Section3 Anneaux particuliers

L’ensemble $(𝕂,+,\ast )$ est appelée corps
relativement aux deux lois + et $\ast$ si $(𝕂,+)$ est un groupe commutatif non réduit à $0$, $({𝕂}^{\ast },\ast )$
est un groupe commutatif et si la loi $\ast$ est distributive
par rapport à la loi $+$.
Un corps est donc un anneau unitaire non nul, commutatif dans lequel tout élément non nul admet un inverse.
Un corps est un anneau intègre. Les ensembles $(\mathbb{Q},+,\ast )$,$(ℝ,+,\ast )$ et $(ℂ,+,\ast )$ sont des corps.
Sous-corps Soit $ℍ$ un sous-ensemble d’un corps $𝕂$ stable par addition et multiplication.
On dit que $ℍ$ est un sous-corps de $𝕂$ si $ℍ$ contient l’élément neutre $1_{𝕂}$ de
$𝕂$ et si $ℍ$ est un corps pour les lois de $𝕂$.
Caractéristique d’un corps S’il existe un entier naturel $p$ tel que $n{1}_{𝕂}=1_{𝕂}+\mathrm{\dots }+1_{𝕂}=0$,
on appelle caractéristique du corps $𝕂$ le plus petit entier positif non nul vérifiant cette propriété.
Si $p$ n’existe pas on dit que $𝕂$ est de caractéristique 0.
Si la caractéristique $p$ est non nulle, c’est nécessairement un nombre premier
(sinon on aurait des diviseurs de 0, or un corps est intègre).
Soit $𝕂$ un corps fini. Alors il existe un nombre premier $p$ et un entier $n>0$ tel que card($𝕂)=p{}^n$ (considérer $𝕂$ comme un espace vectoriel sur son corps premier).
Réciproquement, pour tout nombre premier $p$ et tout entier $n>0$ il existe un corps à $q=p^n$ éléments,
unique à un isomorphisme près, noté $F_q$.
Nous donnons quelques propriétés des corps ci-dessous et certains points seront détaillés plus loin.

1. 1.

   Un corps est intègre et donc n’a pas de diviseur de zéro.

2. 2.

   Tout anneau fini intègre est un corps.
   En effet, pour $a\ne 0$, l’application $x\to ax$ est injective.

3. 3.

   Un corps est dit premier s’il n’a pas de sous-corps autre que lui-même.

4. 4.

   Tout corps premier est isomorphe à $\mathbb{Q}$ s’il est infini et à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ pour un certain nombre premier $p$ s’il est fini.

5. 5.

   Les corps $ℝ$ et $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sont respectivement de caractéristiques 0 et $p$.

6. 6.

   Tout corps $𝕂$ contient un corps premier qui est le plus petit de ses sous-corps et que l’on appelle corps premier de $𝕂$. Un tel corps
   contient nécessairement $1_{𝕂}$ et donc $1_{𝕂}\mathbb{Z}$.

7. 7.

   Un corps fini est nécessairement commutatif et le nombre de ses éléments est toujours une puissance d’un nombre premier.

8. 8.

   Le plus petit corps fini est celui des booléens (table d’addition : « ou » et table de multiplication « et »).

9. 9.

   Les résultats ci-dessus restent valables si l’on remplace le corps par un anneau commutatif et intègre.

10. 10.

    Théorème de Wedderburn La commutativité est une conséquence des
    axiomes de la structure de corps fini.

Preuve (1) Comme $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un groupe fini d’ordre $n$, l’ordre $d$ de chacun de ses éléments est un diviseur de $n$ et il y
a exactement $\phi (d)$ éléments d’ordre $d$ car ils engendrent l’unique sous-groupe
cyclique d’ordre $d$ de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
(2) Posons $n=q-1$, soit $d$ un diviseur de $n$.
S’il existe $x\in {𝔽}_q^{\ast }$ d’ordre $d$, on considère le sous-groupe de
${𝔽}_q^{\ast }$. On a $|ℍ|=d$ et pour tout $y\in ℍ$, on a $y^d=1$. De plus, le polynôme $y^d-1$ a au
plus $d$ racines dans ${𝔽}_q^{\ast }$ donc tout élément d’ordre $d$ de ${𝔽}_q^{\ast }$ est dans $ℍ$.
Par conséquent, le nombre $N(d)$ d’éléments d’ordre $d$ de ${𝔽}_q^{\ast }$ vaut $0$ ou $\phi (d)$
(nombre de générateurs de $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$). Donc on a $N(d)\le \phi (d)$. Or tout élément de ${𝔽}_q^{\ast }$ a
pour ordre un diviseur de $n$ donc

$$n=|{𝔽}_q^{\ast }|=\sum _{d|n}N(d).$$

D’après (1), on obtient $N(d)=\phi (d)$ pour tout $d$, d’où $N(n)=\phi (n)>0$.
Donc ${𝔽}_q^{\ast }$ contient un élément d’ordre $n$ qui est donc cyclique.

Anneau euclidien
Un anneau $𝔸$ commutatif et intègre est dit euclidien s’il est possible d’y définir une division euclidienne valable pour tout couple $(a,b)\in 𝔸\times {𝔸}^{\ast }$.
L’anneau euclidien le plus classique est celui des entiers relatifs, mais on trouve aussi celui des entiers de Gauss ou certains autres anneaux d’entiers quadratiques. L’anneau des polynômes $𝕂[X]$ à coefficients dans
un corps $𝕂$ commutatif ($\mathbb{Q},ℝ,ℂ$) est aussi euclidien et donne ainsi naissance à une arithmétique des polynômes. On peut généraliser les notions de divisions euclidiennes classiques sur $\mathbb{Z}$ et sur $𝕂[X]$ comme suit. Soit $𝔸$ un anneau commutatif intègre. On dit que $𝔸$ est euclidien s’il existe une application

$$\nu :𝔸\mapsto \mathbb{N}$$

vérifiant la propriété suivante.

