Section25 Fonctions holomorphes et fonctions analytiques

Un sous-ensemble ouvert
$ℂ$ est dit connexe lorsqu’il n’est jamais
possible de le décomposer en deux sous-ensembles ouverts, disjoints et non vides
Un sous-ensemble fermé F de $ℂ$ est dit connexe lorsqu’il n’est
jamais possible de le décomposer en deux sous-ensembles fermés, disjoints et non vides.
Un sous-ensemble
$ℂ$ qui est à la fois ouvert et connexe sera
constamment appelé un domaine.
Un sous-ensemble $ℂ$ est connexe par arcs lorsque deux points quelconque
$z_1$; $z_2$ de E sont toujours connectés par une courbe continue, à savoir, il existe une application continue :

$$\phi :[0,1]\to E\text{telle que}\phi (0)=z_1\text{et}\phi (1)=z_2$$

Limite sur $ℂ$
Soit une fonction $f$ définie en tous les points $z$ autour d’un point $z_0$, sauf
éventuellement au point $z_0$ lui-même. Dire que la limite de $f(z)$ lorsque $z$ tend
vers $z_0$ est un nombre $w_0$, soit

$$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=w_0$$

signifie que le point $w=f(z)$ peut être rendu arbitrairement proche de $w_0$
si le point $z$ est choisi assez proche de $z_0$ (mais différent de $z_0$). La fonction $f(z)$ tend donc vers sa limite indépendamment de la manière dont le point $z$ tend vers le point $z_0$.
Pour une fonction $f(z)$ de la forme

$$f(z)=P(x,y)+iQ(x,y),z_0=x_0+i{y}_0,w_0=u_0+i{v}_0$$

on a

$$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=w_0$$

si, et seulement si

$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}P(x,y)=u_0\text{e}t\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}Q(x,y)=v0.$

Continuité sur $ℂ$
La fonction $f(z)$ est dite continue au point $z_0$ si elle est définie autour de $z_0$ (y compris en $z_0$) et si l’on a :

$$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=f(z_0).$$

Pour que $f(z)$ soit continue au point $z_0$, il faut et il suffit que les fonctions $P(x,y)$
et $Q(x,y)$ soient continues au point $(x_0,y_0)$.
La fonction $f(z)$ est dite continue dans un domaine $D$ si elle est continue en chaque point de ce domaine. Par exemple, si une fonction
$f(z)=P(x,y)+iQ(x,y)$ est continue dans une région R à la fois fermée et bornée, elle est bornée sur cette région. Elle atteint alors son maximum quelque part dans $R$. Ceci signifie qu’il existe un nombre réel non négatif $M$ tel que
$|f(z)|\le M$
et l’égalité a lieu pour au moins une valeur de $z$.
Fonction différentiable sur $ℂ$
La fonction $f$ est dite différentiable en $z_0$ quand
sa dérivée au point $z_0$ existe.
Il y a une différence fondamentale entre les cas d’une variable réelle et d’une
variable complexe. Soit $f$ une fonction à valeurs réelles d’une variable
complexe dont la dérivée existe en $z=a$. D’une part, $f_0(a)$ doit être réelle, car c’est la limite du rapport
$\frac{(a+h)-f(a)}{h}$
lorsque $h$ tend vers zéro en restant réelle. D’autre part, c’est aussi la limite du rapport
$\frac{(a+ih)-f(a)}{ih}$
et donc c’est une quantité purement imaginaire. Donc on doit avoir $f_0(a)=0$.
Par conséquent, une fonction à valeurs réelles d’une variable complexe, ou bien a une dérivée nulle, ou bien n’a pas de dérivée.
Une fonction à valeur complexe d’une variable complexe qui est dérivable possède une structure très particulière. Par exemple, la limite définissant la dérivée doit être indépendante de la façon dont la quantité complexe
$h=s+it$ tend vers zéro. Si on prend $h=s$ réel, alors la dérivée devient une dérivée partielle par rapport à $x$ et donc

