Section2 Anneau: structure avec 2 lois internes

Distributé d’une loi par rapport à une autre
Soit $𝔸$ ensemble muni de deux lois $+$ et $\ast$. On dit que
la loi $\ast$ est distributive à droite (resp. à gauche) par rapport à la
loi $+$ si elle vérifie la première (resp. la deuxième) propriété
suivante:

	$\forall x,y,z\in 𝔸,(x+y)\ast z$	$=$	$x\ast z+y\ast z$		(1)
	$\forall x,y,z\in 𝔸,z\ast (x+y)$	$=$	$z\ast x+z\ast y$		(2)

La loi est dite distributive si elle l’est à droite et à gauche.
Anneau Le triplet $(𝔸,+,\ast )$ est appelée anneau relativement aux deux
lois + et $\ast$ si $(𝔸,+)$ est un groupe et si la loi $\ast$ est
associative et distributive par rapport à la loi $+$. La seconde loi
n’est pas nécessairement commutative.
Règles de calcul Les propriétés suivantes sont valables dans un anneau quelconque.
(1) Pour $a$ et $b$ quelconques de $𝔸$, on a :

$$a\ast 0=0\ast a=0,(-a)(-b)=ab,{(-1)}^2=1$$

$$(na)\ast (b)=a\ast (nb)=n(ab),\forall n\in \mathbb{Z}$$

(2) Si $a$ et $b$ commutent et $n\in \mathbb{N}$ quelconque, on a :

$${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n{𝒞}_k^n{a}^k{b}^{n-k},a^n-b^n=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-k-1}.$$

$$P(X)=\sum _{k=0}^n{a}_k{X}^k,P(a)=\sum _{k=0}^n{a}_k{a}^k.$$

$$P(X)-P(a)=\sum _{k=0}^n{a}_k(X^k-a^k)=(X-a)Q(X).$$

Donc $P(a)=0$ ssi $P(X)$ est divisble par $X-a$.
Anneau unitaire L’anneau est unitaire si sa deuxième loi $\ast$ admet un élément neutre. Souvent, un anneau est supposé forcément unitaire par définition.
L’anneau commutatif L’anneau est commutatif si sa loi $\ast$ est
commutative.
Anneau intègre L’anneau est intègre s’il n’est pas réduit à l’ensemble $\{0\}$ et si

$$\forall a,b\in 𝔸,a\ast b=0\Rightarrow (a=0\text{ ou }b=0).$$

Dans un anneau intègre tout élément non nul est simplifiable, c’est-à-dire

$$\forall a,b,c\in 𝔸,ab=ac\text{ ou }ba=ca\Rightarrow b=c.$$

La simplification classique $ba=ca\Rightarrow b=c$ sur l’anneau $ℂ$ reste valable sur un anneau intègre quelconque.
A titre d’exemple, on a : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ intègre $\iff n=0$ ou $n$ premier.
$𝔸[X]$ intègre $\iff 𝔸$ intègre.
Un anneau commutatif intègre fini est un corps
En effet pour tout élément $g$ non nul de $𝔸$,
l’application

$${\varphi }_g:𝔸\to 𝔸,c\to {\varphi }_g(c)=gc$$

est injective puisque
${\varphi }_g(a)={\varphi }_g(b)\iff g(a-b)=0$. Comme l’anneau est intègre et $g\ne 0$, on obtient $a=b$ et donc ${\varphi }_g$ est injective. Comme $𝔸$ est fini, ${\varphi }_g$ est donc surjective. Il existe donc $g^{\prime }$ tel que
$g{g}^{\prime }=1$. La commutativité permet de conclure que $g^{\prime }$ est l’inverse de $g$.
Sous-anneau Une partie $𝔹$ d’un anneau $𝔸$
contenant $1_A$ et stable pour les deux lois de $𝔸$ est un sous-anneau de $𝔸$ si $𝔹$ muni des deux lois induites par celles de $𝔸$ est un anneau, i.e.,

$$𝔹\text{ sous-anneau }\iff 1_A\in 𝔹\text{ et }\forall (a,b)\in {𝔹}^2,x-y\in 𝔹\text{ et }x.y\in 𝔹.$$

