de
l’égalité suivante.

	$\displaystyle E(\|X-Y\|^{2})$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{\{\omega/\|X-Y\|\neq 0\}}\|X-Y\|^{2}dP(\omega)+\int_{\{\omega/X% =Y\}}\|X-Y\|^{2}dP(\omega)$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{\{\omega/X\neq Y\}}\|X-Y\|^{2}dP(\omega)\stackrel{{% \scriptstyle\Delta}}{{=}}P[\{\omega/X\neq Y\}].$

0.37 Loi des grands nombres

La somme de V.A indépendantes et de même loi, on utilise souvent l’abréviation VA
$i i d$ qui signifie « independent and identicaly distributed », joue un rôle fondamental en
statistique. Nous donnons ici quelques résultats fondamentaux concernant ce problème.

Proposition 0.37.1

Soient $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$ une suite de VA indépendantes d’espérances finies
$\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{n}$ et de
variances finies $\sigma^{2}_{1},\sigma^{2}_{2},\ldots,\sigma^{2}_{n}$ . On pose :

Y_{n}=\frac{\sum_{k=1}^{n}X_{k}}{n}

(126)

et on suppose que

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}\mu_{k}}{n}=\mu.

(127)

1. Loi faible des grands nombres Si

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}\sigma^{2}_{k}}{n^{2}}=0

(128)

alors la suite des V.A $Y_{n}$ converge en probabilité vers $\mu$ .

2. Loi forte des grands nombres Si

\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\sigma^{2}_{k}}{k^{2}}<\infty

(129)

alors la suite des V.A $Y_{n}$ converge presque sûrement vers $\mu$ .

Dans le cas où les $(X_{n})$ est une suite d’échantillons, on
a : $\mu_{n}=\mu$ et
$\sigma^{2}_{n}=\sigma^{2}$ . Dans ce cas, la condition (129) est toujours vérifiée.

0.38 Théorèmes de la limité centrée

Proposition 0.38.1

Soit $X_{n}$ une suite de VA suivant une même loi de valeur moyenne $\mu$ et
d’écart type $\sigma$ . Alors la suite

Y_{n}=\frac{\sum_{k=1}^{n}X_{k}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}

(130)

converge en loi vers une V.A normale réduite ${\cal N}(0,1)$ .

Pour démontrer ce résultat, il suffit de poser $nY_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}$ . Ce
résultat se généralise comme suit.

Proposition 0.38.2

Soit $X_{n}$ une famille de V.A indépendantes suivant chacune
une loi de valeur moyenne $\mu_{n}$ , d’écart type $\sigma_{n}$ et
telle que la fonction de répartition $F_{i}$ de $X_{i}-\mu_{i}$
vérifie la condition :

\lim_{n\rightarrow\infty}\{\frac{1}{\sigma_{n}^{2}}\sum_{i=1}^{n}\int_{\mid x% \mid>\epsilon S_{n}}x^{2}dF_{i}(x)\}=0

(131)

où

S_{n}^{2}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{2}.

Alors, la suite $Y_{n}$ définie par

Y_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu_{i})}{S_{n}}

(132)

converge en loi vers une VA normale centrée et réduite.

0.39 Approximations des lois de probabilité classiques

Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
Soit $X_{n}$ une suite de VA binomiales de loi ${\cal B}(n,p)$
telles que $n$ et $p$ tendent respectivement vers $\infty$ et 0 de
manière à ce que le produit $n p$ tende vers une limite finie
$\lambda$ . Alors la suite $X_{n}$ converge en loi vers une VA de
Poisson de paramètre $\lambda$ .
Approximation d’une loi multinomiale par une loi binomiale
Lorsque $N$ tend vers l’infini, la loi $H(N,n,p)$ tend vers la
loi binomiale ${\cal B}(n,p)$ .
Approximation d’une loi binomiale par une loi normale Si
$X_{n}$ est une suite de VA binomiales de loi ${\cal B}(n,p)$ ,
alors la suite de VA définie par

Y_{n}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\frac{X_{n}-np}{\sqrt{npq}}

converge en loi vers une V.A normale centrée et réduite.
Approximation d’une loi de Poisson par une loi normale Soit
$X_{\lambda}$ une famille de V.A suivant la même loi de Poisson
$P(\lambda)$ alors la famille

Y_{\lambda}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\frac{X_{\lambda}-\lambda}{% \sqrt{\lambda}}.

converge en loi vers une V.A normale réduite.

0.40 Approximations des moments d’une variable aléatoire

Soient ${\mathbf{x}}_{i},i=1,\ldots,n$ une suite d’observations
indépendantes et de même loi ( $i i d$ ) de la même V.A vectorielle ${\mathbf{x}}$ à $p$
dimensions et soit ${\mathbf{\theta}}$ un vecteur déterministe. Une fonction $g$ des
variables ${\mathbf{x}}_{1},\ldots,{\mathbf{x}}_{n}$ telle que

E[g({\mathbf{x}}_{1},\ldots,{\mathbf{x}}_{n})]={\mathbf{\theta}}

(133)

est un estimateur non biaisé de ${\mathbf{\theta}}$ . Deux
situations importantes dans la pratique correspondent aux cas où
$g({\mathbf{x}}_{1},\ldots,{\mathbf{x}}_{n})$ est un estimateur d’un moment ou
d’un cumulant. Différents types d’estimateurs des moments et des
cumulants sont proposés dans la littérature. Les plus
importants sont fondés sur les $k$ -statistiques et correspondent
aux cas où la fonction $g({\mathbf{x}}_{1},\ldots,{\mathbf{x}}_{n})$ est un
polynôme symétrique des composantes des ${\mathbf{x}}_{i}$ . Nous
rappelons ci-dessous des résultats sur ces estimateurs dans le
cas multidimensionnel puis monodimensionnel.

