Section22 Polynômes particuliers

On construit la suite de polynômes de la façon suivante

$${ℬ}_0=1,{ℬ}_{k+1}^{\prime }={ℬ}_k,{\int }_0^1{ℬ}_{k+1}(t)𝑑t=0,k=0,1,\mathrm{\dots }$$

Les ${ℬ}_n$ sont dénommés polynômes de Bernoulli, ils ne sont pas unitaires. On vérifie par récurrence que le
coefficient dominant de ${ℬ}_n$ est donné par $a_n=\frac{1}{n!}$. On peut donc écrire

On désignera le terme constant du polynôme unitaire $n!{ℬ}_n$ par

$${\beta }_n=n!{ℬ}_n(0).$$

Dans la suite, on va introduire directement les polynômes de Bernoulli, $B_k$, unitaires en les construisant comme suit :

$$B_0=1,B_{k+1}^{\prime }=(k+1)B_k,{\int }_0^1{B}_{k+1}(t)𝑑t=0,k=0,1,\mathrm{\dots }$$

Les principales propriétés des $B_n$ sont identiques à celles des ${ℬ}_k$.
On vérifie ques les $B_n$ sont unitaires et peut donc écrire

On désignera le terme constant du polynôme $B_n$ par

$$b_n=B_n(0).$$

On va établir les principales propriétés des $B_n$. A titre d’exemple, les premiers polynômes sont donnés par :

$$B_1=X-\frac{1}{2},B_2=\frac{1}{2}{X}^2-\frac{1}{2}X+\frac{1}{12},B_3=\frac{1}{6}{X}^3-\frac{1}{4}{X}^2+\frac{1}{12}X.$$

La suite des $B_n$ est déterminée de manière unique puisque pour un polynôme $A$ donné, il existe un polynôme $B$ unique qui vérifie les deux relations.

$$B^{\prime }=A\mathrm{e}t{\int }_0^{1}B(x)𝑑x=0$$

En effet, si $A=0$ on pose $B=0$ et si $A=a_p{X}^p+\mathrm{\dots }+a_0$, on pose

$$B=\sum _{k=0}^1\frac{a_k}{k+1}{X}^{k+1}+c$$

où $c$ est une constante. La condition ${\int }_0^{1}B(x)𝑑x=0$ détermine la constante $c$ de manière unique par

$$c=-\sum _{k=0}^1\frac{a_k}{(k+1)(k+2)}.$$

Preuve de (1)
Cette relation est vérifiée pour $k=0$. Supposons la propriété vraie pour $k$ et introduisons le polynôme

$$Q=B_{k+1}(1-X).$$

Par dérivation, on obtient

$$Q^{\prime }=-B_{k+1}^{\prime }(1-X)=-B_k(1-X).$$

Utilisant l’hypothèse de récurrence, on obtient

$$Q^{\prime }={(-1)}^{k+1}{B}_k(X)$$

D’où

$$Q={(-1)}^{k+1}{B}_{k+1}(X)+\alpha .$$

Calculons ${\int }_0^{1}Q(t)𝑑t$ en utilisant les deux expressions de $Q$.

$${\int }_0^{1}Q(t)𝑑t={\int }_0^1{B}_{k+1}(1-t)𝑑t=-{\int }_1^0{B}_{k+1}(\theta )𝑑\theta =0.$$

et

$${\int }_0^{1}Q(t)𝑑t={\int }_0^1[{(-1)}^{k+1}{B}_{k+1}(t)+\alpha ]𝑑t=0+\alpha .$$

Les deux résultats donnent $\alpha =0$ et on obtient

$${(-1)}^{k+1}{B}_{k+1}(X)=B_{k+1}(1-X).$$

Preuve de (2) Cette relation est vérifiée pour $n=1$. Supposons par récurrence (2) vérifiée. Comme la dérivée de $B_{n+1}$ est $B_n$, on a