$f^{\prime }(z)=\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(z+it)-f(z)}{it}}=-i{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}=-i{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}}+{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}}$

Si $f^{\prime }(z)$ existe, $f(z)$ doit satisfaire l’équation aux dérivées partielles suivante

$$\frac{\partial f}{\partial x}=-i\frac{\partial f}{\partial y}$$

qui équivaut aux deux équations aux dérivées partielles réelles de Cauchy-Riemann. Ce sont des conditions nécessaires pour l’existence de la dérivée d’une fonction $f$ en un point. Elles peuvent être utilisées pour déterminer les points où $f$ ne possède pas de dérivée.

L’application $df:h\to \alpha h$ est $ℂ$-linéaire. Comme $ℂ$ est un $ℝ$-espace vectoriel de dimension 2, et que $df$ est $ℝ$-linéaire, la dérivabilité exprime que l’application $f$ considérée comme application de ${ℝ}^2$ dans ${ℝ}^2$ est $ℝ$-différentiable en $z_0$. Les deux fonctions suivantes peuvent être vues comme une « même fonction » qui associe à un point $(x,y)$ du plan d’affixe $(x+iy)$ le point $(X,Y)$ du plan d’affixe $(X+iY)$. On a les notations suivantes

	$f:U\subset ℂ\to ℂ\tilde{f}:U\subset {ℝ}^2\to {ℝ}^2$
	$f(z)=f(x+iy)=\tilde{f}(x,y)f\approx \tilde{f}$

Proposition 6.11. On désigne par $\mathscr{H}(U)$ l’ensemble des fonctions holomorphes sur un ouvert $U$. Si f et $g$ appartiennent à $\mathscr{H}(U)$ alors on a les propriétés suivantes.
(i) $f+g\in \mathscr{H}(U)avec{(f+g)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$
(i) $fg\in \mathscr{H}(U)avec{(fg)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
(i) Lorsque $(g(z_0)\ne 0$, le quotient est holomorphe en $z_0$ et on a

$$\frac{f}{g}){}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g+f{g}^{\prime }}{g^2}$$

(i) Lorsque la fonction composée $h=g\circ f$ est définie,

$$fU\to U_{1}g{U}_1\to U=ℂ$$

alors, $h$ appartient à $\mathscr{H}(U)$ et on a

$$h{(z)}^{\prime }=g^{\prime }(f(z)).f^{\prime }(z)$$

Exemple de fonctions holomorphe
Toutes les fonctions définies par des séries entières sont holomorphes, la fonction exponentielle, le sinus, le cosinus, la fonction $z\in {ℂ}^{\ast }\to \frac{1}{z}\in {ℂ}^{\ast }$ sont holomorphes.
Opérateur de différentiation
L’opérateur de différentiation qui est central dans toute la théorie.
Définition 7.3. L’opérateur de différentiation par rapport à z est défini formellement par :

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}-i{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}})$

et l’opérateur conjugué (de différentiation par rapport à $\overline{z}$) par

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial \overline{z}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+i{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}})$

Avec ces notations, une fonction $f(z,\overline{z})$ est holomorphe sur $U$ si, et seulement si, sa dérivée par rapport à $\overline{z}$ est identiquement nulle. Sa dérivée est égale à sa dérivée par rapport à $z$.
Comme toute fonction de $(x,y)$ peut s’exprimer comme fonction de ,
$(z,\overline{z})$, une fonction holomorphe est indépendante de $\overline{z}$.

La formule de Cauchy est un des éléments clé de la théorie des fonctions holomorphes. On établit alors l’équivalence entre dérivabilité complexe et analyticité pour les fonctions d’une variable complexe. Cette équivalence est spécifique au domaine complexe, en effet toute fonction analytique d’une variable réelle est bien sûr dérivable, mais il existe des fonctions dérivables d’une variable réelle et même de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ qui ne sont pas analytiques comme par exemple la fonction définie sur $ℝ$ par
$f(x)={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2}}$ pour $x\ne 0$ et $f(0)=0$.