Proposition 0.40.1

[Doob]
Soient $k_{1},\ldots,k_{p}$ des entiers donnés et ${\mathbf{x}}_{i}$ des vecteurs $i i d$
de composantes $x_{i,1}$ , $\ldots$ , $x_{i,p}$ , $1\leq i\leq n$ . Alors la
fonction

g({\mathbf{x}}_{1},\ldots,{\mathbf{x}}_{n})\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}% }\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i,1}^{k_{1}}.\ldots.x_{i,p}^{k_{p}}

(134)

converge en probabilité vers $E(x_{1}^{k_{1}}.\ldots.x_{p}^{k_{p}})$
et définit donc un estimateur non biaisé du moment $E(x_{1}^{k_{1}}.\ldots.x_{p}^{k_{p}})$ .

Proposition 0.40.2

[papoulis] [saporta]
Soit $X$ une V.A scalaire réelle dont les moments
$\mu_{k}$ existent pour tout entier $k$ et $\widehat{\mu}_{k}$ l’estimateur
empirique défini par

\widehat{\mu}_{n,k}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{% n}X_{i}^{k}

où $X_{1},\ldots,X_{n}$ sont des V.A indépendantes
et de même loi que $X$ . Alors, la variable $\widehat{\mu}_{n,k}$
possède les propriétés suivantes.

1.

On a:
$\mbox{var}(\widehat{\mu}_{n,k})=\frac{\mu_{2k}-\mu_{k}^{2}}{n}$ .
2.

La V.A $\widehat{\mu}_{n,k}$ converge
presque sûrement vers $\mu_{k}$ et on a $E(\widehat{\mu}_{n,k})=\mu_{k}$ .
3.

Pour les grandes valeurs de $n$ , $\widehat{\mu}_{n,k}$
peut être approximée par une V.A normale de moyenne $\mu_{k}$ et
de variance $\mbox{var}(\widehat{\mu}_{k})$ .

Pour un nombre d’échantillons fixé $n$ , une mesure de la
précision de l’estimateur de $\mu_{k}$ peut être faite à
l’aide de la quantité :

w_{k}\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\frac{\mbox{Var}(\mu_{k})}{\mbox{E}^{% 2}(\mu_{k})}=\frac{1}{n}\left(v_{k}-1\right)\quad{\mathrm{a}vec}\quad v_{k}% \stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}\frac{m_{2k}}{m_{k}^{2}},\quad m_{k}\neq 0

appelées variances relatives. Les résultats
suivants montrent que la suite des variances relatives des estimateurs
empiriques des moments n’est pas croissante dans le cas général. En
revanche, si la loi de $x$ est symétrique et centrée, seule l’estimation des
moments pairs présente un intérêt et dans ce cas la suite des variances
relatives est croissante.

Proposition 0.40.3

Pour tout
$k\in\mathbb{N}$ , on a
$v_{2k+1}\geq v_{2k}$ .

Les propositions suivantes sont équivalentes

1.

il existe $k_{0}\in\mathbb{N}$ tel que $v_{2k_{0}+1}=v_{2k_{0}}$
2.

la suite $(v_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ est constante
3.

$x$ prend au plus deux valeurs distinctes $0$ et $\alpha$ avec
${P}(\alpha)\neq 0$ .

Les propositions suivantes
sont équivalentes

1.

il existe un entier $k_{0}$ tel que $v_{2k_{0}+2}=v_{2k_{0}}$
2.

les sous-suites $(v_{2k})_{k\in\mathbb{N}}$ et $(v_{2k+1})_{k\in\mathbb{N}}$ sont constantes
3.

$x$ prend au plus trois valeurs distinctes $-\alpha$ , $0$ et
$\alpha$ , avec ${P}(0)\neq 1$ .

0.41 Fonction génératrice d’une V.A et application

0.42 Fonction génératrice d’une variable aléatoire

Considérons le cas des
Variables aléatoires (v.a) à valeurs dans l’ensemble
$\mathbb{N}$ des entiers naturels. On associe à
toute v.a $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ , une fonction dénommée fonction génératrice de $X$ , qui contient toutes les informations sur la loi de probabilité de $X$ . Si la loi est donnée par
la suite $p_{n}=P(X=n),n\in\mathbb{N}$ , la fonction génératrice est définie par la série entière

G_{X}(t)=E[t^{X}]=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(X=k)t^{k}=\sum_{n\geq 0}p_{n}t% ^{n}.

Comme $G_{X}(1)=1$ , le rayon de convergence de cette série est $R\geq 1$ .
La fonction génératrice caractérise parfaitement la loi de probabilité de $X$ . En effet si $X$ et $Y$ sont deux v.a à valeurs entières telles
que $G_{X}(t)=G_{Y}(t)$ pour tout $|t|<1$ , l’unicité du développement en série entière d’une
fonction montre que $X$ et $Y$ ont la même loi de probabilité.

Proposition 0.42.1

Somme de v.a indépendantes et de même loi
Soient $G_{X_{1}},\ldots,G_{X_{n}}$ les fonctions génératrices respectives
de $n$ v.a indépendantes $X_{1},\ldots,X_{n}$ et à valeurs dans $\mathbb{N}$ .
Alors la v.a $S=X_{1}+\ldots+X_{n}$ a une fonction génératrice $G_{S}$ donnée par

G_{S}=\prod G_{X_{i}}.

On peut établir le résultat par récurrence. En effet, on a

G_{X+Y}(t)=E(t^{X+Y})=E(t^{X}t^{Y})

Si les v.a $X$ et $Y$ sont indépendantes alors les v.a $(t^{X}$ et $t^{Y}$ le sont aussi et on obtient

E(t^{X+Y})=E(t^{X})E(t^{Y})

et donc $G_{X+Y}=G_{X}G_{Y}$ .

Proposition 0.42.2

Moyenne et variance
Soit $X$ une v.a à valeurs entières de fonction génératrice
$G_{X}$ . Si $X$ a un moment d’ordre 2, les dérivées à gauche $G_{X}^{\prime}(1)$
et $G_{X}^{\prime\prime}(1)$ au point 1 existent et on a :

E(X)=G_{X}^{\prime}(1),\quad\mathop{\mathrm{v}ar}(X)=G_{X}^{\prime\prime}(1)+G% _{X}^{\prime}(1)-G_{X}^{\prime}(1)^{2}.