	$B_{n+1}$	$=$	${\displaystyle \frac{1}{n!}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{C}_n^k{\beta }_{n-k}{\displaystyle \frac{X^k}{k+1}}+B_{n+1}(0)$
		$=$	${\displaystyle \frac{1}{n!}}{\displaystyle \sum _{h=1}^{n+1}}{C}_n^{h-1}{\beta }_{n-h+1}{\displaystyle \frac{X^h}{h}}+{\displaystyle \frac{{\beta }_{n+1}}{(n+1)!}},k+1=h$
		$=$	${\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}}{C}_n^{h-1}{\displaystyle \frac{n+1}{h}}{\beta }_{n+1-h}{X}^h+{\displaystyle \frac{{\beta }_{n+1}}{(n+1)!}}$
		$=$	${\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}{\displaystyle \sum _{h=0}^{n+1}}{C}_{n+1}^h{\beta }_{n+1-h}{X}^h,C_n^{h-1}{\displaystyle \frac{n+1}{h}}=C_{n+1}^h.$

La propriété est donc vraie à l’ordre $n+1$.
Preuve de (3) Cette relation est vérifiée pour $n=1$. Supposons la relation vraie pour $n$ et posons

$$Q={(2)}^{n+1}[B_{n+1}(\frac{X}{2})+B_{n+1}(\frac{X+1}{2})].$$

On dérive et on obtient

	$Q^{\prime }$	$=$	${(2)}^{n+1}[{\displaystyle \frac{1}{2}}{B}_{n+1}^{\prime }({\displaystyle \frac{X}{2}})+{\displaystyle \frac{1}{2}}{B}_{n+1}^{\prime }({\displaystyle \frac{X+1}{2}})]$
		$=$	${(2)}^n[B_n({\displaystyle \frac{X}{2}})+B_n({\displaystyle \frac{X+1}{2}})].$

D’où $Q^{\prime }=B_n$ d’après l’hypothèse de récurrence et on obtient

$$Q=B_{n+1}+c$$

En intégrant $Q$ entre 0 et 1, on trouve
$0={(2)}^{n+1}[B_{n+1}(\frac{1}{2})-B_{n+1}(0)+B_{n+1}(1)-B_{n+1}(\frac{1}{2})]+c$. D’où $c=0$ puis $Q=B_{n+1}$ et ceci termine
la récurrence.
Preuve de 4 La relation est vérifiée pour $n=1$. Supposons le résultat vrai pour $n$. On prend $X=t$ et on intègre entre 0 et $x$. On obtient une relation vraie pour tout $x$. Elle est donc vraie pour les polynômes.

Preuve
Pour établir ces résultats, on prend $X=1/2$ dans la relation (1) et on obtient

$$B_{2p+1}(\frac{1}{2})=-B_{2p+1}(\frac{1}{2})$$

D’où
$B_{2p+1}(\frac{1}{2})=0$ puis $B_{2p+1}(0)=0$. On retrouve aussi que dans tous les cas
$B_k(0)=B_k(1)$.
On a aussi

$$B_{2p+2}(1)={(-1)}^{2p+2}{B}_{2p+2}(0)=b_{2p+2}.$$

La symétrie des coefficients binomiaux permet d’écrire

$$B_{2p+2}(1)=\sum _{k=0}^{2p+2}{C}_k^{2p+2}{b}_{2p+2-k}=\sum _{i=0}^{2p+2}{C}_i^{2p+2}{b}_i$$

En sortant de la somme les 4 derniers termes, on obtient (LABEL:Bernoulli16).