Exemples
(1) L’application $\gamma :[0,2\pi ]\to ℂ$ définie par $\gamma (t)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}$ est un chemin fermé et $\mathrm{\Gamma }=\{z\in ℂ|z|=1\}$
(2) L’application $\tilde{\gamma }:[0,3\pi ]\to ℂ$ définie par $\gamma (t)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}$ n’est pas un chemin fermé, son origine est $1$ et son extrémité est $-1$, et $\tilde{\mathrm{\Gamma }}=\mathrm{\Gamma }$ mais $\tilde{\gamma }\ne \gamma$.

Démonstration : La formule du changement de variable dans les intégrales donne

$${\int }_{\delta }f(z)dz={\int }_c^{d}f(\delta (t)){\delta }^{\prime }(t)dt={\int }_a^{b}f(\delta \circ \phi (s)){\delta }^{\prime }(\phi (s)){\phi }^{\prime }(s)ds$$

$$={\int }_a^{b}f(\gamma (s)){\gamma }^{\prime }(s)ds={\int }_{\gamma }f(z)dz.$$

Si $f$ est une fonction continue sur $\mathrm{\Gamma }$, alors

$${\int }_{\delta }f(z)dz\le {\int }_a^b|f(\delta (t)){\delta }^{\prime }(t)\mathrm{d}t|\le ML$$

où $L$ désigne la longueur de $\gamma$ et $M={sup}_{z\in \mathrm{\Gamma }}|f(z)|$

$\bullet$ Intégrale sur un chemin n’entourant aucun point singulier
Si $([a,b],\gamma )$ est un chemin de classe ${𝒞}^1$ par morceaux dans $U$ et $f$ une fonction continue sur $U$ telle que $f=F^{\prime }$, où $F$ est une fonction holomorphe sur $U$, on a

$${\int }_{\gamma }f(z)dz={\int }_a^b{F}^{\prime }(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)dt=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))$$

$${\int }_{\gamma }f(z)dz=0\text{ si}\gamma \text{est un chemin fermé}.$$

En particulier, si $f(z)={(z-\omega )}^n$ alors on a $f^{\prime }(z)=\frac{1}{n+1}{(z-\omega )}^{n+1}$ pour $n\in \mathbb{Z}\setminus \{-1\}$.
D’où

$${\int }_{\gamma }{(z-\omega )}^{n}dz=0,n\ne -1,\mathrm{\Gamma }\text{: chemin fermé},\omega \notin \mathrm{\Gamma }$$

$\bullet$ Intégrale sur un chemin entourant un point singulier

Soient $\gamma :[0,2\pi ]\to ℂ$ défini par $\gamma (t)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}$ et $\omega \in ℂ$ tel que , on pose $f_{\omega }(z)=\frac{1}{z-\omega }$. Nous allons calculer la valeur de ${\int }_{\gamma }{f}_{\omega }(z)dz={\int }_0^{2\pi }\frac{{\mathrm{ie}}^{\mathrm{i}t}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-\omega }dt$.
Posons $g(s)={\int }_0^{2\pi }\frac{{\mathrm{ie}}^{\mathrm{i}t}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-s\omega }dt$, $s\in [0,1]$.
La fonction $\phi (s,t)=\frac{{\mathrm{ie}}^{\mathrm{i}t}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-s\omega }$ est continue sur $[0,1]\times [0,2\pi ]$.
La fonction $\frac{\partial \phi }{\partial s}(s,t)=\frac{\mathrm{i}\omega {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{{({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-s\omega )}^2}$ est aussi continue sur $[0,1]\times [0,2\pi ]$. La théorie des intégrales dépendant d’un paramètre implique, puisque nous intégrons sur un segment, que $g$ est une fonction de classe ${𝒞}^1$ sur $[0,1]$. De plus $g(0)=2\mathrm{i}\pi$ et $g(1)={\int }_{\gamma }{f}_{\omega }(z)dz$. On a

$$g^{\prime }(s)={\int }_0^{2\pi }\frac{\mathrm{i}\omega {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-s\omega )}dt=0.$$