Dans ce cas, $𝔸$ est un anneau euclidien. Pour l’anneau $\mathbb{Z}$, la division euclidienne usuelle est définie par l’application $\nu (k)=|k|$.
Pour l’anneau $𝕂[X]$, la division euclidienne usuelle est définie par $\nu (P)=\mathrm{d}eg(P)$.
Anneau à pgcd Soient $a$ et $b$ deux éléments non nuls de $𝔸$.
L’existence d’un maximum pour l’ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$, qui est acquise dans l’ensemble
des entiers relatifs, n’est pas une propriété générale à tout anneau, ainsi dans l’anneau
$\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$, les éléments $a=6$ et $b=4+2i\sqrt{5}$ ne possèdent pas de pgcd.
Un anneau à pgcd est un anneau dans lequel deux éléments quelconques non nuls admettent un pgcd.
Anneau factoriel et factorisation première
Soit $a$ un élément non nul et non inversible d’un anneau $𝔸$. On dit que $a$ admet une factorisation première si $a$ s’écrit comme le produit
d’un nombre fini d’élément $p_1,\mathrm{\dots },p_n$ irréductibles de $𝔸$. Cette factorisation est
unique à l’ordre des facteurs près et à une suite d’éléments inversibles près.
Un anneau $𝔸$ commutatif et intègre est dit factoriel si tout élément non nul et non inversible de $𝔸$ admet une factorisation première unique. L’anneau vérifie les deux conditions suivantes.
(1)–Tout élément de l’anneau admet une décomposition en facteurs irréductibles.
(2)–Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

Preuve Soit $p$ irréductible dans l’anneau factoriel $𝔸$ et supposons que $p$ divise le produit $xy$. On a alors $xy=pq$, $q\in 𝔸$. Soient $x=\prod x_i$ et $y=\prod y_j$ les décompositions uniques de $x$ et $y$ en produit de facteurs irréductibles dans $𝔸$. Alors, on a

$$xy=\prod _{i\in I}{x}_i\prod _{j\in J}{y}_j=pq$$

Comme $p$ divise $xy$, il est donc de la forme ${\prod }_{i\in I_1\subset I}{x}_i{\prod }_{j\in J_1\subset J}{y}_j^{\prime }$. Comme il est irréductible, il n’est pas inversible et il est donc égal soit à l’un des $x_i$ soit à l’un des $y_j$. Donc $p$ divise $x$ ou $y$ ou $x$ et $y$. Donc $p$ est premier.
Le lemme d’Euclide est vérifié dans un anneau factoriel. On peut définir dans un tel anneau un plus grand commun diviseur pgcd et un plus petit commun multiple
ppcm.
Anneau bézoutien et identité de Bezout
C’est un anneau intègre dans lequel la propriété suivante est vérifiée (Identité de Bézout).
Soient $a$ et $b$ deux éléments de $𝔸$. L’équation

$$ax+by=1$$

admet des solutions $(x,y)$ dans $𝔸$ si et seulement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Ainsi, dans un anneau bézoutien l’équation linéaire :

$$ax+by=\text{pgcd}(a,b)$$

où les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs et $a$, $b$ des coefficients entiers relatifs et $pgcd(a,b)$ désigne le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$, dont on suppose l’existence, admet toujours des solutions.
Idéal d’un anneau
Dans un anneau commutatif $𝔸$, un idéal $J$ est un sous-groupe additif de $𝔸$ tel que

$$\forall \alpha \in J,\forall x\in 𝔸,\text{ on a }\alpha x\in J.$$

On peut aussi dire que $J$ est un sous-groupe additif de $𝔸$ stable pour la multiplication par $𝔸$. Soit

$$\forall \alpha \in J,\alpha 𝔸\subset J.$$

Soit $f:𝔸\to 𝔹$ un morphisme d’anneaux .
(1)–Le noyau $Kerf$ est un idéal de $𝔸$.
(2)–L’image inverse $f^{-1}(J)$ de tout idéal $J$ de $𝔹$ est un
idéal de $𝔸$.
(3)–L’image $f(I)$ d’un idéal $J$ de $𝔹$ n’est en général pas un idéal de $𝔹$.
(4)–Le noyau d’un morphisme de $\mathbb{Z}$ est de la forme $p\mathbb{Z}$ avec $p\in \mathbb{N}$
puisque c’est un idéal de $\mathbb{Z}$.
Exemples Dans $\mathbb{Z}$, l’ensemble des nombres pairs, noté $2\mathbb{Z}$, est un idéal.
Les seuls sous-groupe de $\mathbb{Z}$ sont les multiples d’un entier naturel $n\in \mathbb{Z}$ et on les note
$n\mathbb{Z}$. Un tel ensemble est un idéal de $\mathbb{Z}$. Donc les seuls idéaux de $\mathbb{Z}$ sont les ensemble
$n\mathbb{Z}$.
L’ensemble $J$ des multiples d’un polynôme $P\in ℝ[X]$ est un idéal de $ℝ[x]$ :

$$Q\in J\iff \exists R\in ℝ[X]\text{tel que}Q=PR.$$

Idéal propre Dans un anneau $𝔸$, les ensembles $\{0\}$ et $𝔸$ sont des idéaux de $𝔸$
appelés idéaux triviaux. On appelle idéal propre un idéal différent de $𝔸$. Un idéal est propre si, et seulement si, il ne contient pas l’élément neutre $1$.
Idéal principal Un idéal $I$ d’un anneau $𝔸$ est dit principal s’il existe un élément $a$ de $I$ tel que $I=a𝔸$. On le note souvent $(a)$.
Somme d’idéaux
Comme pour un sous-espace vectoriel, on définit la somme $I+J$ de deux idéaux $I$ et $J$ d’un anneau commutatif $𝔸$ comme étant l’ensemble des éléments $z$ de $𝔸$ s’écrivant $x+y$ où $x$ est élément de $I$ et $y$ élément de $J$.
La somme $I+J$ de deux idéaux $I$ et $J$ d’un anneau commutatif $𝔸$ est un idéal de $𝔸$.
La somme de deux idéaux contient leur intersection et leur réunion. L’intersection de deux idéaux est un idéal par contre la réunion de deux idéaux n’est pas toujours un idéal.
On a la chaîne d’inclusion suivante

$$IJ\subset I\cap J\subset I\cup J\subset I+J.$$

Idéal engendré par une partie d’un anneau
Soit $X$ une partie d’un anneau commutatif $𝔸$. On appelle idéal engendré par $X$ l’intersection de tous les idéaux de $𝔸$
contenant $X$ : c’est donc le plus petit idéal (au sens de l’inclusion) de $𝔸$ contenant $X$.
Si $(I_k)$ est une famille d’idéaux de $𝔸$, l’idéal engendré par ${\cup }_k{I}_k$
est constitué des sommes finies