Décomposition en séries de Fourier de $B_{2k}$
Associons à chaque polynôme $B_{2k}$ la fonction $g_k$ de période $2\pi$ définie par

$$g_k:ℝ\to ℝg(x)=B_{2k}(\frac{x}{2\pi }),x\in [0,2\pi [,g_k\text{ de période }2\pi$$

La fonction $g_k$ admet un développement en série de Fourier unique donnée par

$$g_k(x)={\alpha }_0(k)+\sum _{\mathrm{\ell }=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_{\mathrm{\ell }}(k)\mathrm{c}os(\mathrm{\ell }x)+{\beta }_n(k)\mathrm{s}in(\mathrm{\ell }x).$$

(7)

Les coefficient ${\alpha }_n(k)$ et ${\beta }_n(k)$, dénommés coefficients de Fourier, se calculent en utilisant les propriétés suivantes.

1. 1.

   On introduit le produit scalaire défini par

2. 2.

   Les fonction $\mathrm{c}os(\mathrm{\ell }t)$ et $\mathrm{c}os(nt)$ sont orthogonales pour $n\ne \pm \mathrm{\ell }$

   $${\int }_0^{2\pi }\mathrm{c}os(\mathrm{\ell }x)\mathrm{c}os(nx)dx=0\text{ pour}n\ne \mathrm{\ell }.$$

3. 3.

   Les fonction $\mathrm{s}in(\mathrm{\ell }t)$ et $\mathrm{s}in(nt)$ sont orthogonales pour $n\ne \pm \mathrm{\ell }$

   $${\int }_0^{2\pi }\mathrm{c}os(\mathrm{\ell }x)\mathrm{c}os(nx)dx=0\text{ pour}n\ne \pm \mathrm{\ell }.$$

4. 4.

   Les fonction $\mathrm{c}os(\mathrm{\ell }t)$ et $\mathrm{s}in(nt)$ sont orthogonales pour $n$ et $\mathrm{\ell }$ quelconques

   $${\int }_0^{2\pi }\mathrm{c}os(\mathrm{\ell }x)\mathrm{s}in(nx)dx=0\forall n,\forall \mathrm{\ell }.$$

5. 5.

   La détermination de ${\alpha }_0(k)$ se fait en calculant l’intégrale de $g_k(x)$ sur $[0,2\pi [$ :

   $$2\pi {\alpha }_0(k)={\int }_0^{2\pi }{B}_{2k}(\frac{x}{2\pi })𝑑x=2\pi {\int }_0^1{B}_{2k}(t)𝑑t=2(B_{2k+1}(1)-B_{2k+1}(0))=0.$$

6. 6.

   Pour le calcul des autres coefficients, on multiplie de chaque côté la relation (7) par $\mathrm{c}os(\mathrm{\ell }t)$ et on intègre sur $[0,2\pi [$. On obtient

   $$\pi {\alpha }_n(k)={\int }_0^{2\pi }{B}_{2k}(\frac{x}{2\pi })\mathrm{c}os(nx)dx,n\ge 1.$$

7. 7.

   On effectue la même opération en multipliant par $\mathrm{s}in(\mathrm{\ell }t)$. On obtient

   $$\pi {\beta }_n(k)={\int }_0^{2\pi }{B}_{2k}(\frac{x}{2\pi })\mathrm{s}in(nx)dx,n\ge 1.$$

8. 8.

   Finalement, le changement de variable $t=\frac{x}{2\pi }$ conduit aux deux expressions suivantes :

   $${\alpha }_n(k)=2{\int }_0^1{B}_{2k}(t)\mathrm{c}os(2\pi nt)dt,{\beta }_n(k)=2{\int }_0^1{B}_{2k}(t)\mathrm{s}in(2\pi nx)dtn\ge 1.$$

Une intégration par parties conduit aux expressions suivantes

$${\alpha }_n(1)=\frac{2}{{(2\pi n)}^2},n\ge 1.$$

${\alpha }_n(k)$

$=$

${\displaystyle \frac{-1}{{(2\pi n)}^2}}{\alpha }_n(k-1)=2{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{{(2\pi n)}^{2k}}}k\ge 2,n\ge 1$

Finalement, on a

${\alpha }_n(k)=2{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{{(2\pi n)}^{2k}}}k\ge 1,n\ge 1$