Par exemple $2\mathbb{Z}$ n’est pas un sous-anneau de $\mathbb{Z}$ car il ne contient pas $1_A$.
L’ensemble $\{a+b\sqrt{2}/(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ est un sous-anneau de $ℝ$.
L’ensemble $\{a+b\sqrt{2}/(a,b)\in {\mathbb{Q}}^2\}$ est un sous-anneau de $ℝ$.
Morphisme d’anneaux unitaires
Une application $\varphi$ d’un anneau unitaire $(𝔸,+,.)$ dans un anneau unitaire $(𝔹,\widetilde{+},\ast )$ est un morphisme d’anneau si $\varphi$ vérifie les trois propriétés suivantes.
$\varphi (1_A)=1_B$
$\forall (x,y)\in {𝔸}^2:\varphi (x+y)=\varphi (x)\widetilde{+}\varphi (y)$
$\forall (x,y)\in {𝔸}^2:\varphi (x.y)=\varphi (x)\ast \varphi (y)$
On dit que l’application $\varphi$ est compatible avec les deux lois internes de l’anneau. Un morphisme d’anneaux unitaires ne peut donc pas être nul.
Caractéristique d’un anneau
L’application

$$\varphi :\mathbb{Z}\to 𝔸,\varphi (n)=n{.1}_A$$

est un morphisme d’anneaux.
L’entier naturel $p$ ainsi défini
Le plus petit entier $>0$ tel que $p{.1}_A=0$ est appelé caractéristique de l’anneau $𝔸$ et se note $car(𝔸)$. Ce nombre $p$ est caractérisé par
$\forall n\in \mathbb{N}:n{.1}_A=0$ $\iff$ $n$ est un multiple de $p$.
Si $p=0$ : alors $Ker(\varphi )=0$ donc $\varphi$ est injective et donc $\mathbb{Z}$ est isomorphe à $\varphi (\mathbb{Z})$.
L’anneau $𝔸$ contient un sous-anneau isomorphe à $\mathbb{Z}$ et en particulier $𝔸$ est infini.
Si $p\ne 0$ : alors $Ker(\varphi )=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est isomorphe à $\varphi (\mathbb{Z})$.
Si l’anneau $𝔸$ est intègre sa caractéristique est soit 0 soit un nombre premier.
La décomposition canonique du morphisme $\varphi$ permet d’introduire pour $p\ne 0$ un isomorphisme de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sur $\varphi (\mathbb{Z})$.

Anneau produit
Si ${𝔸}_1$ et ${𝔸}_2$ sont deux anneaux, ${𝔸}_1\times {𝔸}_2$ muni
des deux lois-produits (« composantes par composantes ») est
un anneau, appelé anneau-produit de ${𝔸}_1$ et ${𝔸}_2$.
On peut généraliser à un nombre quelconque d’anneaux.
Un anneau produit ${𝔸}_1\times {𝔸}_2$ n’est jamais intègre, même si ${𝔸}_1$ et ${𝔸}_2$ le sont.
Eléments associés Introduisons sur $𝔸$ la relation d’équivalence définie par :

$$aℛb\iff \exists u\text{ inversible tel que }a=ub.$$

Deux éléments équivalents et non nuls sont dits associés.
Les entiers relatifs $a$ et $-a$ sont associés dans l’anneau $\mathbb{Z}$. Les polynômes $P$ et $\alpha P$, $\alpha \in {𝕂}^{\ast }$, sont associés dans l’anneau $𝕂[X]$.
Au lieu de considérer un anneau $𝔸$, il est souvent plus commode de travailler sur l’anneau quotient $𝔸/ℛ$ constitué par les classes d’équivalence. Par exemple dans l’anneau $𝔸$, on parlera d’unicité aux facteurs inversibles près mais dans son anneau quotient on a l’unicité tout court. Par exemple, un entier $n$ se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers (à un facteur inversible près) :
$12=(-2)(2)(-3)=\mathrm{2.2.3}$. Le $-2$ et le $2$ representent la même classe d’équivalence, c’est-à-dire le même élément de l’anneau quotient.

