0.1 Applications n-linéaires, Forme alternée, Déterminant 0.2 Groupe symétrique L’ensemble des bijections de E={1,2,…,n} sur lui-même est un groupe pour la loi de composition ∘. Il est appelé groupe symétrique ou ensemble des permutations et son cardinal est égal à n!. Chaque permutation est notée sous-forme d’une matrice à deux lignes σ:(12…nσ⁢(1)σ⁢(1)…σ⁢(n)) Support d’une permutation […]

0.1 Corps : Anneau où tout élément non nul est inversible L’ensemble (𝕂,+,∗) est appelée corps relativement aux deux lois + et ∗ si (𝕂,+) est un groupe commutatif non réduit à 0, (𝕂∗,∗) est un groupe commutatif et si la loi ∗ est distributive par rapport à la loi +. Un corps est donc […]

0.1 Connexité et connexité par arcs dans ℂ Un sous-ensemble ouvert ℂ est dit connexe lorsqu’il n’est jamais possible de le décomposer en deux sous-ensembles ouverts, disjoints et non vides Un sous-ensemble fermé F de ℂ est dit connexe lorsqu’il n’est jamais possible de le décomposer en deux sous-ensembles fermés, disjoints et non vides. Un […]

0.1 Polynômes particuliers 0.2 Polynômes de Bernoulli On construit la suite de polynômes de la façon suivante ℬ0=1,ℬk+1′=ℬk,∫01ℬk+1⁢(t)⁢𝑑t=0,k=0,1,… Les ℬn sont dénommés polynômes de Bernoulli, ils ne sont pas unitaires. On vérifie par récurrence que le coefficient dominant de ℬn est donné par an=1n!. On peut donc écrire ℬn=Xnn!+Rn−1,d⁢e⁢g(Rn−1)<n. On désignera le terme constant du […]

0.1 Espace probabilisé, Probabilité 0.2 Espace probabilisable Une expérience aléatoire est une expérience pouvant conduire à plusieurs résultats possibles et dont le résultat ne peut être prévu avec certitude. Cela signifie que si l’on répète plusieurs fois la même expérience, on obtient à chaque fois un résultat bien défini mais qui n’est pas toujours le […]

0.1 Applications linéaires, Endomorphisme, Automorphisme Une application f d’un espace vectoriel 𝔼 sur un espace vectoriel 𝔽 qui conserve les deux lois de l’espace est une application linéaire. Cette conservation se traduit par : f⁢(x+y)=f⁢(x)+f⁢(y)∀x,y∈𝔼 (1) f⁢(λ⁢x)=λ⁢f⁢(x),∀x∈E,∀λ∈𝕂 (2) On a toujours f⁢(0E)=0F et f⁢(−u)=−f⁢(u). Proposition 0.1.1 Espace vectoriel des applications linéaires L’ensemble, noté ℒ⁢(𝔼,𝔽), des […]

0.2 Familles génératrice, libre ou liée. Base, dimension Loi externe Une loi externe définie sur l’ensemble 𝔼×𝕂 relativement à un ensemble de scalaires de 𝕂 est une application 𝔼×𝕂 sur 𝔼. Cette opération notée couremment par un point ou par x associe donc à tout couple de l’ensemble 𝔼×𝕂 un élément unique de l’ensemble 𝔼. […]

0.2 L’anneau des polynômes à une indéterminée On va donner la définition générale d’un polynôme à coefficients dans un anneau 𝔸 commutatif et unitaire. Ensuite, on se restreint au cas important où 𝔸=𝕂 est un corps. Considérons l’ensemble, 𝔸Fℕ⊂𝔸ℕ des suites d’éléments de 𝔸 dont les termes sont nuls à partir d’un certain rang. On […]

0.2 Règles de calcul dans le cas général Distributé d’une loi par rapport à une autre Soit 𝔸 ensemble muni de deux lois + et ∗. On dit que la loi ∗ est distributive à droite (resp. à gauche) par rapport à la loi + si elle vérifie la première (resp. la deuxième) propriété suivante: […]

0.1 Magma et groupe : structures avec 1 loi interne Loi de composition interne. Soit 𝔼 un ensemble. On appelle loi interne sur 𝔼 toute application de 𝔼×𝔼 dans 𝔼. C’est une opération notée couramment : o,∗,+,…, qui permet de faire correspondre à tout couple de l’ensemble 𝔼2 un élément unique du même ensemble. Associativité […]