Inversement si $G_{X}$ est deux fois dérivable en $t=1$ , alors $X$ a un moment
d’ordre 2 et les formules ci-dessus s’appliquent.

On peut toujours dériver formellement terme à terme
la série entière $G_{X}(t)$ pour établir le résultat.

Proposition 0.42.3

Somme de v.a à valeurs entières
Soit $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur le même
espace $(\Omega,\Pi,P)$ et à valeurs dans $\mathbb{N}$ .
On suppose que les $X_{n}$ suivent la même loi et on désigne par $G_{X}$ la fonction génératrice de $X_{n}$ .
Soit ${N}$ une v.a définie sur $(\Omega,\Pi,P)$ , à valeurs dans $\mathbb{N}$ , de fonction génératrice $G_{{N}}$ telle que $({N},X_{1},X_{2},...)$ est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes. Alors l’application :

S:\Omega\rightarrow\mathbb{N}\quad S(\omega)\rightarrow\sum_{k=1}^{{N}(\omega)% }X_{k}(\omega)

définit une v.a à valeurs dans $\mathbb{N}$ et sa fonction génératrice est donnée par

\forall t\in]-1,1[,\quad G_{S}(t)=G_{N}[G_{X}(t)].

(1) Si ${N}$ et $X_{1}$ admettent des espérances finies, alors $E(S)=E({N})E(X_{1})$
(2) Si ${N}$ et $X_{1}$ admettent des variances finies, alors

\mathop{\mathrm{v}ar}(S)=\mathop{\mathrm{v}ar}(X_{1})E({N})+\mathop{\mathrm{v}% ar}({N})E[X_{1}]^{2}.

Preuve Pour $n\in\mathbb{N}$ , l’événement ${\{N=n\}}$ se décompose comme suit :

{\{N=n\}}=\cup_{k\geq 1}\{{N}=k,S_{k}=\sum_{i=1}^{k}X_{i}=n\}

Pour $k\geq 1$ , la somme $S_{k}$ est une v.a, alors les événements
$\{{N}=k\}$ et $\{S_{k}=n\}$ sont dans $\Pi$ et donc l’événement
${\{N=n\}}$ est aussi dans $\Pi$ . Alors $S$ est bien une v.a définie sur $(\Omega,\Pi,P)$ et
on a :

t\in]-1,1[,\quad G_{S}(t)=\sum_{n=0}^{\infty}P(S=n)t^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}% \sum_{k=1}^{\infty}P({N}=k)P(S_{k}=n)t^{n}

Comme $c_{k}=|P({N}=k)P(S_{k}=n)t^{n}|$ est le terme d’une série convergente et
$\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}=P(S=n)t^{n}|$ est aussi le terme d’une série convergente, on peut intervertir les signes somme et obtenir :

	$\displaystyle\quad G_{S}(t)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}P({N}=k)\sum_{n=0}^{\infty}P(S_{k}=n)t^{n}=% \sum_{k=1}^{\infty}P({N}=k)G_{S_{k}}(t)$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}P({N}=k)G_{X}(t)^{k}=G_{{N}}[G_{X}(t)]$

Pour les points (2) et (3) il suffit de dériver puisque $G_{S}$ est dérivable en tant fonction composée de fonctions dérivables.
Le théorème de l’espérance totale $E(S)=E[E(S/{N})]$ permet aussi d’établir le résultat comme suit

$\displaystyle G_{S}(z)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle E(z^{\sum_{i=0}^{{{N}}}X_{i}})=E[E(z^{\sum_{i=1}^{k}X_{i}}/{{N}=% k})]$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle E[E(\prod_{i=1}^{N}z^{X_{i}}/{{N}=k})]=E[\prod_{1=1}^{N}E[z^{X_{% i}}]/{{N}=k})]$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle E[G_{X}(z)^{N}/{{N}=k})]=\sum_{k=0}^{\infty}P({N}=k)G_{X}(z)^{k}% =G_{{N}}[G_{X}(z)].$

$\displaystyle G_{S}(z)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle E[E(z^{S}/{N})]$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle E[(E(z^{X})^{{N}}]$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle E[G_{X}(z)^{{N}}]=G_{{N}}[G_{X}(z)].$

$\displaystyle G_{S}(z)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{k\geq 0}E(z^{\sum_{i=0}^{k}X_{i}}\|{N}=k)\mathbb{P}(X_{0}=k)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{k\geq 0}[E(z^{X})]^{k}\mathbb{P}({N}=k)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle E[(E(z^{X})^{X_{0}})]=G_{{N}}[G_{X}(z)].$

Proposition 0.42.4

Formule de Wald
Soit $(X_{n})_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i . i . d$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ . Soit $N={N}$ une
v.a à valeurs dans $\mathbb{N}$ .

S_{n}=X_{1}+X_{2}+\dots+X_{n},\quad S_{N}=X_{1}+X_{2}+\dots+X_{N}=\ 1\!\!1_{1% \leq n\leq N}\sum\ X_{n}.

On suppose que :
$(X_{n})_{n\geq 0}$ sont indépendantes dans leur ensemble et intégrables.
On suppose que l’une des deux conditions suivantes est remplie :
L’événement $\left\{N=n\right\}$ est entièrement déterminé par $(X_{1},X_{2},...,X_{n})$ ,
ou bien $N$ est indépendant de la suite $(X_{i})$ . Alors on a :

\mathbb{E}\left[S_{N}\right]=\mathbb{E}\left[N\right]\mathbb{E}\left[X_{1}% \right].

Preuve La variable aléatoire

Z=\ 1\!\!1_{1\leq n\leq N}\sum_{n\geq 1}|X_{n}|

est intégrable. En effet

\{n\leq N\}^{c}=\{n-1\geq N\}=\bigcup_{k=0}^{n-1}\{N=k\}\in\mathcal{F}_{n-1}.

