Maths Pour Tous

0.1 Corps : Anneau où tout élément non nul est inversible L’ensemble (𝕂,+,∗) est appelée corps relativement aux deux lois + et ∗ si (𝕂,+) est un groupe commutatif non réduit à 0, (𝕂∗,∗) est un groupe commutatif et si la loi ∗ est distributive par rapport à la loi +. Un corps est donc…

0.1 Connexité et connexité par arcs dans ℂ Un sous-ensemble ouvert ℂ est dit connexe lorsqu’il n’est jamais possible de le décomposer en deux sous-ensembles ouverts, disjoints et non vides Un sous-ensemble fermé F de ℂ est dit connexe lorsqu’il n’est jamais possible de le décomposer en deux sous-ensembles fermés, disjoints et non vides. Un…

0.1 Espace probabilisé, Probabilité 0.2 Espace probabilisable Une expérience aléatoire est une expérience pouvant conduire à plusieurs résultats possibles et dont le résultat ne peut être prévu avec certitude. Cela signifie que si l’on répète plusieurs fois la même expérience, on obtient à chaque fois un résultat bien défini mais qui n’est pas toujours le…

0.1 Applications linéaires, Endomorphisme, Automorphisme Une application f d’un espace vectoriel 𝔼 sur un espace vectoriel 𝔽 qui conserve les deux lois de l’espace est une application linéaire. Cette conservation se traduit par : f⁢(x+y)=f⁢(x)+f⁢(y)∀x,y∈𝔼 (1) f⁢(λ⁢x)=λ⁢f⁢(x),∀x∈E,∀λ∈𝕂 (2) On a toujours f⁢(0E)=0F et f⁢(−u)=−f⁢(u). Proposition 0.1.1 Espace vectoriel des applications linéaires L’ensemble, noté ℒ⁢(𝔼,𝔽), des…

0.2 Familles génératrice, libre ou liée. Base, dimension Loi externe Une loi externe définie sur l’ensemble 𝔼×𝕂 relativement à un ensemble de scalaires de 𝕂 est une application 𝔼×𝕂 sur 𝔼. Cette opération notée couremment par un point ou par x associe donc à tout couple de l’ensemble 𝔼×𝕂 un élément unique de l’ensemble 𝔼.…

0.2 L’anneau des polynômes à une indéterminée On va donner la définition générale d’un polynôme à coefficients dans un anneau 𝔸 commutatif et unitaire. Ensuite, on se restreint au cas important où 𝔸=𝕂 est un corps. Considérons l’ensemble, 𝔸Fℕ⊂𝔸ℕ des suites d’éléments de 𝔸 dont les termes sont nuls à partir d’un certain rang. On…

0.2 Règles de calcul dans le cas général Distributé d’une loi par rapport à une autre Soit 𝔸 ensemble muni de deux lois + et ∗. On dit que la loi ∗ est distributive à droite (resp. à gauche) par rapport à la loi + si elle vérifie la première (resp. la deuxième) propriété suivante:…

0.1 Magma et groupe : structures avec 1 loi interne Loi de composition interne. Soit 𝔼 un ensemble. On appelle loi interne sur 𝔼 toute application de 𝔼×𝔼 dans 𝔼. C’est une opération notée couramment : o,∗,+,…, qui permet de faire correspondre à tout couple de l’ensemble 𝔼2 un élément unique du même ensemble. Associativité…

0.1.1 Groupe symétrique L’ensemble des bijections de E={1,2,…,n} sur lui-même est un groupe pour la loi de composition ∘. Il est appelé groupe symétrique ou ensemble des permutations et son cardinal est égal à n!. Chaque permutation est notée sous-forme d’une matrice à deux lignes σ:(12…nσ⁢(1)σ⁢(1)…σ⁢(n)) Support d’une permutation : supp (σ) C’est le sous-ensemble…

1.1 Forme bilinéaire symétrique définie positive Une forme bilinéaire est une fonction scalaire B définie sur 𝔼×𝔼 linéaire par rapport à la première variable et linéaire par rapport à la deuxième. La forme B est dite : 1. symétrique si B⁢(x,y)=B⁢(y,x)∀x,y∈𝔼 2. définie non négative (B≥0) si B⁢(x,x)≥0∀x∈𝔼 3. définie positive (B>0) si B⁢(x,x)>0∀x≠0∈𝔼 Toute forme…