Relation de divisibilité
Considérons la relation :

$$a\text{ est un multiple de}bssi\exists q\text{ est un multiple de}a=qb.$$

(qui s’énonce aussi « $b$ est un diviseur de $a$« ).
Cette relation, appelée relation de divisibilité, que l’on note $a|b$, est réflexive et transitive.
Elle n’est pas antisymétrique si l’anneau contient des éléments inversibles autres que l’élément neutre.
Ce n’est donc pas une relation d’ordre mais c’est une relation d’ordre sur l’anneau quotient des classes d’équivalence, construit à l’aide de la relation
$xℛy\Rightarrow \text{x et y sont deux éléments associés}$.
Dans l’anneau quotient ainsi défini, il n’y a que la classe de l’élément neutre qui est inversible. Les autres sont tous non inversibles et on les répartit en deux sous-ensembles : l’ensemble de ceux qui peuvent s’écrire comme un produit de deux facteurs
non inversibles et les autres. Mais si on considère l’anneau lui-même, on introduit les définitions suivantes.
Elément irréductible, élément premier
Soit $p$ un élément d’un anneau intègre.
(1)– $p$ est dit irréductible s’il n’est ni inversible, ni
produit de deux éléments non inversibles
(2)–L’élément $p$ est dit premier s’il n’est ni nul, ni inversible et si, pour tout produit $ab$ divisible par $p$, l’un au moins des deux facteurs $a$ ou $b$ est divisible par $p$.
On verra plus loin les propriétés suivantes.
(i)–Tout élément associé à un élément irréductible est également irréductible.
(ii)–Dans un anneau intègre (par exemple $\mathbb{Z}$), tout élément premier est irréductible et ne possède donc aucun diviseur propre.
(iii)–Dans un « anneau factoriel » (comme l’anneau des entiers $\mathbb{Z}$
ou l’anneau des polynômes $𝕂[X]$ où $𝕂$ est un corps), un élément est premier $ssi$ il est irréductible.
Preuve de (i) Soit $y$ associé à un élément irréductible $x$. On a $y=ux$ avec $u$ inversible. $y$ est donc non inversible sinon $u=x^{-1}y$ serait inversible d’inverse $y^{-1}x$. Si $y=ab$, on a $ab=xu$. Par suite $a$ ou bien $b$ est inversible sinon l’irréductible $x=ab{u}^{-1}$ serait inversible.
Preuve de (ii) Supposons $p$ premier dans $𝔸$ (d’élément unité $e$) et $x$ diviseur propre de $p$. On a alors $p=xy$, $x$ non inversible, $yA.xy$ est donc multiple de $p$, donc $x\in (p)$ ou $y\in (p$). Si $y\in (p)$, alors $y=zp$, donc $p=xzp$,
ce qui implique $p(e-xz)=0$; $A$ étant intègre, $xz=e$, donc $x$ est inversible d’inverse $z$. Ce qui est contradictoire puisque $x$ est un diviseur propre. Si $x\in (p)$, on a $x=zp$, on obtient cette fois $yz=e$, donc $y$ inversible d’inverse $z$, d’où $x=zp$ avec $z$ inversible : diviseur impropre, ce qui est encore contradictoire.
Eléments premiers entre eux
Soient $𝔸$ un anneau commutatif intègre et $a,b\in 𝔸$.
On dit que $a$ et $b$ sont “premiers entre eux »
ou sans facteur commun, si tout diviseur commun à $a$ et $b$ est un élément
inversible.
Plus Grand Commun Diviseur (pgcd)