Ainsi, pour $n\geq 1$ , en vertu de l’hypothèse d’indépendance entre la tribu $\mathcal{F}_{n-1}$ et la variable $X_{n}$

\mathbb{E}\left[|X_{n}|\ 1\!\!1_{n\leq N}\right]\,=\,\mathbb{E}\left[|X_{n}|% \right]\,\mathbb{E}\left[1\!\!1_{n\leq N}\right]\,=\,\mathbb{E}\left[|X_{1}|% \right]\,\mathbb{P}\left(n\leq N\right).

Or $N$ est intégrable si et seulement si la série de terme général $\mathbb{P}\left(n\leq N\right)$ est convergente (et la somme de cette série est $\mathbb{E}[N]$ ). En vertu du théorème de Beppo-Levi, et de l’hypothèse d’intégrabilité faite sur $N$ , la variable $Z$ est intégrable, et on peut donc s’en servir comme majorant pour appliquer le théorème de convergence dominée ou le théorème de Fubini à $S_{N}$ :

	$\displaystyle\mathbb{E}\left[S_{N}\right]$	$\displaystyle=\mathbb{E}\left[\sum_{n\geq 1}\,X_{n}\ 1\!\!1_{n\leq N}\right]$
		$\displaystyle=\,\sum_{n\geq 1}\,\mathbb{E}\left[X_{n}\ 1\!\!1_{n\leq N}\right]$
		$\displaystyle=\,\sum_{n\geq 1}\,\mathbb{E}\left[X_{n}\right]\,\mathbb{E}\left[% 1\!\!1_{n\leq N}\right]$
		$\displaystyle=\,\mathbb{E}\left[X_{1}\right]\,\sum_{n\geq 1}\,\mathbb{P}\left(% n\leq N\right)$
		$\displaystyle=\,\mathbb{E}\left[X_{1}\right]\,\mathbb{E}\left[N\right].$

0.43 Calcul utilisant une fonction génératrice

On se propose de calculer le nombre de partitions possibles $a_{n}$ d’un ensemble à $n$ éléments distincts
pour $n$ quelconque. On va associer à la suite $(a_{n})$ une série entière

A(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}

qui facilitera le calcul demandé. Cette série est appelée fonction génératrice de la suite $(a_{n})$ . On peut établir par récurrence sur $n$ que

a_{n}=\sum_{k=1}^{k=n}\mbox{${\cal C}$}_{n}^{k}a_{n-k},\quad a_{0}=1

puis, en introduisant une nouvelle suite $b_{n}$ ,

b_{n}=\frac{a_{n}}{n!}=\sum_{k=1}^{k=n}\frac{b_{n-k}}{k!}.

On peut établir par récurrence que

b_{n}\leq\frac{1}{\mathop{\mathrm{l}n}(2)^{n}}.

Le rayon de convergence de la série entière

B(z)=\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}z^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^{k=n}% \frac{b_{n-k}}{k!}\right)z^{n}

vérifie donc $R\leq\mathop{\mathrm{l}n}(2)$ . En posant $c_{k}=\frac{1}{k!}$ pour $k\neq 0$ et
$c_{0}=0$ , on reconnait le produit de Cauchy de deux séries et on obtient donc :

B(z)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^{k=n}c_{k}b_{n-k}\right)z^{n}=1+% \sum_{k=1}^{\infty}c_{k}z^{k}\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}z^{n}.

On a donc $B(z)-1=(e^{x}-1)B(z)$ puis $B(z)=\frac{1}{2-e^{x}}$ .
Comme $B(z)$ ne converge pas au point $x_{0}$ solution de $2-e^{x}=0$ , soit $x_{0}=\mathop{\mathrm{l}n}(2)$ , le rayon de convergence de la série $B(z)$ vérifie $R\leq\mathop{\mathrm{l}n}(2)$ . Finalement, on a $R=\mathop{\mathrm{l}n}(2)$ . Le développement de la fonction $B(z)$ en série et l’unicité de ce développement permet d’établir les expressions des $b_{n}$ :

b_{n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^{n}}{2^{k}n!}.

0.44 Calcul utilisant des variables aléatoires

Proposition 0.44.1

Introduire des V.A pour majorer une norme
Soient $v_{1},\ldots,v_{n}$ des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien. Ces vecteurs définissent un parallélépipède P et on a les propriétés suivantes.
(1) On suppose chaque $v_{i}$ de norme 1, alors

\exists\,\,(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n})\in\{-1,1\}^{n},\quad||\sum_{i=1}% ^{n}\epsilon_{i}v_{i}||^{2}\leq n

(2) Tout point situé à l’intérieur (ou sur) P est défini par

\exists p_{1},\ldots,p_{n}\,\,0\leq p_{i}\leq 1,\quad v=\sum_{i=1}^{n}p_{i}v_{% i}.

(3) Chaque sommet $s$ de P est défini par :

\exists\,\,(\theta_{1},\ldots,\theta_{n})\in\{0,1\}^{n},\quad s=\sum_{i=1}^{n}% \theta_{i}v_{i}.

(4) Pour tout $v$ fixé, il existe un sommet tel que $||s-v||^{2}\leq\frac{n}{4}$ .

Preuve
Soient $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$ des variables aléatoires définies
sur le même espace probabilisé, indépendantes dans leur ensemble et à valeurs dans $\{-1,1\}$ :

X_{i}:(\Omega,{\cal T},P)\quad\rightarrow\quad\{-1,1\},\quad P(X_{i}=1)=P(X_{i% }=-1)=\frac{1}{2}.

Posons

R=||\sum_{i=1}^{n}X_{i}v_{i}||^{2}

où $v_{1},\ldots,v_{n}$ sont des vecteurs de norme 1. On peut vérifier que $R$ est une v.a
à valeurs positives. Supposons par l’absurde que

\forall\,\,(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n})\in\{-1,1\}^{n},\quad||\sum_{i=1}% ^{n}\epsilon_{i}v_{i}||^{2}>n

ce qui signifie que la v.a $R$ ne prend que des valeurs $r>n$ . Son espérance vérifie donc $E(R)>n$ . Or

E(V)=<\sum_{i=1}^{n}X_{i}v_{i},\sum_{j=1}^{n}X_{j}v_{j}>=<\sum_{i=1}^{n}E(X_{i% }^{2})||v_{i}||^{2}=n>n

ce qui est absurde.
(2) Les points $v$ situés à l’intérieur (ou sur) du parallélépipède admettant comme arêtes $v_{1},\ldots,v_{n}$ sont définis
par:

v=\sum_{i=1}^{n}p_{i}v_{i}\quad 0\leq p_{i}\leq 1

Les sommets $s$ de ce parallélépipède sont définis par :

J\in\mbox{${\cal P}$}([1,n]),\quad s=\sum_{i\in J}v_{i}=\sum_{i=1}^{n}\epsilon% _{i}v_{i},\quad\epsilon_{i}=1\mbox{ si }i\in J,\quad\epsilon_{i}=0\mbox{ si }i% \not\in J.

