Section6 Applications linéaires, Endomorphisme, Automorphisme

0.1 Applications linéaires, Endomorphisme, Automorphisme

Une application ${f}$ d’un
espace vectoriel $\mathbb{E}$ sur un espace vectoriel $\mathbb{F}$ qui conserve
les deux lois de l’espace est une application linéaire. Cette conservation se traduit par :

	$\displaystyle{f}(x+y)={f}(x)+{f}(y)\quad\forall x,y\in\mathbb{E}$		(1)
	$\displaystyle{f}(\lambda x)=\lambda{f}(x),\quad\forall x\in E,\quad\forall% \lambda\in\mathbb{K}$		(2)

On a toujours ${f}(0_{E})=0_{F}$ et ${f}(-u)=-{f}(u)$ .

Proposition 0.1.1

Espace vectoriel des applications linéaires
L’ensemble, noté ${\cal L}(\mathbb{E},\mathbb{F})$ , des applications linéaires d’un espace
vectoriel $\mathbb{E}$ sur un espace vectoriel $\mathbb{F}$ a une structure
d’espace vectoriel sur le corps de $\mathbb{F}$ . Si $\mathbb{E}$ et $\mathbb{F}$ sont de dimensions $n$ et $m$ respectivement.
Alors on a $\mathop{\mathrm{d}im}[{\cal L}(\mathbb{E},\mathbb{F})]=nm$ .

Forme linéaire et dual algébrique d’un espace vectoriel
Une forme linéaire est une application linéaire
d’un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $\mathbb{E}$ sur le corps $\mathbb{K}$ vu comme espace vectoriel sur
lui-même. L’ensemble ${\cal L}(\mathbb{E},\mathbb{K})$ des formes linéaires est appelé dual algébrique de
l’espace vectoriel $\mathbb{E}$ .
Noyau, image et image inverse d’une application linéaire
Soit $f$ une application linéaire de $\mathbb{E}$ dans $\mathbb{F}$ .
(1)—Le sous-ensemble de $\mathbb{E}$ , appelé noyau de $f$ et noté $\ker(f)$ :

\ker{(f)}=\{x\in\mathbb{E}\quad\mbox{tel que}\quad{f}(x)=0\}\,\subset\mathbb{E}

(3)

est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{E}$ .
(2)—Le sous-ensemble $f(\mathbb{E})$ de $\mathbb{F}$ , appelé image de $f$ et noté $\mathop{\mathrm{I}m}(f)$ :

	$\displaystyle\mbox{Im}({f})$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{f(x)\quad\in\mathbb{F}\}=f(\mathbb{E})\,\subset\mathbb{F}$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\{y\in\mathbb{F}\quad\mbox{tel que}\quad\exists x\in\mathbb{E}% \mbox{ et }{f}(x)=y\}$

est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{F}$ .
(3)—L’image inverse ${{f}}^{-1}(\mathbb{G})$ d’un sous-espace vectoriel $\mathbb{G}$ de $\mathbb{F}$ est définie par

{{f}}^{-1}(\mathbb{G})=\{x\in\mathbb{E}\quad\mbox{tel que}\quad{{f}}(x)\in% \mathbb{G}\}

(4)

et c’est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{E}$ .
(4)—Les propriétés ci-dessous sont vraies pour toute fonction et en particulier pour les applications linéaires :

{\color[rgb]{1,0,0}{\mathbf{f}(\mathbb{A}\cup\mathbb{B})=f(\mathbb{A})\cup f(% \mathbb{B})}}\quad\mbox{et}\quad{\color[rgb]{1,0,0}{\mathbf{f}^{-1}(\mathbb{A}% \cup\mathbb{B})=f^{-1}(\mathbb{A})\cup f^{-1}(\mathbb{B})}}

(5)

{\color[rgb]{1,0,0}{\mathbf{f}(\mathbb{A}\cap\mathbb{B})\subset f(\mathbb{A})% \cap f(\mathbb{B})}}\quad\mbox{et}\quad{\color[rgb]{1,0,0}{\mathbf{f}^{-1}(% \mathbb{A}\cap\mathbb{B})=f^{-1}(\mathbb{A})\cap f^{-1}(\mathbb{B})}}

(6)

{\color[rgb]{1,0,0}{\mathbf{(}f+g)(\mathbb{A})\subset f(\mathbb{A})+g(\mathbb{% A})}}\quad\mbox{d'après la somme de deux fonctions}

(7)

(5)—Les propriétés ci-dessous sont vraies ou fausses et cela dépend des fonctions :

{\color[rgb]{1,0,0}{\mathbf{f}(\mathbb{A}+\mathbb{B})\subset f(\mathbb{A})+f(% \mathbb{B})}}??\quad\mbox{et}\quad{\color[rgb]{1,0,0}{\mathbf{f}^{-1}(\mathbb{% A}+\mathbb{B})\subset f^{-1}(\mathbb{B})+g^{-1}(\mathbb{B})}}??