La fonction $B_{2k}(x)$ admet comme axe de symétrie la verticale d’équation $x=1/2$ et la fonction $\mathrm{s}in(2\pi nt)$ admet le point
$(1/2,0)$ comme centre de symétrie. Donc l’intégrale du produit est nulle sur $[0,1]$ puisque cette fonction produit admet ce point
comme centre de symétrie.
On obtient

$$g_k(x)=B_{2k}(\frac{x}{2\pi })=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}2\frac{{(-1)}^{k-1}}{{(2\pi n)}^k}\mathrm{c}os(nx)=2\frac{{(-1)}^{k-1}}{{(2\pi )}^k}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{c}os(nx)}{n^k}.$$

Pour $x=2\pi$, on obtient

$$B_{2k}(1)=2\frac{{(-1)}^{k-1}}{{(2\pi )}^k}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^k}=\eta (2).$$

Pour $k=2$, on obtient $\eta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$.

Détermination des $B_n$ à l’aide de l’opérateur différence
L’application définie par

$$\mathrm{\Delta }:{ℝ}_{p+1}[X]\to {ℝ}_{p+1}[X]\mathrm{\Delta }P=P(X+1)-P[X]$$

est linéaire, son noyau est ${ℝ}_0[X]$ puisqu’un polynôme de degré $\le p$ qui prend la même valeur en plus de $p$ points distinct de $ℝ$ est forcément le polynôme constant. L’image de $\mathrm{\Delta }$ est ${ℝ}_p[X]$. En effet, pour tout polynôme
$X^k,k\le n$ il existe un polynôme $P$ de degré $k+1$ tel que

$$\mathrm{\Delta }P=P(X+1)-P[X]=X^k.$$

Soit $P_k={(X+1)}^k-X^k,k=1,\mathrm{\dots },p$. On vérifie que
$\mathrm{\Delta }P(X^{k+1})=P_k$
Comme les $P_k$ sont tous de degrés différents deux à deux, la dimension de l’espace vectoriel est $\ge p$. Elle est aussi $\le p$
puisque $\mathrm{d}im(\ker (\mathrm{\Delta }))\ge 1$. La dimention de $\mathrm{I}m(\mathrm{\Delta }$ est $n$. Donc $\mathrm{I}m(\mathrm{\Delta }={ℝ}_p[X]$.

L’application $\mathrm{\Delta }$ est surjective sur ${ℝ}_p[X]$. Comme
$\frac{X^p}{p!}\in {ℝ}_p[X]$, il existe au moins un polynôme
$Q\in {ℝ}_{p+1}[X]$ tel que

$$\mathrm{\Delta }Q=\frac{X^p}{p!}$$

Soit $R$ vérifiant $\mathrm{\Delta }R=\frac{X^p}{p!}$. Alors par linéarité de
$\mathrm{\Delta }$ on obtient

$$\mathrm{\Delta }(Q-R)=0$$

et donc on a $Q-R=Cte$. Le polynôme $Q$ est donc déterminé à une constante près. La condition ${\int }_0^{1}Q(t)𝑑t=0$ rend ce polynôme unique.
On a

$$\mathrm{\Delta }Q=\frac{X^{n-1}}{(n-1)!}\to Q=P_n$$

Raisonnons par récurrence. Soit

$$\mathrm{\Delta }Q=\frac{X^n}{(n)!}\text{et}{\int }_0^{1}Q(t)𝑑t=0$$

Alors par dérivation on obtient

$$Q^{\prime }(X+1)-Q^{\prime }(X)=\frac{X^{n-1}}{(n-1)!}$$

Par hypothèse de récurrence, on obtient $Q^{\prime }=B_n$
D’où $Q=B_{n+1}+c$. Comme ${\int }_0^{1}Q(t)𝑑t=0$ et ${\int }_0^1{B}_{n+1}(t)𝑑t=0$, on obtient $c=0$.
On a donc