Alors la distance d’un point $v$ à un sommet $s$ est donnée par :

||s-v||=||\sum_{i=1}^{n}(\epsilon_{i}-p_{i})v_{i}||.

On va démontrer que pour tout point $v$ il existe un sommet $s$ tel que $||s-v||^{2}\leq n/4$ .
Soient $Y_{1},Y_{2},\ldots,Y_{n}$ des variables aléatoires de Bernoulli, définies
sur le même espace probabilisé, indépendantes dans leur ensemble et à valeurs dans $\{0,1\}$ avec
la loi de probabilité $P(Y_{i}=1)=p_{i}$ et $P(Y_{i}=0)=1-p_{i}$ .
On obtient $E(Y_{i})=p_{i}$ . Les v.a $X_{1}=Y_{1}-p_{1},\ldots,X_{n}=Y_{n}-p_{n}$ sont indépendantes dans leur ensemble et centrées et elles sont donc deux à deux orthogonales. On a donc
$E(X_{i}X_{j})=0$ pour $i\neq j$ .
Posons

T=||\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-p_{i})v_{i}||^{2}=||\sum_{i=1}^{n}(X_{i})v_{i}||^{2}

où $v_{1},\ldots,v_{n}$ sont des vecteurs de norme $\leq 1$ . On peut vérifier que $T$ est une v.a.
Supposons par l’absurde que

\forall\,\,(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n})\in\{0,1\}^{n},\quad||\sum_{i=1}^% {n}(\epsilon_{i}-p_{i})v_{i}||^{2}>n/4.

Alors, la v.a $T$ ne prend que des valeurs $t>n/4$ et on doit donc avoir $E(T)>n/4$ . Or

E(T)=<\sum_{i=1}^{n}X_{i}v_{i},\sum_{j=1}^{n}X_{j}v_{j}>=\sum_{i=1}^{n}E[X_{i}% ^{2}]||v_{i}||^{2}\leq\sum_{i=1}^{n}E[X_{i}^{2}].

Or $E[X_{i}^{2})=(1-p_{i})(-p_{i})^{2}+p_{i}(1-p_{i})^{2}=p_{i}(1-p_{i})$ atteint son maximum pour $p_{i}=1/2$ et ce maximum est
égal à $1/4$ . Alors on obtient

E(T)\leq\sum_{i=1}^{n}E[X_{i}^{2})]\leq\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{4}\leq\frac{n}{4}

ce qui est absurde.

0.45 Processus de Galton-Watson pour les dynamiques de populations

On considère une mesure de probabilité ${\mathbf{P}}$ sur $\mathbb{N}$ définie par la donnée des probabilités $\left(p_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ et une famille dénombrable $X_{n,i}$ de v.a i.i.d de loi ${\mathbf{P}}$ .
On se donne une v.a $Z_{0}$ indépendante des $X_{n,i}$ . La suite des v.a
$Z_{n}$ définie par la récurrence :

Z_{n+1}=\sum_{i=1}^{Z_{n}}X_{n,i},\forall n\geq 0,\quad\sum_{i=1}^{0}X_{n,i}=0

est appelée processus de Galton-Watson. Le plus souvent on suppose $Z_{0}=1$ et $p_{0}+p_{1}<1$ . La suite $Z_{n}$ est un exemple de chaine de Markov à valeurs dans $\mathbb{N}$ puisque la valeur de $Z_{n+1}$ est complètement déterminée à partir de la famille de v.a indépendantes $Z_{0},Z_{1},\ldots,Z_{n}$ .
Le processus de Galton-Watson est un processus stochastique qui permet de décrire des dynamiques de populations d’individus qui se reproduisent de manière indépendante. Chaque individu $i$ de la génération $n$ donne naissance à $X_{n,i}$ individus et meurt. On suppose que les $X_{n,i}$ sont des variables aléatoires indépendantes à valeurs entières suivant la distribution $p=\left(p_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ .
Par exemple,
si $X_{n,i}=0$ avec la probabilité $p_{0}=\mathbb{P}(X_{n,i}=0)$ , alors l’individu $i$ de la génération $n$ meurt sans se reproduire.
Si $X_{n,i}=1$ avec la probabilité $p_{1}=\mathbb{P}(X_{n,i}=1)$ , alors il y a un remplacement un-pour-un de l’individu $i$ de la génération $n$ etc…Notons $Z_{n}$ la taille de la population à la $n$ -ème génération. On suppose souvent que la population possède un seul ancêtre, ce qui se traduit par $Z_{0}=1$ .
Le nombre moyen d’enfants, $m$ , d’un individu typique de la population considérée est donné par :

m\ =\ \sum_{k}kp_{k}\ =G_{N}^{\prime}(1)

D’après la formule de Wald, l’évolution de la taille moyenne de la population vérifie la formule de récurrence suivante :

\mathbb{E}[Z_{n+1}]\ =\ m\ \mathbb{E}[Z_{n}],\quad\Rightarrow\quad\mathbb{E}[Z% _{n}]\ =\ m^{n}.

On désignera par $G$ la fonction génératrice d’une v.a. de loi $\mathbb{P}$ appelée fonction génératrice de reproduction.
On définit aussi pour tout $n$ , la fonction génératrice de $Z_{n}$ par:

G_{n}(z)=\mathbb{E}[z^{Z_{n}}]=\sum_{k\geq 0}\mathbb{P}(Z_{n}=k)z^{k},\forall s% \in[-1,1].