(8)

{\color[rgb]{1,0,0}{\mathbf{(}f+g)^{-1}(\mathbb{B})\quad\mbox{et}\quad f^{-1}(% \mathbb{B})+g^{-1}(\mathbb{B})}}\quad\mbox{non comparables}

(9)

Isomorphisme C’est une application linéaire inversible d’un
espace vectoriel $\mathbb{E}$ sur un espace vectoriel $\mathbb{F}$ . L’inverse d’une telle application
est aussi une application linéaire. On dit que les deux espaces sont isomorphes et l’isomorphisme
permet de les identifier lorsqu’on n’a à considérer que des propriétés linéaires.
Endomorphisme
C’est une application linéaire d’un
espace vectoriel $\mathbb{E}$ sur lui-même. On utilise ${\cal L}(\mathbb{E})$ à la place de
${\cal L}(\mathbb{E},\mathbb{E})$ .
Automorphisme C’est un endomorphisme inversible. L’ensemble des automorphismes sur
$\mathbb{E}$ possède la structure de groupe pour la loi de composition, il est appelé
groupe linéaire de $\mathbb{E}$ et on le désigne par $GL(\mathbb{E})$ .

Proposition 0.1.2

Détermination d’une application linéaire
Soit $\mathbb{E}$ un espace vectoriel muni d’une base $(e_{\lambda})_{\lambda\in I}$ et ${f}$ une application
linéaire de $\mathbb{E}$ dans un espace vectoriel $\mathbb{F}$ quelconque. On a les propriétés suivantes

1.

L’application ${f}$ est entièrement
déterminée, et de manière unique, par la donnée des images ${f}(e_{\lambda})_{\lambda\in I}$ .
2.

${f}$ est injective ssi, elle transforme toute partie libre de $\mathbb{E}$
en une partie libre de $\mathbb{F}$ .
3.

${f}$ est surjective ssi, elle transforme toute partie génératrice de $\mathbb{E}$
en une partie génératrice de $\mathbb{F}$ .
4.

${f}$ est bijective ssi, elle transforme toute base de $\mathbb{E}$
en une base de $\mathbb{F}$ .

Proposition 0.1.3

Rang d’une application linéaire
Soit $\mathbb{E}$ un espace vectoriel de dimension $n$ , soit $B=[e_{1},\ldots,e_{n}]$ une base de
$\mathbb{E}$ et ${f}$ une application
linéaire quelconque de $\mathbb{E}$ dans un espace vectoriel $\mathbb{F}$ quelconque. Alors ${f}$ est entièrement
déterminée par la donnée des images $[{f_{1}={{f}}}(e_{1}),\ldots,f_{n}={f}(e_{n})]$ . On a les propriétés suivantes

1.

${f}$ est injective ssi, $(f_{1},\ldots,f_{n})$ est libre dans $\mathbb{F}$ .
2.

${f}$ est surjective ssi, $(f_{1},\ldots,f_{n})$ est génératrice dans $\mathbb{F}$ .
3.

${f}$ est bijective ssi, $(f_{1},\ldots,f_{n})$ est une base de $\mathbb{F}$ .
4.

$\mathop{\mathrm{I}m}({f})$ est un espace vectoriel de dimension $m\leq n$ et $m$ est appelé rang de ${f}$ .

Proposition 0.1.4

Hyperplan
C’est le noyau d’une forme linéaire non nulle. C’est donc un espace vectoriel de dimension $n-1$
dans un espace $\mathbb{E}$ supposé de dimension $n$ . On a les propriétés suivantes.

1.

Deux Hyperplans $\ker(f)$ et $\ker(g)$ de $\mathbb{E}$ sont égaux si,
et seulement si, $f$ et $g$ sont liés.
2.