Donc $g$ est constante sur $[0,1]$ et $g(1)=g(0)$ et donc

$${\int }_{\gamma }\frac{\mathrm{d}z}{z-\omega }=2\mathrm{i}\pi$$

Démonstration : Sans perte de généralité on peut supposer que le chemin $\gamma$ est de classe ${𝒞}^1$. Pour $z\in ℂ\setminus \mathrm{\Gamma }$ on considère la fonction $\phi$ définie sur $[a,b]$ par
$\phi (s)=\mathrm{e}xp\left[{\displaystyle {\int }_a^s}{\displaystyle \frac{{\gamma }^{\prime }(t)}{\gamma (t)-z}}dt\right].$
Nous allons montrer que la fonction $\psi (s)=\frac{\phi (s)}{\gamma (s)-z}$ est constante sur l’intervalle $[a,b]$. Puisque le chemin $\gamma$ est de classe ${𝒞}^1$, la fonction $\psi$ est aussi de classe ${𝒞}^1$ sur l’intervalle $[a,b]$ et il suffit donc de prouver que ${\psi }^{\prime }(s)=0$ pour tout $s\in [a,b]$. Mais
${\psi }^{\prime }(s)={\displaystyle \frac{{\phi }^{\prime }(s)(\gamma (s)-z)-\phi (s){\gamma }^{\prime }(s)}{{(\gamma (s)-z)}^2}}.$
et ${\phi }^{\prime }(s)=\frac{{\gamma }^{\prime }(s)}{\gamma (s)-z}\phi (s)$, par conséquent ${\psi }^{\prime }(s)=0$. Nous obtenons donc $\psi (a)=\psi (b)$ et, puisque $\gamma (a)=\gamma (b)$ (le chemin $\gamma$ est fermé), cela donne $\phi (b)=\phi (a)=1$, soit ${\mathrm{Ind}}_{\gamma }(z)\in \mathbb{Z}$ par définition de $\phi$.
La fonction ${\mathrm{Ind}}_{\gamma }(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi }{\int }_a^b\frac{{\gamma }^{\prime }(t)}{\gamma (t)-z}dt$ est définie comme une intégrale sur le segment $[a,b]$ dépendant du paramètre $z$. La fonction $(t,z)\mapsto \frac{{\gamma }^{\prime }(t)}{\gamma (t)-z}$ est continue sur $[a,b]\times ℂ\setminus \mathrm{\Gamma }$ donc ${\mathrm{Ind}}_{\gamma }$ est continue, de plus elle est à valeurs entières et par conséquent constante sur chaque composante connexe de $ℂ\setminus \mathrm{\Gamma }$.
Soit $R_0$ tel que $\mathrm{\Gamma }$ soit contenu dans le disque $D(0,R_0)$. Si $|z|>R_0+r$, alors $|\gamma (t)-z|>r$ pour tout $t\in [a,b]$ et
avec $M=\frac{b-a}{2\pi }{sup}_{t\in [a,b]}|{\gamma }^{\prime }(t)|$. On en déduit que ${lim}_{|z|\to \mathrm{\infty }}|{\mathrm{Ind}}_{\gamma }(z)|=0$ et, puisque ${\mathrm{Ind}}_{\gamma }(z)$ est à valeurs entières, ${\mathrm{Ind}}_{\gamma }(z)=0$ sur la composante connexe non bornée de $ℂ\setminus \mathrm{\Gamma }$.$\mathrm{\square }$

Démonstration Quitte à translater et dilater, i.e. remplacer $f$ par $\tilde{f}(z)=f(a+rz)$, on peut se ramener au cas où $a=0$ et $r=1$. On doit montrer que

Posons

$$g(s)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\left(\frac{f(z+s({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-z)){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-z}\right)dt\text{pour}s\in [0,1]$$

On a
et donc $f(z+s(e^{it}-z))$ est bien définie pour $0\le s\le 1$. De plus $g(1)$ coîncide avec le second membre de (2) et on a