$$\sum _k{x}_k\text{ avec }{x}_k\in I_k$$

et il est appelé somme des idéaux $I_k$.
Idéal engendré par une famille finie
Soit $𝔸$ un anneau commutatif et $b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_n$ une famille finie d’éléments de $𝔸$. Alors l’ensemble des combinaisons finies du type

$$\{a_1{b}_1+a_2{b}_2+\mathrm{\dots }+a_n{b}_n,a_i\in 𝔸\}$$

est un idéal de $𝔸$, appelé idéal engendré par $b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_n$. Il est généralement noté $(b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_n)$ s’il n’y a pas d’ambiguïté.
Idéal de type fini
C’est un idéal de $𝔸$ pouvant être engendré par une famille finie. Il est alors somme d’idéaux principaux et admet comme système générateur un système fini $(b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_n)$.
Idéal irréductible
Dans un anneau $𝔸$, l’intersection de deux idéaux est un idéal et donc toute intersection d’idéaux de $𝔸$ est un idéal de $𝔸$.
Un idéal est dit irréductible s’il ne peut s’écrire comme intersection de deux idéaux de $𝔸$.
Idéal produit
On appelle produit $IJ$ de deux idéaux $I$ et $J$ l’idéal engendré par les produits $x.y$ avec $x\in I$ et $y\in J$ : c’est l’ensemble des sommes finies

$$\sum _n{x}_k{y}_k{x}_k\in I\mathrm{e}t{y}_k\in J.$$

On a donc

$$IJ=\{\sum _1^n{x}_k{y}_k{x}_k\in I\mathrm{e}t{y}_k\in J,n\in \mathbb{N}\}.$$

Le produit $IJ$ ainsi défini est un idéal de $𝔸$ et cette définition se généralise immédiatement au produit d’un nombre fini d’idéaux.
Exemples dans $\mathbb{Z}$ L’idéal défini par $18Z+24Z,2Z+3Z$ est engendré par le pgcd
de $18,24,2,3=1$. C’est donc $1\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$.
Plus généralement, l’idéal engendré par toute famille de nombres ayant pour pgcd 1 est égal à $\mathbb{Z}$.
Un idéal engendré par un nombre premier est irréductible. Un idéal engendré par le produit d’entiers $nm$ est contenu dans l’idéal engendré par $n$ et dans celui engendré par $m$. On a $(mn)=(m)\cap (n)$. Il n’est donc pas irréductible.
Idéal maximal
Un idéal $I$ d’un anneau commutatif $𝔸$ est dit maximal si aucun autre idéal $J$ ne peut le contenir en dehors des deux idéaux $I$ et $𝔸$.

$$I:\text{maximal}\iff I\subset J\Rightarrow J=I\text{ou}J=𝔸.$$

L’existence d’idéaux maximaux est assurée par le théorème de Krull.

Preuve Il est clair que $(3)\Rightarrow (2)\iff (1)$.
Réciproquement, si $(a)=(b)$,
il existe $\alpha ,\beta \in A$ tels que $b=\alpha a$ et $a=\beta b$. Alors,
$b=\alpha \beta b$ et comme $A$ est
intègre il vient $\alpha \beta =1$. Donc $\alpha$ et $\beta$ sont inversibles.
Par exemple, dans l’anneau commutatif $ℂ[X,Y]$ des polynômes à deux indéterminées
et à coefficients complexes, l’ensemble des polynômes ayant un terme constant nul, noté $[X,Y]$, car engendré par ces deux
variables, est un idéal de $ℂ[X,Y]$, mais il n’est pas principal : si $P$ engendrait $[X,Y]$, $X$ et $Y$ seraient divisibles par $P$,
ce qui est impossible, sauf si $P$ est un polynôme constant non-nul, ce qui est contradictoire.
Exemples d’idéaux principaux
1) Le cas le plus évident d’idéal principal est représenté par les idéaux $n\mathbb{Z}$, multiples de $n$ dans $\mathbb{Z}$, seuls idéaux de $\mathbb{Z}$.
2) L’idéal engendré dans $\mathbb{Z}$ par $18$ et $24$, que l’on pourrait noter $18\mathbb{Z}+24\mathbb{Z}=6\mathbb{Z}$, peut s’écrire $(18)+(24)=(6).$ C’est l’ensemble $\{18a+24b,(a,b){\mathbb{Z}}^2\}$.
3) Soient $a$ et $b$ deux éléments d’un anneau $𝔸$ et $(a)$ et $(b)$ les idéaux principaux qu’ils engendrent. Alors on a les équivalences :
$a$ divise $b$ $\iff (b)\subset (a)$ et $a$ et $b$ sont associés $\iff (b)=(a)$
4) Dans l’anneau $𝕂[x,y]$ des polynômes de deux variables $x$ et $y$ à coefficients dans le corps $𝕂$, considérons l’idéal $J$ des polynômes engendré par $x$ et $y$. Par définition, ses éléments sont de la forme $x.a(x,y)+y.b(x,y)$. Il ne peut être engendré par un seul polynôme $p$ de $𝕂[x,y]$ car $x$, en particulier, devrait en être un multiple !
Anneau quasi-principal, Anneau principal
Un anneau est dit quasi-principal si tous ses idéaux sont principaux, et il est dit principal s’il est en plus intègre.
L’anneau $𝕂[X]$ des polynômes sur un corps $𝕂$ est un exemple d’anneau principal.