Soient $a$ et $b$ deux éléments non nuls de $A$. On dit que $d$ est un Plus Grand Commun Diviseur
(pgcd) de $a$ et $b$ si les 3 propriétés suivantes sont vérifiées :
(1)–$d$ est un diviseur de $a$
(2)–$d$ est un diviseur de $b$
(3)–tout diviseur commun à $a$ et $b$ est aussi diviseur de $d$.
On note $d=a\wedge b$.
Identité de Bezout Soient $a$ et $b$ deux éléments de $𝔸$. L’équation $ax+by=1$ admet des solutions $(x,y)$ dans $𝔸$ si, et seulement si, $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Conséquence de l’Identité de Bezout Soient $a$ et $b$ deux éléments de $𝔸$. L’équation $ax+by=c$ admet des solutions $(x,y)$ dans $𝔸$ si, et seulement si, $c$ est un multiple de $d=a\wedge b$.
Les deux problèmes importants qui se posent dans un anneau sont la divisibilité et la décomposition en produit de facteurs premiers. Si l’anneau $\mathbb{Z}(i)$ des entiers de Gauss se comporte bien comparativement aux propriétés de $\mathbb{Z}$, il n’en est généralement pas de même de $\mathbb{Z}(u)$ pour tout nombre algébrique $u$, par exemple $u=\sqrt{5}$.
Dans $\mathbb{Z}$ qui est inclus dans $\mathbb{Z}(u)$, on a $6=2.3$ et cette décomposition en facteurs premiers, donc irréductibles, est unique (à l’ordre près). Or, dans l’anneau $\mathbb{Z}(i\sqrt{5})$, $6=(1+i\sqrt{5})(1-i\sqrt{5})$. Ainsi, dans cet anneau de nombres complexes, $6$ possède au moins deux décompositions en facteurs premiers.
De même, le lemme de Gauss, bien connu dans $\mathbb{Z}$, n’est plus vérifié dans l’anneau $\mathbb{Z}(i\sqrt{5})$. En effet, dans $\mathbb{Z}$, si $k$ divise le produit $ab$ et si $k$ est premier avec $a$, alors $k$ divise $b$. Mais dans l’anneau $\mathbb{Z}(i\sqrt{5})$, on peut écrire $3^2=(2+i\sqrt{5})(2-i\sqrt{5})$ et cela prouve que $3$ divise le produit $(2+i\sqrt{5})(2-i\sqrt{5})$ mais $3$ ne divise aucun des deux facteurs $(2+i\sqrt{5})$ et $(2-i\sqrt{5})$.
$p$ est irréductible si, et seulement si,
$p$ est non inversible et $p=xy$ implique $x$ est inversible ou bien $y$ est inversible sans que les deux soient inversibles simultanément. Sinon $p$ serait inversible d’inverse $y^{-1}{x}^{-1}$, ce qui serait contradictoire.
Division euclidienne Soient $(a,b)\in 𝔸\times {𝔸}^{\ast }$. S’il existe un couple unique $(q,r)\in 𝔸\times 𝔸$ tel que

$$a=qb+r+\text{ condition sur }r$$

cette relation est appelée division euclidienne de $a$ par $b$. A titre d’exemple, la division euclidienne est définie
pour tout $(a,b)\in 𝔸\times {𝔸}^{\ast }$ si $𝔸=\mathbb{Z}$ et dans ce cas la condition sur $r$ est . De même, la division est définie pour tout couple si $𝔸=𝕂[X]$ et dans ce cas la condition sur $r$ est « degré de $r$ strictement inférieur à degré de $b$« . La division euclidienne joue un rôle fondamental sur les anneaux donnés en exemple ci-dessus qui seront dits anneaux euclidiens et dans lesquels deux propriétés importantes de l’arhitmétiques sont vérifiées : la factorisation première et l’identité de Bezout.