On va prouver que la fonction $g$ est constante sur $[0,1]$.
Les fonctions

$$\phi (s,t)=\frac{f(z+s({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-z)){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-z}$$

et

$$\frac{\partial \phi (s,t)}{\partial s}=f(z+s({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-z)){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}$$

sont continues sur $[0,1]\times [0,2\pi ]$. De plus, on a

$$\frac{\partial \phi }{\partial s}(s,t)=\frac{\partial }{\partial t}\frac{1}{2i}f(z+s({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-z))=\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(t)$$

Puisqu’on intègre sur un segment, la théorie des intégrales dépendant d’un paramètre implique que $g$ est une fonction de classe ${ℂ}^1$ sur $[0,1]$ et que

$$g^{\prime }(s)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(t)dt=\frac{1}{2\pi }(\mathrm{\Phi }(2\pi )-\mathrm{\Phi }(0))=0$$

Donc la fonction $g$ est constante sur $[0,1]$ et $g(1)=g(0)=f(z)$
Soit

$$f(z)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{f({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}-z}dt.$$

Démonstration (1)–Soit $a\in U$ et $D=D(a,d(a,ℂ\setminus U))$, $D$ est le plus grand disque de centre $a$ contenu dans $U$. Soit $r$ tel que et $z\in D(a,r)$, alors la formule de Cauchy donne

$$f(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi }{\int }_{𝒞(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw.$$

Si $z\in D(a,r)$ et si $w$ vérifie $|w-a|=r$, on a et
${\displaystyle \frac{1}{w-z}}$ $={\displaystyle \frac{1}{(w-a)-(z-a)}}={\displaystyle \frac{1}{w-a}}{\displaystyle \frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}}$ $={\displaystyle \frac{1}{w-a}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \frac{{(z-a)}^n}{{(w-a)}^n}},$ d’où

$$\frac{f(w)}{w-z}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(z-a)}^{n}f(w)}{{(w-a)}^{n+1}}.$$

Cette série de fonctions de $w$ est normalement convergente donc uniformément convergente sur $𝒞(a,r)$ (on utilise ici la même notation pour le chemin et son image) puisque son terme général est majoré par ${\displaystyle \frac{M}{r}}{\left({\displaystyle \frac{|z-a|}{r}}\right)}^n$ avec$M=\underset{w\in 𝒞(a,r)}{sup}|f(w)|.$
On peut donc intégrer terme à terme et on trouve

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(z-a)}^n\text{avec}{a}_n=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi }{\int }_{𝒞(a,r)}\frac{f(w)}{{(w-a)}^{n+1}}dw.$$

La fonction $f$ est donc analytique dans $U$ et la série de Taylor en $a$ de $f$ coïncide avec $f$ au moins sur le plus grand disque ouvert de centre $a$ contenu dans $U$ puisque, si $z$ est dans ce disque, on peut intercaler $r$ entre $|z-a|$ et $d(a,ℂ\setminus U)$.
Remarque Dans le cas des fonctions analytiques réelles le disque de convergence de la série de Taylor en un point n’est pas nécessairement le plus grand disque contenu dans le domaine de définition de la fonction. Il suffit de considérer la fonction $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ qui est analytique sur $ℝ$ et dont le rayon de convergence de la série de Taylor en 0 vaut $1$.
(3)–D’après le Corollaire 1, la fonction $f$ est analytique et donc de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ et sa dérivée est aussi analytique et par conséquent holomorphe.