(1) Soit $𝔸$ cet anneau. Il faut montrer que $𝔸$ vérifie la condition de chaîne ascendante. $(I_n)$ désignant une chaîne ascendante d’idéaux de $𝔸$, notons $U$ la réunion des $I_n$. $U$ est un idéal de $𝔸$ (anneau noethérien).
En tant qu’idéal d’un anneau principal, $U$ est principal. Il existe donc $u\in 𝔸$ tel que $U=(u)$.
Mais il existe $k\in \mathbb{N}$ tel que $u\in I_k$. Par suite $I_k=(u)$ : c’est dire que
$U=I_k$ et la suite $(I_n)$ est stationnaire dès le rang $n=k$.
(2) Soit $𝔸$ un anneau principal et $p\in {𝔸}^{\ast }$ un élément non irréductible et non inversible. L’élément $p$ admet alors au moins un diviseur propre (ni une unité, ni un associé) : $p=xy$ avec $x$ et $y$ non inversibles.
Supposons l’un des facteurs $x$ et $y$ non irréductible
(produit fini d’irréductibles), soit, par exemple, $x$ ce facteur.
Alors $x$ s’écrit $x_1{y}_1$ avec $x_1$ et $y_1$ non inversibles. Si le processus de
décomposition ne s’arrête pas, c’est à dire si l’on ne rencontre pas un diviseur irréductible de $p$
on obtient $x$ divise $p$, donc $(p)\subset (x)$, puis $x_1$ divise $x$,
donc $(x)\subset (x_1)$, puis $(x_1)\subset (x_2)\subset (x3),\mathrm{\dots }$
On construit ainsi une suite infinie d’idéaux emboîtés principaux de $𝔸$. Mais $𝔸$ est
noethérien (proposition 6); c’est dire qu’il vérifie la condition de chaîne ascendante. On arrive à une contradiction et donc $x$ est irréductible ou produits d’irréductibles et le
même raisonnement conduirait à la même conclusion pour $y$.

Preuve de (1) Soient $a,b\in 𝔸$ tels que $p=ab$. Comme (p) est premier,
ceci entraîne, disons, que $a\in (p)$, d’où $a=p\alpha$ , avec $\alpha \in 𝔸$.
Alors $p=p\alpha b$,
et comme $𝔸$ est intègre il vient $\alpha b=1$. Donc $b$ est inversible. Ceci montre
que $p$ est irréductible.
Preuve de (2) Par hypothèse, $𝔸$ est intègre. Comme tout idéal de $𝔸$
est engendré par un élément, $𝔸$ est noethérien. En particulier, il vérifie la
condition (E), d’après le théorème 4.5.3.
Soit $p$ un élément irréductible de $𝔸$. D’après la proposition 4.5.2, l’idéal
$(p)$ est maximal parmi les idéaux principaux de $𝔸$. Comme $𝔸$ est principal,
ceci entraîne que $(p)$ est maximal, donc a fortiori premier. D’après la
proposition 5.3.2, ceci montre que $𝔸$ est factoriel.
Enfin, soit $(a)$ un idéal premier non nul de $𝔸$. D’après ce qui précède,
$a$ est irréductible. Dans ce cas $(a)$ est un idéal
maximal.
Un anneau euclidien est toujours principal et à pgcd. Tout anneau principal est un anneau bézoutien et
factoriel. Tout anneau à pgcd est bézoutien.
On retrouve pratiquement tous les résultats de l’arithmétique élémentaire dans les anneaux euclidiens.

A titre d’exemple, dans les anneaux $\mathbb{Z}$, et $𝕂[X]$ il n’y a pas de distinction
entre élément irréductible et élément premier, les deux lemmes sont valables,
les éléments inversible de $\mathbb{Z}$ sont $\pm 1$ et ceux de $𝕂[X]$ sont les éléments non nul de $𝕂$. Un anneau euclidien est un anneau factoriel.
Preuve de (1) et (2) On va donner une démonstration fondée sur la division euclidienne pour le « Lemme d’Euclide et le Lemme de Gauss.

1. 1.

   Démonstration générale dans un anneau intègre à pgcd.
   Soient $p$, $a$ tels que $p\wedge a=1$. Comme $p|pb$, alors si $p|ab$, il divise aussi $pb\wedge ab$
   $=(p\wedge a)b=b$.

2. 2.

   Démonstration sur $\mathbb{Z}$ utilisant le théorème de Bézout et valable sur un anneau de Bézout.
   Considérons les divisions de $a$ et $b$ par $p$.

   On obtient par multiplication $ab=Kp+a^{\prime }{b}^{\prime }$.
   Donc si $p|ab$, il divise aussi $a^{\prime }{b}^{\prime }$. Comme il est premier, il ne peut diviser ni $a^{\prime }$ ni $b^{\prime }$ sauf si
   $a^{\prime }=0$ ou $b^{\prime }=0$.

Preuve de (3) Lorsque $x$ décrit l’anneau euclidien $𝔸$ privé de $0_A$, l’ensemble des $f(x)$, sous-ensemble de $\mathbb{N}$, admet un minimum non nul $m$. Soit alors $\alpha A$, tel que $f(\alpha )=m$, $\alpha$ est non nul. Avec les notations ci-dessus, en appliquant la division euclidienne à $a=b=\alpha$ il existe $q$ et $r$ tels que $\alpha =\alpha q+r$ avec . Donc $r=0$ puisque $f(\alpha )$ est minimal. On a donc $\alpha =\alpha q$ et pour tout $x\in A$, $\alpha x=\alpha qx$, ce qui peut s’écrire $\alpha (x-qx)=0$. $A$ étant intègre et $\alpha$ non nul, $x=qx$ : l’élément $q$ est neutre à gauche mais $𝔸$ est commutatif, donc $q$ est l’élément unité de $𝔸$.

Preuve Soit $I$ un idéal non nul de $𝔸$. Alors l’ensemble

$$\{\nu (P)\text{ tel que }P\in I^{\ast }\}$$

est un sous-ensemble non vide de $\mathbb{N}$. Il admet donc un plus
petit élément $d$. Soit $P_0\in I$ tel que $\nu (P_0)=d$.
Comme $𝔸$ est euclidien, pour tout $P\in I$, il existe $Q,R\in 𝔸$ tels que

Si $R\ne 0$, alors $R=P-P_{0}Q$ appartient à $I$ ce qui est exclu puisque . On a donc $R=0$ et $P=P_{0}Q$.
Ceci montre que $I$ est engendré par $P_0$.
L’anneau $\mathbb{Z}$ est principal. Tout idéal $I\ne 0$ de $\mathbb{Z}$ est égal à $(n)=n\mathbb{Z}$, où $n$ est le
plus petit élément strictement positif de $I$.
Anneau local C’est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal. Le quotient
d’un anneau local $𝔸$ par son unique idéal maximal s’appelle le corps résiduel de $𝔸$.