L’intersection de $m$ hyperplans d’un espace vectoriel de dimension $n$ est un espace vectoriel de
dimension $\geq n-m$ . Pour $n\geq 3$ , l’intersection est non réduite à $\{0\}$ .
3.

Tout sous espace vectoriel de dimension $n-m$ est égal à
l’intersection de $m$ hyperplans de $\mathbb{E}$ .
4.

L’espace $H$ est un hyperplan de $\mathbb{E}$ ssi, l’une des deux propositions équivalentes
suivantes est vérifiée.

$\exists u\in\mathbb{E}\setminus H\mbox{ tel que }\mathbb{E}=\mbox{Vect}(u)% \oplus H\Leftrightarrow\forall u\in\mathbb{E}\setminus H,\quad\mathbb{E}=\mbox% {Vect}(u)\oplus H.$

Considérons l’application de $\mathbb{E}$ dans $\mathbb{K}^{m}$ définie par

x\rightarrow\phi(x)=(\phi_{1}(x),\ldots,\phi_{m}(x))

où $\phi_{i}$ désigne la forme linéaire ayant comme noyau $H_{i}$ .
On a

\ker(\phi)=H_{1}\cap\ldots\cap H_{m}.

Comme $n=\mathop{\mathrm{d}im}(\ker(\phi))+\mathop{\mathrm{d}im}(\mathop{\mathrm{I}m}% (\phi))$
et que $\mathop{\mathrm{d}im}(\mathop{\mathrm{I}m}(\phi))\leq m$ , on obtient
$\mathop{\mathrm{d}im}(\ker(\phi))\geq n-m$ .

0.2 Formule du rang et formule de Grassmann

Proposition 0.2.1

Équivalence entre injectivité et surjectivité
Soit $\mathbb{E}$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $\mathbb{F}$ un espace vectoriel
quelconque. Soit ${f}\in{\cal L}(\mathbb{E},\mathbb{F})$ , alors on a les propriétés
suivantes.

1.

Formule du rang

$\mathop{\mathrm{d}im}\{\mathop{\mathrm{I}m}({f})\}+\mathop{\mathrm{d}im}\{\ker% ({f})\}=n$
2.

Formule de Grassmann

$\mathop{\mathrm{d}im}\{\mathop{\mathrm{I}m}({f})+\ker({f})\}=n-\mathop{\mathrm% {d}im}\{\mathop{\mathrm{I}m}({f})\cap\ker({f})\}$
3.
Si $\mathbb{F}$ est aussi de dimension $n$ , il y a équivalence
entre les propriétés suivantes.
1. (a)
  
  ${f}$ est surjective.
2. (b)
  
  ${f}$ est bijective.
3. (c)
  
  ${f}$ est injective.
4. (d)
  
  $\ker({f})=\{0\}$ .
5. (e)
  
  $\mathop{\mathrm{I}m}{({{f}})}=\mathbb{F}$ .
6. (f)
  
  $\exists{\mbox{${\cal V}$}}\in{\cal L}(\mathbb{F},\mathbb{E})$ telle que ${f}\circ{\mbox{${\cal V}$}}=I_{d_{F}}$ .
7. (g)
  
  $\exists{\mbox{${\cal W}$}}\in{\cal L}(\mathbb{E},\mathbb{F})$ telle que ${\mbox{${\cal W}$}}\circ{f}=I_{d_{E}}$ .
8. (h)
  
  ${f}$ transforme une base en une base.
4.
1. (a)
  
  La relation ${f}\circ{\mbox{${\cal V}$}}=I_{d_{F}}$ entraine que
  ${f}$ est surjective.
2. (b)
  
  La relation ${\mbox{${\cal W}$}}\circ{f}=I_{d_{E}}$ entraine que ${f}$ est injective.
3. (c)
  
  L’application ${f}$ est bijective ssi, les deux relations ci-dessus sont vérifiées simultanément. Elles deviennent équivalentes et dans ce cas on a forcément ${\mbox{${\cal V}$}}={\mbox{${\cal W}$}}$ .