$$B_{n+1}(X+1)-B_{n+1}(X)=\frac{X^n}{(n)!}$$

Écrivant cette relation pour $X=1,\mathrm{\dots },q$ et additionnant membre à membre, on obtient

$$B_{n+1}(q+1)-B_{n+1}(1)=\sum _1^q\frac{k^n}{(n)!}$$

Comme $B_{n+1}(1)=B_{n+1}(0)=b_{n+1}$, on obtient

$$(n)![B_{n+1}(q+1)-b_{n+1}]=\sum _1^q{k}^n$$

Pour $n=2$ et $n=3$, on obtient

$$2[B_3(q+1)-b_3]=\sum _1^q{k}^2$$

$$2[B_4(q+1)-b_4]=\sum _1^q{k}^3$$

Propriété 6
On a

$$\frac{\mathrm{s}in(2n+1)a}{\mathrm{s}in{(a)}^{2n+1}}=P(\mathrm{c}otg(a))\text{où}P=\sum _{k=0}^n{C}_{2k+1}^{2n+1}{(-1)}^k{X}^{2(n-k)}$$

La formule de Moivre conduit à l’expression (LABEL:linearisationinverse)
laquelle conduit à

$$\frac{\mathrm{s}in(2n+1)a}{\mathrm{s}in{(a)}^{2n+1}}=\sum _{p=0}^n{C}_{2k+1}^{2n+1}{(-1)}^k\mathrm{c}otg{(a)}^{2(n-k)}.$$

Propriété 1 Pour $a\notin \pi \mathbb{Z}$, on a

$$\mathrm{s}in[(2n+1)a]=0\mathrm{s}sia=\frac{k\pi }{2n+1},k\in \mathbb{Z}.$$

Les $n$ racines du polynôme $P$ qui est de degré $n$ sont donc réelles et données par :

$${\alpha }_k=\mathrm{c}otg{(\frac{k\pi }{2n+1})}^2,k=1\mathrm{\dots },n$$

Comme on a pour $\theta \in ]0,\pi /2[$, on obtient

Puis les inégalités suivantes

Polynômes orthogonaux sur $[a,b]\subset ℝ$
Soit $(a,b)\in {ℝ}^2$, et $u$ une fonction continue de $]a,b[$ dans ${ℝ}^{+\ast }$
vérifiant

Soit $𝔼$ l’ensemble des fonctions $f$ de $]a,b[$ dans $ℝ$ telles que

où

est un produit scalaire. L’ensemble des polynômes est inclus dans $𝔼$ et il existe une suite de polynômes ${(P_n)}_{n\in \mathbb{N}}$, $\mathrm{d}eg(P_n)=n$, telle que les $P_n$ forment une famille orthogonale.
Preuve Le résultat découle simplement de l’orthogonalisation de Schmidt
appliquée à la base canonique $1,X,X^2,\mathrm{\dots }$.
On a $\mathrm{d}eg(P_n)\le n$ grâce au principe de l’orthogonalisation de Schmidt et le fait que $P_n$
appartient à l’espace engendré par $1,X,\mathrm{\dots },X^n$.
On a $\mathrm{d}eg(P_n)\ge n$ car
s’il existait un $P_n$ de degré , alors la famille $P_0,\mathrm{\dots },P_n$ serait une famille libre (puisque orthogonale)
dans un espace de dimension $n$.

Soient $x_1,\mathrm{\dots },x_n$ des élements distincts de $𝕂$. Il existe exactement
$n$ polynômes distincts de degré $n-1$, $L_1,\mathrm{\dots },L_n$ vérifiant
$L_i(x_j)={\delta }_{i,j}$ où ${\delta }_{i,j}$ désigne le symbole de Kroneker. Chaque
polynôme $L_i$ admet donc comme racines tous les $x_j$ sauf $x_i$. Les polynômes
$L_i$, appelés polynômes de Lagrange, sont définis de manière unique et ils ont pour expressions:

$$L_k(X)=\prod _{i\ne k,i=1}^n\frac{X-x_i}{x_k-x_i},k=0,1,\mathrm{\dots },n.$$

(8)