Preuve
1. Comme dans tout anneau (commutatif unitaire), un élément inversible ne peut appartenir à un idéal maximal. En effet, un idéal $I$ qui contient un élément $x\in {𝔸}^{\ast }$ contient aussi tout l’idéal engendré par $x$. Mais si $x$ est inversible, $I$ contient $x.x^{-1}=1$ et donc $𝔸$ tout entier. Donc $I=𝔸$ ne peut être maximal par défnition.
Inversement, si $x$ est un élément non inversible, alors $(x)\ne 𝔸$ et donc $(x)$ est un idéal
propre. Par conséquent $(x)$ est contenu dans un idéal maximal. Comme il n’y a qu’un seul idéal maximal $(M)$, on a $(x)\subset M$. et donc $x\in M$.
Donc l’unique idéal maximal est constitué par l’ensemble des éléments non
inversibles de $𝔸$.
Supposons que $𝔸$ soit un anneau local et soit $M$ son idéal maximal. Si $x$ est un élément non inversible de $𝔸$,
$1-x\notin M$ puisque $1\notin M$. Donc $1-x$ est inversible.
Inversement, supposons que pour tout élément $x$ non inversible, $1-x$ soit inversible. D’après le théorème de Krull, il existe au moins un idéal maximal $M$.
Supposons qu’il existe un second idéal maximal $M_1$, distinct de $M$. Alors $M+M_1$ est un
idéal de $𝔸$ strictement plus grand que $M$, et donc égal à $𝔸$. Ainsi, $1=m+m_1$, avec
$m\in M$ et $m_1\in M_1$. Puisque $M$ est maximal, $m$ n’est pas inversible. Mais par hypothèse,
ceci impose que $1-m=m_1$ est inversible. On a donc $(m_1)=𝔸$, ce qui contredit le fait que
$(m_1)$ est un idéal maximal de $𝔸$. Par conséquent, $𝔸$ possède un unique idéal maximal et il est donc local.
(2)–Soit $𝔸$ est un anneau local. Puisque l’ensemble des éléments non inversibles est un idéal,
la somme de deux éléments non inversibles est encore non inversible.
Réciproquement, supposons que la somme de deux éléments non inversibles soit toujours
non inversible. Montrons que pour tout élément $x$ non inversible, $1-x$ est
inversible et donc, d’après la question précédente, $𝔸$ est local.
(3)–Soit $x$ un élément non inversible. Sous cette hypothèse, si $1-x$ est non inversible, alors $x+(1-x)=1$
est aussi non inversible. Ceci est absurde et donc $1-x$ est inversible.
Morphisme d’anneaux unitaires, autres propriétés
Lorsqu’on considère des anneaux unitaires, on impose à tout morphisme d’anneaux de transformer l’unité de l’anneau de départ en l’unité de l’anneau d’arrivée. On doit donc avoir $\varphi (1_A)=1_B$. Un morphisme d’anneaux ne peut donc pas être nul.

Preuve
(1)–Soit $I$ un idéal
de $𝔸$ et $\varphi$ un morphisme surjectif de $𝔸$ sur $𝔹$.
Pour tout $x\in I$, tout $\lambda \in 𝔹$, il existe $\mu \in 𝔹$ tel que $\lambda =\varphi (\mu )$. On a donc

$$\forall x\in 𝔸,\forall \lambda \in 𝔹,\lambda \varphi (x)=\varphi (\mu )\varphi (x)=\varphi (x\mu )\in \varphi (I).$$

(2)–Soit I un idéal de $𝔹$. Puisque $\varphi$ est en particulier un morphisme entre les groupes additifs $(𝔸,+)$ et $(𝔹,+)$, on sait que ${\varphi }^{-1}(I)$ est un sous-groupe de $𝔸$. On a

$$\forall \lambda \in 𝔸,\forall x\in {\varphi }^{-1}(I),\varphi (\lambda x)=\varphi (\lambda )\varphi (x)\in I$$

car $I$ est un idéal de $𝔹$. Donc $\lambda x\in {\varphi }^{-1}(I)$, ce qui prouve que ${\varphi }^{-1}(I)$ est un idéal de $𝔸$.
(3)–Si $I$ est premier, alors ${\varphi }^{-1}(I)$ est également premier. En effet, supposons que $xy\in {\varphi }^{-1}(I)$.
Alors $\varphi (x)\varphi (y)\in I$, et donc $\varphi (x)\in I$ ou $\varphi (y)\in I$. Et donc $x\in {\varphi }^{-1}(I)$, ou $y\in {\varphi }^{-1}(I)$.
Il reste à vérifier que ${\varphi }^{-1}(I)$ est bien un idéal propre de $𝔸$. Mais ceci est une conséquence de la propriété de morphisme : puisque $1_B\notin I$, alors $1_A\notin {\varphi }^{-1}(I)$ et donc ${\varphi }^{-1}(I)$ est propre (un idéal est propre si et seulement si il ne contient pas 1).
Enfin, si $I$ est maximal, alors $I$ est premier et donc ${\varphi }^{-1}(I)$ est un idéal premier
de $𝔸$. Il n’est pas nécessairement maximal. En effet, considérons le morphisme
inclusion $\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Q}$. Alors l’image réciproque de (0) qui est un idéal maximal de $\mathbb{Q}$, est aussi $(0)$, qui n’est pas un idéal maximal de $\mathbb{Z}$.
Anneau noethérien
Un anneau dans lequel les idéaux sont de type fini est qualifié d’anneau noethérien
Une suite emboîtée croissante d’idéaux est une suite $(I_n)$ d’idéaux telle que $I_n\subset I_{n+1}$ (chaîne ascendante). La suite est finie si elle est stationnaire à partir d’un certain rang.