On a donc

\mathbb{P}(Z_{n}=0)=G_{n}(0),\quad G_{n}(s)=G\circ G_{n-1}(s).

Définition Événement extinction
Si, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite $\left(Z_{n}\right)_{n\geq 0}$ sont nuls, on dit qu’il y a extinction de la population. par construction des $Z_{n}$ , s’il existe $N$ tel que $Z_{N}=0$ alors on a $Z_{N+k}=0\forall k\geq 0$ . L’événement extinction peut s’exprimer de quatre façons équivalentes comme suit :

$\displaystyle ext$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{Z_{n}\rightarrow 0\}=\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k=n}^{\infty}\{Z_% {n}=0\}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\exists n\geq 1:Z_{n}=0\}=\cup_{n=1}^{\infty}\{Z_{n}=0\}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}\cup_{n=1}^{k}\{Z_{n}=0\}.$

Sa probabilité est donnée par :

\mathbb{P}(ext)=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}(Z_{n}=0)=\lim_{n% \rightarrow\infty}G_{Z_{n}}(0).

Proposition 0.45.1

Probabilité d’extinction et différents régimes du processus
Soit un processus de Galton-Watson dont la distribution de probabilité est donnée par $\left(p_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ et la fonction génératrice associée par :

\varphi(s)\ =\ \sum_{n\geq 0}\,p_{n}\,s^{n}\ =\ \mathbb{E}\left[s^{X_{i}}% \right].

Alors, on a les résultats suivants.
(1) La probabilité d’extinction $\mathbb{P}({ext})$ du processus est égale à la plus petite solution, dans l’intervalle $[0,1]$ , de l’équation :

G(s)=s

(2) On a les 3 cas suivant les valeurs de $m$ .
Si $m<1$ , on a $\mathbb{P}({ext})=1$ .
Si $m=1$ , on a $\mathbb{P}({ext})=1$ si $p_{1}\neq 1$ et $\mathbb{P}({ext})=0$ si $p_{1}=1$ .
Si $m>1$ , on a $\mathbb{P}({ext})<1$ et $\mathbb{P}({ext})$ est le plus petit point fixe
de $\varphi$ dans $[0,1]$ .

Le processus de Galton-Watson possède donc deux régimes séparés par une valeur critique du paramètre $m$ .
(1) Si $m<1$ , le processus est dit sous-critique et l’extinction de la population se produit avec une probabilité 1.
(2) Si $m=1$ , le processus est dit critique et son comportement est plus complexe et sera discuté dans la suite.
(3) Si $m>1$ , le processus est dit sur-critique et la probabilité de survie de ce nom est non-nulle. En cas de survie, le nombre de porteurs du patronyme connait une croissance exponentielle.
Démonstration du point (1) Comme

{ext}=\lim_{k\rightarrow\infty}\cup_{n=1}^{k}\{Z_{n}=0\}\quad\mbox{et}\quad\{Z% _{n}=0\}\Rightarrow\{Z_{n+1}=0\}

et que la probabilité est croissante pour la réunion, on obtient :

\mathbb{P}({ext})=\lim_{n\rightarrow{\infty}}u_{n}\quad\mbox{en posant}\quad% \mathbb{P}(Z_{n}=0)=u_{n}.

Comme $u_{n}=G_{n}(0)$ , et tenant compte de la relation entre les fonctions $G_{n}$ , on obtient

u_{n+1}\ =\ G_{n+1}(0)\ =\ G(G_{n}(0))=G(u_{n}).

La suite $u_{n}$ est donc définie par $u_{0}=0$ (car $Z_{0}=1$ ) et par la relation de récurrence

u_{n+1}\ =\ G(u_{n}).

Donc $\mathbb{P}({ext})$ est un point fixe de $G$ .
Comme $\{Z_{n}=0\}\Rightarrow\{Z_{n+k}=0\},\forall k\geq 0$ , on a
$\mathbb{P}(\{Z_{n}=0\})\leq\mathbb{P}(\{Z_{n+k}=0\})$ et donc

G_{n}(0)\leq G_{n+k}(0).

Ceci montre que la suite $u_{n}=G_{n}(0)$ est croissante et donc elle est convergente puisqu’elle est majorée par 1.
Maintenant, supposons qu’il existe un point fixe $\ell$ de $G$ dans l’intervalle $[0,1]$ . Par définition, la fonction $G$ est croissante sur l’intervalle $[0,1]$ et on a $G(0)=p_{0}\geq 0$ soit $u_{1}\geq u_{0}$ ) et $G(1)=1$ . La suite $(u_{n})_{n\geq 0}$ est majorée par tout point fixe $\ell$ de $G$ appartenant à l’intervalle $[0,1]$ . La limite de la suite $(u_{n})_{n\geq 0}$ est donc, elle aussi, majorée par tout point fixe $\ell$ de $G$ appartenant à l’intervalle $[0,1]$ . Mais comme la fonction $G$ est continue sur l’intervalle $[0,1]$ , sa limite est un des points fixes de la fonction $G$ donc, forcément, le plus petit d’entre eux.
Preuve de (2) Comme $G$ est une série entière de rayon de convergence au moins égal à 1, à coefficients positifs ou nuls, $G$ est convexe (et même strictement convexe si $p0+p1<1$ ), indéfiniment dérivable sur l’intervalle $]0,1[$ , elle possède donc au plus $2$ points fixes dans $[0,1]$ , sauf si elle est réduite à une fonction affine. On a aussi

m\ =\ \varphi^{\prime}(1).