-Un polynôme est analytique
– $f:z\to \frac{1}{z}$ est analytique sur ${ℂ}^{\ast }$

Cette équivalence montre l’importance d’une fonction $ℂ-dérivable$ (holomorphe). En effet, cette propriété implique la dérivabilité à tout ordre, elle implique que la fonction est localement égale à la somme de sa série de Taylor en chaque point.
Théorème de Borel
Soit $(a_n)$ une suite arbitraire de nombres complexes. Il existe une fonction
$f:ℝ\to ℝ$ de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ telle que
$f^{(n)}(0)=a_n$, $\forall n\in \mathbb{N}$.
On sait donc prescrire arbitrairement toutes les dérivées d’une fonction
de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ en un point. En particulier, pour $f^{(n)}(0)={(n!)}^2$, la série de Taylor de $f$ en 0 aura un rayon de convergence nul.
Fonction entière
Une fonction entière est une fonction holomorphe définie
sur $ℂ$ tout entier.
La fonction exponentielle
Proposition
La série entière

$$\sum _0^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$$

a un rayon de convergence infini. Elle définit donc une fonction entière, dénommée fonction exponentielle. Cette fonction ne s’annule pas et sa restriction à $ℝ$ est une bijection croissante. On a $|\mathrm{e}xp(z)|=1$ si, et seulement si, $z\in iℝ$
L’exponentielle complexe est l’unique application entière
$f:ℂ\to {ℂ}^{\ast }$ qui vérifie simultanément $f(0)=1$ et $f^{\prime }(z)=f(z),\forall z\in ℂ$.
On démontre que cette fonction est surjective

Fonction logarithme sur $ℝ$
L’application $\mathrm{e}xp:ℝ\to {ℝ}^{+\ast }$
est une bijection (croissante)
croissante. Son inverse est la fonction logarithme néperien qui est aussi une bijection (croissante).
$\mathrm{L}og:{ℝ}^{+\ast }\to ℝ$
Fonctions logarithme sur $ℂ$
Dans le domaine complexe, l’application exponentielle
est surjective, mais non injective. Elle est

	$\mathrm{e}xp:ℂ\to {ℂ}^{\ast }$	$:$	$z\to \mathrm{e}xp(z)\in ℂ$
		$:$	$\forall z\in {ℂ}^{\ast },\exists w\text{ tel que }z=\mathrm{e}xp(w)$
		$:$	$w\text{est UN logarithme de z défini à }2i\pi \text{ près}.$
	$z=\mathrm{e}xp(x+iy)$	$=$	$\mathrm{e}xp(x)\mathrm{e}xp(iy),x=\mathrm{R}e(z)=\log |z|,y=\mathrm{I}m(z)=\theta +2k\pi \mathrm{?}\mathrm{?}\mathrm{?}\mathrm{?}\mathrm{?}\mathrm{?}\mathrm{?}\mathrm{?}\mathrm{?}\mathrm{?}$

La partie réelle de $z$ est définie de manière unique mais sa partie imaginaire n’est définie qu’à $2i\pi$ près et c’est un argument de $z$.
Déterminations du logarithme
(1)–Soit $U\subset ℂ$ un ouvert. Une application $f:U\to ℂ$ est une
détermination (continue) du logarithme si $f$ est continue et pour tout $z\in U$, on a $z=\mathrm{e}xp(f(z))$.
(2)–L’existence d’une détermination continue du logarithme
sur U équivaut à l’existence d’une détermination continue de l’argument sur
U.
(3)–Il n’existe pas de détermination continue du logarithme sur
${ℂ}^{\ast }$ tout entier.
(4)–Soient U un ouvert connexe de ${ℂ}^{+}$ et $f_0:U\to ℂ$
une détermination continue du logarithme sur U. Alors, les autres déterminations
continues du logarithme sur U sont exactement les fonctions

$$f_n=f0+2in\pi ,n\in \mathbb{Z}$$

(5)–Soit U un ouvert connexe de ${ℂ}^{+}$. Si $f_0:U\to ℂ$ est une détermination continue du logarithme sur $U$ alors $f$ est holomorphe et on a $f^{\prime }(z)=1/z,\forall z\in U$
(6)–On suppose U connexe. Soit $g:U\to ℂ$ une fonction
holomorphe telle que $g^{\prime }(z)=1/z$ pour tout $z\in U$. Alors il existe une constante $\alpha \in ℂ$ telle que $z\in U\Rightarrow g(z)-\alpha \in ℂ$
soit une détermination continue du logarithme sur $U$.
(7)–L’existence d’une détermination continue du logarithme
sur U équivaut donc à l’existence d’une “primitive” sur l’ouvert U pour l’application: $z\in U\to 1/z\in ℂ$.
– Le fait que la fonction $z\in {ℂ}^{\ast }\to 1/z\in ℂ$ n’admette pas de primitive
est fondamental est à la base du théorème des
résidus.
– Lorsque l’ouvert U n’est pas connexe, on ajuste séparément la constante sur chacune de ses composantes connexes.