Preuve
(i) Supposons $𝔸$ noethérien (idéaux de $𝔸$ de type fini). Montrons que toute chaîne ascendante $(I_n)$ d’idéaux de $𝔸$ est finie. La réunion $U$ des $I_n$ est un idéal de $𝔸$ qui est donc de type fini engendré par des éléments $b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_k$ de $𝔸$. Chacun des $b_j(j=1,2,\mathrm{\dots },k)$ est élément d’un $I_n$ (éventuellement le même). Soit $m$ le plus grand indice $n$ rencontré. La chaîne des $I_n$ étant ascendante, $I_m$ contient tous les $b_j$ et leurs combinaisons linéaires; par conséquent $I_m\supset U$. Mais $U\supset I_m$, donc $U=I_m$. La suite des $(I_n)$ est donc stationnaire à partir du rang $m$.
(ii) Supposons finie toute chaîne ascendante $(I_n)$ d’idéaux et $𝔸$ non de type fini. Un idéal $I$ de $𝔸$ n’admet aucun système générateur fini. Pour $a_1$, élément de $𝔸$, on a donc $(a_1)$ strictement inclus dans $I$; il existe donc $a_2$ dans $𝔸$ tel que $(a_1,a_2)$, idéal engendré par $a_1$ et $a_2$ soit strictement inclus dans $I$. Et ainsi de suite. On crée ainsi une chaîne d’idéaux illimitée $(a_1)$ $(a_1,a_2)$ $(a_1,a_2,a_3)$…: contradiction.
Un anneau $𝔸$ est noethérien $ssi$ toute suite emboîtée croissante d’idéaux de $𝔸$ est finie.
?????
Preuve : $U$ est un sous-groupe additif de $A$ car si $(a,b)\in U^2$, il existe $(j,k)N^2$ tel que a $I_j$ et $b\in I_k$, donc $(a,b)\in J=I_{Max(j,k)}$, idéal de $𝔸$. Par suite $a-b\in J\subset U$. D’autre part, pour tout $(a,x)\in A\times U$, il existe $j\in \mathbb{N}$ tel que $x\in I_j$, donc $ax\in I_j\subset U$.
Dans un anneaut noethérien, tout élément admet une décomposition en facteurs premiers mais l’unicité (U) n’est pas garantie.

Sur l’anneau $\mathbb{Z}$, les seuls éléments inversibles sont $\pm 1$.
L’anneau $\mathbb{Z}$ est euclidien, division euclidienne
En effet, pour tout couple $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^{\ast }\times \mathbb{Z}$,
il existe toujours un et un seul couple $(q,r)$ vérifiant :

La division euclidienne permet d’introduire la notion de congruence sur $\mathbb{Z}$.
On dit que deux entiers $a$ et $b$ sont congrus modulo $n$
s’ils admettent le même reste dans la division par $n$. Cette relation que l’on note $a\equiv b\mathrm{m}od(n)$
est une relation d’équivalence sur $\mathbb{Z}$ et on a les propriétés suivantes.

1. 1.

   $a\equiv b\mathrm{m}od(n)$ et $b\equiv c\mathrm{m}od(n)$ alors $a\equiv c\mathrm{m}od(n)$.

2. 2.

   $a\equiv b\mathrm{m}od(n)$ et $c\equiv d\mathrm{m}od(n)$ alors $ac\equiv bd\mathrm{m}od(n)$ et $a+c\equiv b+d\mathrm{m}od(n)$.

3. 3.

   $a\equiv b\mathrm{m}od(n)$ alors $a^k\equiv c^k\mathrm{m}od(n),k\in \mathbb{N}$.

4. 4.

   Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers. Si $p$ divise $q^m$ alors on a
   $p=q$.

L’anneau $\mathbb{Z}$ est à pgcd En effet, tout couple $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$
admet un pgcd qui est unique au signe près (car $-1$ est inversible),
par exemple on a pgcd$(36,27)=\pm 9$.

Cette propriété fondamentale et la division euclidienne qui garantit l’existence du pgcd permettent toutes les deux la détermination du pgcd à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
Existence du pgcd et algorithme d’Euclide On s’intéresse à la résolution de l’équation
$ax+by=d$
qui n’a pas de solution $(x,y)$ si $d$ n’est pas un multiple de $a\wedge b$.
Algorithme d’Euclide
Cet algorithme permet de déterminer $a\wedge b$ en effectuant des divisions successives.
Posons $a=r_0$ et $b=r_1$ et effectuons les divisions euclidiennes successives jusqu’à obtenir le dernier reste non nul $r_p$ :

$$r_0=q_1{r}_1+r_2,\mathrm{\dots },r_k=q_{k+1}{r}_{k+1}+r_{k+2},\mathrm{\dots },r_{p-1}=q_p{r}_p.$$

(1)– Montrons que $r_p$ divise $a$ et $b$. Comme $r_{p+1}=0$, on a $r_{p-1}=q_p{r}_p$ et donc $r_p$ divise $r_{p-1}$ et divise aussi $r_{p-2}=r_{p-1}-q_p{r}_p$. En remontant le procédé,
on voit que $r_p$ divise $a$ et $b$.
(2)– Montrons que $r_p$ est le pgcd de $a$ et $b$. En effet tout diviseur de $a$ et $b$ est aussi diviseur de $r_p$ d’après la construction de la suite $r_0,r_1,\mathrm{\dots },r_p$.
Existence du pgcd en utilisant toujours
la division euclidienne.
Tout d’abord, si $a$ est nul, $(x,y)=(0,\pm 1)$ est bien solution de l’équation.
Supposons maintenant $a$ non nul et considérons le sous-ensemble de $\mathbb{Z}$ défini par
$S=ax+by|(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2$.
On va montrer que le plus petit élément strictement positif de $S$ existe
$\forall (a,b)$ et c’est le pgcd de $a$ et $b$.
En effet $S\cap {\mathbb{N}}^{\ast }$ est non vide (il contient $|a|$). Il admet
donc un plus petit élément, soit $d_0=a{x}_0+b{y}_0$. Soit $r$ le reste de
la division euclidienne de $a$ par $d_0$. Comme $r=a-d_{0}q=a(1-x_{0}q)+b(-y_{0}q)$,
il appartient à $S$ et il est strictement inférieur à $d_0$. Il ne peut pas appartenir à
$A\cap {\mathbb{N}}^{\ast }$ et il est donc nul. Cela signifie que $d_0$ divise $a$.
Le même raisonnement montre que $d_0$ divise $b$. Finalement $d_0$ est un diviseur commun à $a$ et $b$.
Enfin, tout diviseur commun à $a$ et $b$ divise $a{x}_0+b{y}_0=d_0$. Le diviseur commun $d_0$ est
donc bien le plus grand, et il existe deux entiers
$x_0$ et $y_0$ tels que $a\wedge b=a{x}_0+b{y}_0$.
L’anneau $\mathbb{Z}$ est bézoutien : Identité de Bezout
L’identité de Bezout est vérifiée sur $\mathbb{Z}$, i.e, Deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux ssi, il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que
$ua+vb=1$. Donc $\mathbb{Z}$ est un anneau Bézoutien.
Cette propriété s’établit en partant de l’existence du pgcd sur $\mathbb{Z}$ et en prenant $d=1$ si les deux nombres
sont premiers entre eux.
On peut aussi considérer le groupe des inversibles modulo $b$, c’est-à-dire le groupe
des unités de l’anneau $\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$. En effet, en supposant que $a$ est premier avec $b$, montrer qu’il existe deux entiers $x$ et
$y$ tels que $by=1-ax\equiv 1(\mathrm{m}odb)$
revient à montrer que $a$ est inversible modulo $b$, i.e inversible dans $\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$.
On considère pour cela l’application $w:x\to ax$, de $\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$ dans lui-même.
Cette application est injective car si $ay=az$ alors $a(y-z)$ appartient à $\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$ et il est donc divisible par $b$. Comme $b$ est premier avec $a$, il divise $y-z$ (lemme de Gauss). Donc $y=z$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Comme $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un ensemble fini,
l’application $w$ est surjective. Il existe donc $x_0$ tel que $w(x_0)=1$,
i.e $a{x}_0\equiv 1(\mathrm{m}odb)$. Il existe donc $y_0$ tel que $a{x}_0=1-y_{0}b$.
L’hypothèse $d$ divise $a$ et $b$ est indispensable. S’il existe deux entiers $x$ et $y$ tels que $d=ax+by$,
on peut seulement dire que $d$ est un multiple de $a\wedge b$. Par exemple, il existe deux entiers $x$ et $y$ tels que $2x+3y=5$
(il suffit de prendre $x=1$ et $y=1$) alors que 5 n’est pas le pgcd de 2 et 3.
On pourrait démontrer l’identité de Bézout (en utilisant indirectement la division euclidienne)
et l’utiliser ensuite pour établir l’existence d’un couple d’entiers tels que $ax+by=a\wedge b$. L’algorithme
d’Euclide étendu fournit une solution $(x,y)$, mais il en existe une infinité d’autres en général.
L’anneau $\mathbb{Z}$ est factoriel, factorisation première