Exemple 1
La somme des polynômes de Lagrange est égale au polynôme 1. En effet, dans la décomposition de 1 ces polynômes, les $P(x_k)$ sont tous égaux à 1. On obtient

$$1=\sum _1^n{L}_k.$$

Exemple 2 Dans les exemples suivants,
on désigne par $x_1,\mathrm{\dots },x_n$ les racines d’un polynôme $P$ de degré $n$. suppose toutes ses racines simples et
on considère les polynômes de Lagrange $L_j,j=1,\mathrm{\dots },n$ construits avec ces racines. Comme, la dérivée de $P$ s’écrit:

$$P^{\prime }(X)=\sum _{k=1}^n\prod _{i=1,i\ne k}^n(X-x_i)$$

(9)

on peut exprimer les valeurs de la dérivée de $P$ aux points racines de $P$ comme suit. Si l’on prend $X=x_j$ dans la relation (9), toue les termes de la somme correspondant à $k\ne j$ sont nuls. On obtient :

$$P^{\prime }(x_j)=\sum _{k=1,k\ne j}^n\prod _{i=1,i\ne k}^n(x_j-x_i)+\prod _{i=1,i\ne j}^n(x_j-x_i)=\prod _{i=1,i\ne j}^n(x_j-x_i)$$

(10)

Exemple 3
Soient $x_1,\mathrm{\dots },x_n$ les racines d’un polynôme $P$ de degré $n$ que l’on suppose toutes simples.
Soient $L_j,j=1,\mathrm{\dots },n$ les polynôme de Lagrange construits avec ces racines.
Le polynôme 1 se décompose comme suit :

$$1=\sum _{k=1}^n{L}_k(X)=\sum _{k=1}^n\frac{{\prod }_{i=1,i\ne k}^n(X-x_i)}{{\prod }_{i=1,i\ne k}^n(x_k-x_i)}=\sum _{k=1}^n\frac{{\prod }_{i=1,i\ne k}^n(X-x_i)}{P^{\prime }(x_k)}.$$

(11)

En écrivant que le coefficient de $x^{n-1}$ est nul, on obtient

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{P^{\prime }(x_k)}=0.$$

(12)

Exemple 4
Pour , le polynôme $M(x)=X^m$ se décompose comme suit :

$$M(x)=\sum _{k=1}^n{x}_k^j{L}_k(X)=\sum _{k=1}^n\frac{x_k^j}{P^{\prime }(x_k)}\prod _{i=1,i\ne k}^n(X-x_i).$$

(13)

En écrivant que le coefficient de $x^j$ avec $j\le m-1$ dans $M(x)$ est nul, on obtient

(14)

On retrouve, en particulier le résultat de l’exemple précédent.

Soit $H_k$ le polynôme de degré $k$ de terme de plus haut degré ${(k!)}^{-1}$ et admettant comme racines
les entiers $0,1,\mathrm{\dots },k-1$. On pose $H_0=1$ et on a les résultats suivants.

1. 1.

   $$H_k=\frac{1}{k!}X(X-1)\mathrm{\dots }(X-k+1).$$

2. 2.

   Pour tout $k\in \mathbb{Z}$, on a $H_k(\mathbb{Z})\subset \mathbb{Z}$.

3. 3.

   Tout polynôme $P\in {ℂ}_n[X]$ s’écrit de manière unique sous la forme

   $$P=\sum _{k=0}^n{\lambda }_k{H}_k.$$

   (15)

4. 4.

   Soit $P\in {ℂ}_n[X]$. Alors on a $P(\mathbb{Z})\subset \mathbb{Z}$
   ssi les coefficients ${\lambda }_k$ apparaissant dans (15) appartiennent à $\mathbb{Z}$.

5. 5.