Si $m\leq 1$ , et $p_{1}\neq 1$ , alors pour $s<1$ , $(G^{\prime}z)-z)^{\prime}<G^{\prime}(1)-1<m-1\leq 0$
Puisque $G(1)=1$ et $G(s)>s$ pour $s\in[0,1]$ , 1 est le seul pont fixe de $G$ dans $[0,1]$ et donc
$\mathbb{P}(ext)=1$ .
Cas souscritique : $m<1$ La tangente en (1,1) au graphe de $\varphi$ est, dans l’intervalle $[0,1[$ , strictement au-dessus de la droite d’équation $y=x$ , et, $\varphi$ étant convexe, le graphe de $\varphi$ est au-dessus de sa tangente, donc, lui aussi, strictement au-dessus de la droite d’équation $y=x$ : le seul point fixe de $\varphi$ est 1.
Cas critique : $m=1$ La tangente en (1,1) au graphe de $\varphi$ est la droite d’équation $y=x$ . Si $\varphi$ est strictement convexe, le graphe de $\varphi$ est strictement au-dessus de sa tangente, donc le seul point fixe de $\varphi$ est 1. Or $\varphi$ est strictement convexe si et seulement si $p_{0}+p_{1}<1$ (comme on le voit en calculant la dérivée seconde de $\varphi$ ). Sinon $\varphi$ est une fonction affine, donc son graphe est confondu avec ses tangentes, en particulier, ici, avec la droite d’équation $y=x$ . Donc $p_{1}=1.$
Cas surcritique : $m>1$ La tangente en $(1,1)$ au graphe de $\varphi$ est strictement au-dessous de la droite d’équation $y=x$ , donc, sur un intervalle $[1-\epsilon,1[$ bien choisi, $\varphi$ lui-même est strictement au-dessous de la droite d’équation $y=x$ . En 0, par contre, comme $\varphi(0)=p_{0}\geq 0$ , le graphe de $\varphi$ est au-dessus de la droite d’équation $y=x$ . Donc, en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, $\varphi$ possède un point fixe strictement plus petit que 1.
Supposons maintenant $m>1$ . Puisque $G^{\prime}(1)=m$ , on a $G(s)<s$
pour $s<1$ dans un voisinage de 1. Comme $G$ est continue sur $[0,1]$
et $G(0)\geq 0$ , le théorème des valeurs intermédiaires implique qu’il existe
$q\in[0,1[$ tel que $G(q)=q$ . Supposons maintenant qu’il existe $0\leq q_{1}<q_{2}<1$ tels que
$G(q_{1})=q_{1}$ et $G(q_{2})=q_{2}$ . dans ce cas la fonction $G(s)-s$ admet les trois zéros $q_{1}$ , $q_{2}$ et
$1$ . Ceci est impossible car $G$ est convexe.
Exemple
Si $\varphi(s)\equiv s$ , le théorème dit que la probabilité d’extinction $\mathbb{P}({ext})$ est nulle. Cela peut être vu directement sans difficulté, car $\varphi(s)\equiv s$ équivaut à $p_{1}=1$ , ce qui entraine immédiatement que chaque génération est constituée d’exactement un individu ;
plus généralement, si $p_{0}=0,$ alors 0 est point fixe, donc, d’après le théorème, $\mathbb{P}({ext})$ est nulle (on pouvait le voir directement, puisque, en ce cas, chaque individu de la population a au moins un enfant).
Si $p_{0}+p_{2}=1$ les deux points fixes sont 1 et $p_{0}/p_{2}$ . Donc la probabilité d’extinction vaut $1$ si $p_{0}\geq p_{2}$ et vaut moins que 1 ( $\mathbb{P}({ext})=p_{0}/p_{2}$ ) si $p_{0}<p_{2}.$ Ici, la valeur de $\mathbb{P}({ext})$ est difficile à calculer directement, sans utiliser le théorème. La figure ci-contre montre plusieurs valeurs de $p_{0}$ et la probabilité d’extinction correspondante.
La notation de Neveu permet de décrire rigoureusement l’évolution de la population à l’aide d’un arbre planaire enraciné, qui est en fait l’arbre généalogique de cette population. Cet arbre planaire enraciné peut être décrit de manière non ambigüe par la liste de ses sommets, chacun désigné par une suite finie d’entiers, qui sont les positions, au sein de leur fratrie, des ancêtres (ou ascendants) de ce sommet : le sommet 2|4|3 désigne le 3e fils du 4e fils du 2e fils de l’ancêtre (l’ancêtre étant lui-même désigné par la suite vide, notée $\emptyset$ ). Par convention, l’ancêtre est le sommet initial de l’arête racine, et le sommet final de l’arête racine est le fils ainé de l’ancêtre : en tant que tel, il est donc noté 1. La longueur de la suite associée à un sommet est la hauteur (ou la profondeur) du sommet, i.e. la distance entre ce sommet et le début de la racine, qui représente l’ancêtre : en filant la métaphore, un sommet de hauteur $n$ représente un individu appartenant à la $n$ -ème génération de la population fondée par l’ancêtre. Les 5 arbres à 3 arêtes :
sont ainsi décrits par les 5 ensembles de mots

\{\emptyset,1,2,3\},\ \{\emptyset,1,11,2\},\ \{\emptyset,1,2,21\},\ \{% \emptyset,1,11,12\},\ \{\emptyset,1,11,111\}.

Avec cette notation, un arbre planaire encode commodément une réalisation de processus de Galton-Watson avec extinction : cet arbre est alors appelé arbre de Galton-Watson. Rien ne s’oppose à définir un arbre planaire infini à l’aide de la notation de Neveu, ce qui permet d’encoder les réalisations de processus de Galton-Watson où la population ne s’éteint pas.
Exemple :
L’arbre de la figure ci-contre correspond à une suite de variables aléatoires $X_{i}$ ainsi définies :

(X_{\emptyset},X_{1},X_{2},X_{3},X_{11},X_{12},X_{111},X_{121},X_{122},\dots)% \ =\ (3,2,0,0,1,2,1,0,1,\dots).