On a les résultats suivants.

1. 1.

   $$\forall p\in 𝒫,{\nu }_p(ab)={\nu }_p(a)+{\nu }_p(b).$$

2. 2.

   $$a|b\iff \forall p\in 𝒫,{\nu }_p(a)\le {\nu }_p(b).$$

3. 3.

   $$\mathrm{p}gcd(a,b)=\prod _{p\in 𝒫}{p}^{\min \{{\nu }_p(a),{\nu }_p(b)\}}.$$

4. 4.

   $$\mathrm{p}pcm(a,b)=\prod _{p\in 𝒫}{p}^{\max \{{\nu }_p(a),{\nu }_p(b)\}}.$$

Preuve La démonstration se fait par récurrence sur $n$ et donc le résultat reste valable dans tout anneau où il sera possible d’utiliser une récurrence.
(1)–Supposons la propriété (1) vraie pour tout entier naturel strictement inférieur à $n$. Démontrons qu’elle est alors vraie pour $n$. Si $n$ est premier, il constitue un produit de nombres premiers contenant un seul facteur. Si $n$ n’est pas premier, on a $n=n_1{n}_2$ avec et . On applique l’hypothèse de récurrence à $n_1$ et $n_2$.
(2)–Pour établir l’unicité, on va utiliser le fait que si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers et si $p$ divise $q^m$ alors $p=q$.
Supposons l’unicité vraie pour tout entier naturel strictement inférieur à $n$. Supposons l’existence de deux factorisations pour $n$ :

$$n=\prod _{p\in 𝒫}{p}^{{\nu }_p(n)}=\prod _{q\in 𝒫}{q}^{{\nu }_q(n)}.$$

Alors $p_0$ un facteur de la première il divise forcément $n$ et il est donc égal à l’un des
facteurs de la seconde soit $q_0$. Une simplification par $p_0=q_0$ nous ramène
au cas d’un nombre et l’hypothèse de récurrence termine la démonstration.
La détermination de la factorisation première d’un entier $n$
est un procédé très long si $n$ est grand.
L’ensemble des nombres premiers est infini et tout $n\ne 0$ non premier (composé) admet un diviseur premier $p$ vérifiant $p\le \sqrt{n}$.
Soit $p$ le plus petit diviseur premier de $n$ et posons $n=pk$. Soit $k$ est premier et on a $k\ge p$ et donc $n\ge p^2$, soit $k$ admet un diviseur premier $q$ qui vérifie
$q\ge p$ d’après le choix de $p$. On a alors $k\ge q\le p$ et donc $n\ge p^2$.
Théorème de Dirichlet
Soient $a$ et $b$ deux entiers premiers entre eux. Alors il existe une infinité de nombre premiers vérifiant
l’une des deux relations équivalentes :

Petit théorème de Dirichlet Il existe une infinité
de nombres premiers de la forme $an+1$.
Petit théorème de Fermat
Si $p$ est un nombre premier et $n$ un entier quelconque, alors $n^p-n$ est un multiple de $p$. Cela équivaut à dire que $n^p\equiv n(p)$.
Preuve
Démontrons tout d’abord que si $p$ est un nombre premier, alors $p$ divise l’entier :

$$C_p^k=\frac{p(p-1)\mathrm{\dots }(p-k+1)}{1.2\mathrm{\dots }k}=\frac{pN}{1.2\mathrm{\dots }k},N\in \mathbb{N},1\le k\le p.$$

En effet, si $p$ est premier, il est premier avec chacun des facteurs $2,\mathrm{\dots },k$ pour . Comme $C_p^k$ est un entier, $pN$ est divisible par le produit $2\mathrm{\dots }k$, ce produit divise $N$. Finalement $p$ divise $C_p^k$.
La démonstration du théorème découle du développant ${(n+1)}^p$, de la propriété ci-dessus et d’un raisonnement par récurrence sur $n$.
Comme conséquence directe, si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers,
alors $a^{(p-1)(q-1)}-1$ est divisible par $p$ et par $q$ et donc par $pq$.
Fonction indicatrice d’Euler
La fonction indicatrice d’Euler, notée $\phi$, est la fonction qui associe à tout entier naturel $n\ne 0$ le nombre
$\phi (n)$ égal au nombre d’entiers $k$ vérifiant $1\le k\le n$ et qui sont premiers avec $n$. Par exemple, on a $\phi (6)=1$ puisque 5 est le seul entier non nul et inférieur à $6$ qui est premier avec 6.
Théorème d’Euler, généralisation de Fermat
Pour tout entier $n>0$ et tout entier $a$ premier avec $n$, on a

$$a^{\phi (n)}\equiv 1\mathrm{m}od(n).$$

Alors pour tout entier $m$ multiple de $\phi (n)$ et tout entier $x$, on a :

$$x^{m+1}\equiv 1\mathrm{m}od(x).$$

A titre d’exemple, on a $7^4\equiv 1\mathrm{m}od(10)$.
Quelques résultats sur la divisibilité

1. 1.