   L’application de $ℂ[X]$ dans $ℂ[X]$ définie par $\mathrm{\Delta }(P)=P(X+1)-P(X)$
   est linéaire.

6. 6.

   Pour tout $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et tout $P\in ℂ[X]$ de degré $q$, on a ${\mathrm{\Delta }}^q(P)\ne 0$ et
   ${\mathrm{\Delta }}^m(P)=0$ pour $m>q$.

On évalue le polynôme donné par (15) aux points
$0,1,\mathrm{\dots },n$ en écrivant que les valeurs prises sont dans $\mathbb{Z}$.
L’évaluation en $0$ conduit à ${\lambda }_{0}H(0)\in \mathbb{Z}$.
D’où
${\lambda }_0\in \mathbb{Z}$.
L’évaluation en $1$ conduit à ${\lambda }_{0}H(1)+{\lambda }_{1}H(1)\in \mathbb{Z}$
puisque $H_2(1)=H_3(1)=\mathrm{\dots }=H_n(1)=0$. D’où
${\lambda }_1\in \mathbb{Z}$. On montre ainsi que
${\lambda }_k\in \mathbb{Z},0\le k\le n$.

Soit $n\in \mathbb{N}$. On a

$$e^{inx}=\mathrm{c}os(nx)+i\mathrm{s}in(nx)={[\mathrm{c}os(x)+i\mathrm{s}in(x)]}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k\mathrm{c}os{(x)}^{n-k}\mathrm{s}in{(x)}^k{(i)}^k$$

Identifiant les parties réelles et les parties imaginaires et posant $X=\mathrm{c}os(\theta )$, on obtient :

$$\mathrm{c}os(nx)=\sum _{k=0}^{2k\le n}{C}_n^{2k}{X}^{n-2k}{(X^2-1)}^k\stackrel{\mathrm{\Delta }}{=}{T}_n(X)$$

$$\mathrm{s}in(nx)=\mathrm{s}in(\theta )\sum _{k=0}^{2k\le n-1}{C}_n^{2k+1}{X}^{n-2k-1}{(X^2-1)}^k\stackrel{\mathrm{\Delta }}{=}{\mathrm{\Delta }}_n(X).$$

Les polynômes $T_n$ et ${\mathrm{\Delta }}_n$ vérifient donc

$$T_n[\mathrm{c}os(\theta )]=\mathrm{c}os(n\theta ),{\mathrm{\Delta }}_n[\mathrm{c}os(\theta )]=\frac{\mathrm{s}in(n\theta )}{\mathrm{s}in(\theta )}.$$

Ainsi le polynôme $T_n$ admet comme racines $x_k=\frac{2k+1}{2n}\pi ),0\le k\le n-1$ et
le polynôme ${\mathrm{\Delta }}_n$ admet comme racines $y_k=\frac{k}{n}\pi ),0\le k\le n-1$.
Les relations suivantes

$$\mathrm{c}os(n\theta +\theta )=\mathrm{c}os(n\theta )\mathrm{c}os(\theta )-\mathrm{s}in(n\theta )\mathrm{s}in(\theta )$$

$$\mathrm{c}os(n\theta -\theta )=\mathrm{c}os(n\theta )\mathrm{c}os(\theta )+\mathrm{s}in(n\theta )\mathrm{s}in(\theta )$$

conduisent à

$$\mathrm{c}os[(n+1)\theta ]-\mathrm{c}os[(n-1)\theta ]=2\theta \mathrm{c}os[n\theta ]$$

et donc à la relation polynomiale :

$$T_{n+1}=2X{T}_n+T_{n-1}\text{ avec }{T}_0=1,T_1=X.$$

Utilisant les expressions de $\mathrm{s}in[(n+1)\theta ]$, on obtient:

$${\mathrm{\Delta }}_{n+1}=2X{\mathrm{\Delta }}_n+{\mathrm{\Delta }}_{n-1}\text{ avec }{\mathrm{\Delta }}_0=1,{\mathrm{\Delta }}_1=X.$$