Ainsi, un processus de Galton-Watson peut-être vu comme une fonctionnelle déterministe d’une famille $\left(X_{i}\right)_{i\in\mathbb{N}^{\star}}$ de variables aléatoires indépendantes et de même loi $p=\left(p_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ la variable $X_{i}$ désignant la progéniture de l’individu $i$ (le nombre d’enfants auxquels ils donne naissance en mourant). Ici $\mathbb{N}^{\star}$ désigne l’ensemble (dénombrable) des suites d’entiers de longueurs finies (éventuellement de longueur nulle dans le cas de $\emptyset$ ) :

\mathbb{N}^{\star}=\{\emptyset\}\cup\mathbb{N}\cup\mathbb{N}^{2}\cup\mathbb{N}% ^{3}\cup\dots

Exemple :
Certaines variables aléatoires de la suite $\left(X_{i}\right)_{i\in\mathbb{N}^{\star}}$ n’ont pas d’influence sur le processus de Galton-Watson : dans l’exemple ci-contre, $X_{4}$ ou $X_{126}$ n’ont pas d’importance car l’ancêtre a strictement moins de 4 enfants ( $X_{\emptyset}=3$ ) et l’individu 12 a strictement moins de 6 enfants ( $X_{12}=2$ ). De même les progénitures des individus de la 5e génération (les $X_{i}$ correspondant aux suites $i$ de longueur 5) n’influencent pas cette réalisation du processus de Galton-Watson, car la population s’éteint à la 4e génération ( $X_{1111}=X_{1221}=0$ ).
Étude fine de la taille des générations
Notons $G_{n}$ la fonction génératrice de la variable aléatoire $Z_{n}$ , définie par

G_{n}(s)\ =\ \sum_{k\geq 0}\,\mathbb{P}(Z_{n}=k)\,s^{k}\ =\ \mathbb{E}\left[s^% {Z_{n}}\right].

Pour pouvoir appliquer la propriété de composition des fonctions génératrices,

G_{n+1}=G\circ G_{n}.

il faut que $Z_{n+1}$ (l’effectif de la $n+1$ ème génération) a même loi que la somme de $Z_{n}$ variables aléatoires indépendantes, toutes de même loi $\mathbb{P}$ et indépendantes de $Z_{n}$ . Bien sûr, $Z_{n+1}$ est la somme des progénitures des $Z_{n}$ individus appartenant à la $n$ ème génération,
La relation de récurrence sur l’espérance de $Z_{n}$

\mathbb{E}[Z_{n+1}]\ =\ G^{\prime}\left(1\right)\ \mathbb{E}[Z_{n}]

découle alors de la formule de dérivation des fonctions composées.

	$\displaystyle\int_{\Omega}\|X_{n}-X\|^{2}dP(\omega)$	$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\int_{\{{\omega/\|X_{n}-X\|\geq\epsilon}\}}\|X_{n}-X\|^{2}dP(\omega)$
		$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\epsilon^{2}\int_{\{{\omega/\|X_{n}-X\|\geq\epsilon}\}}dP(\omega)=% \epsilon^{2}P[\{\omega/\|X_{n}-X\|\geq\epsilon\}].$

	$\displaystyle E(\|X-Y\|^{2})$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{\{\omega/\|X-Y\|\neq 0\}}\|X-Y\|^{2}dP(\omega)+\int_{\{\omega/X% =Y\}}\|X-Y\|^{2}dP(\omega)$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\int_{\{\omega/X\neq Y\}}\|X-Y\|^{2}dP(\omega)\stackrel{{% \scriptstyle\Delta}}{{=}}P[\{\omega/X\neq Y\}].$

Section20: Espace probabilisé, Probabilité

0.1 Espace probabilisé, Probabilité

0.2 Espace probabilisable

Exemple 0.2.1

0.3 Espace probabilisé fini

0.4 Espace probabilisé quelconque

Exemple 0.4.1

0.5 Règles de calcul sur un espace probabilisé

0.6 Probabilité conditionnelle, Indépendance

Exemple 0.6.1

Remarque 0.6.2

Remarque 0.6.3

0.7 Variable aléatoire

0.8 Statistique à une dimension et variable aléatoire

0.9 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Exemple 0.9.1

Exemple 0.9.2

Proposition 0.9.3

Proposition 0.9.4

Exemple 0.9.5

0.10 Fonction de répartition et densité de probabilité

Exemple 0.10.1

0.11 Fonction d’une variable aléatoire

Exemple 0.11.1

Exemple 0.11.2

0.12 Espérance mathématique, variance et écart type

Exemple 0.12.1

0.13 Fonctions caractéristiques, moments, cumulants

Exemple 0.13.1

Remarque 0.13.2

0.14 Fonction génératrice

0.15 Lois de probabilités classiques

Exemple 0.15.1

0.16 Couple aléatoire

0.17 Statistiques à 2 dimensions

0.18 Loi conjointe, loi marginale et loi conditionnelle

Proposition 0.18.1

Proposition 0.18.2

0.19 Variables aléatoires indépendantes

Proposition 0.19.1

0.20 Fonction de deux variables aléatoires

Proposition 0.20.1

Proposition 0.20.2

Exemple 0.20.3

Exemple 0.20.4

Exemple 0.20.5

0.21 Covariance et coefficient de corrélation

Exemple 0.21.1

Exemple 0.21.2

0.22 Fonction caractéristique d’un couple aléatoire

0.23 Espérance et variance conditionnelles et totales

0.24 Espérance conditionnelle et projection

Proposition 0.24.1

Proposition 0.24.2

Remarque 0.24.3

0.25 Vecteur Aléatoire

0.26 Passage d’un couple à un vecteur aléatoire

Proposition 0.26.1

0.27 Fonction de plusieurs variables aléatoires

Proposition 0.27.1

Proposition 0.27.2

Exemple 0.27.3

Exemple 0.27.4

0.28 Indépendance statistique et orthogonalité

Proposition 0.28.1

Remarque 0.28.2

Exemple 0.28.3

0.29 Vecteur gaussien réel, représentation complexe

Exemple 0.29.1

Exemple 0.29.2

Exemple 0.29.3

Exemple 0.29.4

0.30 Suites de Variables aléatoires

0.31 Convergence en probabilité ou convergence faible

0.32 Convergence presque sûre ou convergence forte

0.33 Convergence en moyenne d’ordre p

0.34 Convergence en loi

0.35 Convergence des fonctions caractéristiques

0.36 Liens entre les différents types de convergence

Exemple 0.36.1

0.5 Règles de calcul sur un espace
probabilisé

0.33 Convergence en moyenne d’ordre $p$