La restriction de l’application exponentielle :

est bijective, et est donc un biholomorphisme entre ces deux ouverts. L’application réciproque

est appelée détermination principale du logarithme. Elle prolonge au plan coupé $ℂ-{ℝ}^{-}$ le logarithme réel $\log :{ℝ}^{+}\to ℝ$.
La détermination principale
de l’argument correspondante prend ses valeurs dans $]-\pi ,\pi [$.
La fonction logarithme est une fonction multivariée. Il présente plusieurs « branches » et chaque branche correspond à une fonction logarithme univariée. La branche correspondant à est appelée branche principale. Chaque point de la demi-droite $]-\mathrm{\infty },0[$ est un point singulier de la branche principale. Cette demi-droite est appelée coupure. Une coupure étant par définition constituée de points singuliers. Une coupure est introduite pour définir une branche d’une fonction multivariée. On peut aussi choisir la demi-droite $\theta =\mathrm{\Phi }$ comme coupure. Un point singulier commun à toutes les coupures est appelé point de branchement. L’origine est un point de branchement pour le logarithme.
La détermination principale du logarithme est donnée par

On peut aussi définir le logarithme sur le domaine:

La fonction $\log$ n’est pas continue sur tout son domaine de définition et donc pas analytique sur ce domaine. Elle est analytique sur le domaine .

C’est la fonction

$$z\in ℂ\to w=z^a=e^{a\log z}\in ℂ,a=\alpha +i\beta \in ℂ$$

(1)

où $\log z$ dénote la fonction multivaluée. La fonction

est univaluée et analytique dans le domaine . Quand on utilise cette branche de $\log z$, la fonction $z^a$ est univaluée et analytique dans le même domaine. Cette fonction, dénommée détermination principale de $z^a$ est obtenue quand $\log z$ est remplacé par sa détermination principale $Logz$ dans la définition (1). Le point de branchement de détermination de la fonction puissance est $z=0$.
Détermination de la fonction $z\to \sqrt{z},z\in ℂ$
L’équation du second degré en $z$, $Z^2=z$ admet toujours deux racines $z_1$ et $z_2$. Lorsque $z$ varie sur $ℂ$, on note $\sqrt{z}$ la solution $z_1$ définie par

$z\to \sqrt{z}=z_1$

$=$

$\sqrt{\rho }\mathrm{e}xp(i{\displaystyle \frac{\theta }{2}}),\theta \in (0,2\pi )$

et on a

$$z_2=\sqrt{\rho }\mathrm{e}xp(i\frac{\theta }{2}),\theta \in (-2\pi ,0)$$

La relation

$$z\to \sqrt{z},\theta \in (0,2\pi ).$$

définit bien une application appelée fonction racine carrée. Cette fonction coïncide avec la fonction racine $z_1$ pour $\theta \in (0,\pi )$
et avec l’autre branche $z_2$ pour $\theta \in (\pi ,2\pi )$.
La fonction $z\to \sqrt{z}$ ainsi définie est analytique lorsque $\theta \in (\pi ,2\pi )$. Pour $z=x\mathrm{e}xp(i\theta )$ avec $x\in {ℝ}^{\ast +}$, on a

$$\underset{\theta \to 0^{+}}{lim}\sqrt{z}=\sqrt{x}\text{et}\underset{\theta \to 2{\pi }^{+}}{lim}\sqrt{z}=-\sqrt{x}$$