   La relation de divisibilité est transitive.
   $a\equiv b(n)$ et $b\equiv c(n)$ alors $a\equiv c(n)$.

2. 2.

   Divisibilité d’un carré.

   $$a^2|b^2\Rightarrow a|b$$

3. 3.

   Si $p$ divise le produit $ab$ et si $p$ est premier, alors $p$ divise $a$ ou $b$

4. 4.

   $a\equiv b(n)$ et $c\equiv d(n)$ alors $ab\equiv cd(n)$ et $a+b\equiv c+d(n)$.

5. 5.

   $$\text{pgcd}(a,b)=\text{pgcd}(c,d)\iff [(\delta |a,\delta |b)\iff (\delta |c,\delta |d)].$$

6. 6.

   $$\text{pgcd}(a^n,b^n)={[\text{pgcd}(a,b)]}^n.$$

Une application : Codage RSA
Coder un message $x$ équivaut à produire un nouveau message $y=f(x)$ aussi différent que possible de $x$.
Le décodage consiste à trouver une fonction $g$ aussi différente que possible de $f$ telle que
$g(y)=x$. Les fonctions $f$ et $g$ sont appelées les clés du système de codage. Le théorème
d’Euler permet de développer une réponse à cette question fondée sur l’utilisation d’un
entier $n=pq$ où $p$ et $q$ sont deux nombres premiers.
Les seuls diviseurs de $n$ sont alors les multiples de $p$ ou $q$. Il y en a $p+q-1$. Le nombre
d’entiers positifs ou nul, strictement inférieurs à $n$ et qui ne divisent pas $n$ est donc
$\phi (n)=\phi (pq)=pq-1-(p+q-1)=(p-1)q-1)$.
Pour celui qui code, il peut choisir un entier $n=pq$ très grand de façon à ce que l’on ne pourra
pas déterminer facilement les facteurs $p$ et $q$; Pour celui qui cherche à décoder,
trouver la clé du codage, le problème consiste à rechercher les facteur $p$ et $q$.
Il existe plusieurs méthodes selon le nombre de chiffres (plus d’une centaine)
dans $n$, la méthode elliptique, le crible quadratique, etc …Considérons l’exemple suivant où l’on prend $n=55$.

1. 1.

   $n=pq=5.11=55$

2. 2.

   $\phi (55)=(5-1)(11-1)=40$

3. 3.

   Choisissons $k$ premier avec $n$ par exemple $k=3$

4. 4.

   La résolution de l’égalité de Bezout donne la solution particulière
   $27.3-2.40=1$. On peut donc prendre comme multiple de $\phi (n)=80$

5. 5.

   On obtient
   ${(x^3)}^{2}7\equiv x(55)$, pour et $q=27$.

6. 6.

   On a ainsi les deux fonctions $f(x)\equiv x^k(n)$ et $g(y)\equiv y^{27}(n)$.
   Par exemple si on représente le mot BONJOUR par $02-15-14-10-21-18$, on doit calculer les nombres
   ${(02)}^3,\mathrm{\dots },{(18)}^3$ modulo $55$. on obtient : $08-20-49-10-20-21-02$. Pour décoder, il faut calculer
   ${(08)}^{27},\mathrm{\dots },{(02)}^{27}$ modulo $55$. On retrouve évidemment $02-15-14-10-21-18$.

La majorité des propriétés de la division euclidienne dans l’anneau $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs se
généralisent au cas des polynômes. A titre d’exemple, deux polynômes
$(X-\lambda )$ et $(X-\alpha )$ sont premiers entre eux si et seulement si $\lambda \ne \alpha )$. On a l’égalité de Bezout,
qui s’énonce dans ce cas particulier comme suit.

$$\forall \alpha ,\beta \in 𝕂,\exists U,V\in 𝕂[X]\text{ tels que }(X-\alpha )U(X)+(X-\beta )V(X)=1.$$

Un nombre de Gauss est un nombre complexe de la forme $\alpha =x+iy$
avec $x,y\in \mathbb{Q}$, il est dit entier si $x,y\in \mathbb{Z}$. On notera l’ensemble des entiers de Gauss $\mathbb{Z}[i]$. L’ensemble des entiers de Gauss, muni de
l’addition et de la multiplication ordinaire des nombres complexes, est un anneau intègre, généralement noté $\mathbb{Z}[i]$ et dénommé anneau des entiers de Gauss. Cet anneau dispose d’une division euclidienne, ce qui permet d’y bâtir une arithmétique très analogue à celle de l’anneau $\mathbb{Z}$. On introduit sur cet anneau la norme définie par

$$N(\alpha )=x^2+y^2.$$

Comme ${|xy|}^2={|x|}^2{|y|}^2$, on obtient la propriété suivante

$$N(\alpha \beta )=N(\alpha )N(\beta ).$$

Si $a$ et $b$ sont chacun égal à une somme de deux carrées,
alors leur produit $ab$ est aussi égal à une somme de deux carrées.

Soit $x=\alpha \beta$ où $(\alpha ,\beta )\in \mathbb{Z}(i)$, et $𝒩(x)=𝒩(\alpha )𝒩(\beta )$. L’un des deux nombres
$𝒩(\alpha )$ et $𝒩(\beta )$ est égal à $𝒩(x)$, et l’autre est égal à 1, car $𝒩(x)$ est premier. Or $y$ est inversible si, et seulement si, $𝒩(y)=1$. Donc $\alpha$ ou $\beta$ est inversible. Donc $x$ est irréductible.
La réciproque est fausse : par exemple, 3 est irréductible dans $\mathbb{Z}(i)$, mais $𝒩(3)=9$ n’est pas
premier.
Exemples
On a $2=(1+i)(1-i)$ et donc 2 n’est pas premier. Par contre 3 ne peut pas s’écrire comme
produit de deux entiers de Gauss de norme inférieure à la norme de 3.