Proposition 0.2.2

Inclusion des noyaux et des images
Soient $f$ et $g$ deux éléments de ${\cal L}(\mathbb{E},\mathbb{F})$ . Alors on a toujours

		$\displaystyle(a)$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{I}m}(fg)\subset\mathop{\mathrm{I}m}(f)\quad\mbox{% en particulier}\quad\mathop{\mathrm{I}m}(f^{2})\subset\mathop{\mathrm{I}m}(f)$
		$\displaystyle(b)$	$\displaystyle\ker(g)\subset\mathop{\mathrm{I}m}(fg)\quad\mbox{en particulier}% \quad\ker(f)\subset\ker(f^{2})$

Soit $f\in{\cal L}(\mathbb{E})$ . Alors les propriétés suivantes sont toutes équivalentes.

		$\displaystyle(1)$	$\displaystyle\mathbb{E}=\mathop{\mathrm{I}m}(f)+\ker(f)$
		$\displaystyle(2)$	$\displaystyle\mathbb{E}=\mathop{\mathrm{I}m}(f)\oplus\ker(f)$
		$\displaystyle(3)$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{I}m}(f)\cap\ker(f)=\{0\}$
		$\displaystyle(4)$	$\displaystyle\ker(f)=\ker(f^{2})$
		$\displaystyle(5)$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{I}m}(f)=\mathop{\mathrm{I}m}(f^{2})$

A titre d’exemple, si $f$ est inversible, on a $\ker(f)=\{0\}$ et $f$ vérifie toutes les propriétés.
Si $f=f^{2}$ , alors $f$ n’est pas inversible mais vérifie toutes les propriétés. Soit $f\in{\cal L}(\mathbb{R}^{2})$ définie sue une base par $f(e_{1})=e_{2}$ et $f(e_{2})=0$ . Alors $f$ ne vérifie pas les équivalences. Preuve
(1) $\Rightarrow$ (2)
On applique la formule du rang
(2) $\Rightarrow$ (3)
On applique la formule de Grassmann
(3) $\Rightarrow$ (4)
Si $f(x)=0$ alors $f^{2}(x)=0$ et donc $\ker(f)\subset\ker(f^{2})$ . Démontrons l’inclusion inverse. Soit $x\in\ker(f^{2})$ . On a $f^{2}(x)=0$ et donc $f(x)\in\ker(f)$ . Ainsi $f(x)\in\ker(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(f)$ . Donc $f(x)=0$ d’après l’hypothèse. D’où $x\in\ker(f)$ .
(4) $\Rightarrow$ (5)
On applique la formule du rang à $f$ et à $f^{2}$ .
(5) $\Rightarrow$ (1)
Pour $y\in\mathbb{E}$ , posons $x=f(y)$ . par hypothèse, $x\in\mathop{\mathrm{I}m}(f^{2})$ et donc $x=f^{2}(z)$ . Par différence, on obtient $f(f(z)-y)=0$ .
Donc $f(z)-y=y_{n}\in\ker(f)$ .
Soit $y=f(z)+y_{n}$ .

Proposition 0.2.3

Application des formules du rang et de Grassmann pour deux applications
Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de ${\cal L}_{n}(\mathbb{E})$ .
(1)–On a toujours

rg(f+g)\leq\mathop{\mathrm{r}g}(f)+\mathop{\mathrm{r}g}(g)\quad\quad(A)

\mathop{\mathrm{r}g}(f)+\mathop{\mathrm{r}g}(g)\leq\mathop{\mathrm{r}g}(f\circ g% )+n\quad\quad(B)

(2)–Si $f$ et $g$ vérifient l’une des deux propriétés équivalentes

\mathbb{E}=\ker(f)+\ker(g)\mbox{ $\Leftrightarrow$ }\mathbb{E}=\mathop{\mathrm% {I}m}(f)+\mathop{\mathrm{I}m}(g)

alors ces sommes sont directes.
(3)–On a

rg(f+g)=\mathop{\mathrm{r}g}(f)+\mathop{\mathrm{r}g}(g)\Leftrightarrow\ker(f)+% \ker(g)=\mathbb{E}\quad\quad(A)

rg(f+g)=\mathop{\mathrm{r}g}(f)+\mathop{\mathrm{r}g}(g)\Rightarrow\mathop{% \mathrm{I}m}(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(g)=\{0\}\quad\quad(B)

mais la réciproque de (B) est fausse ??.
(4)–Si $f$ et $g$ vérifient $f\circ g\circ f=f$ et $g\circ f\circ g=g$ , alors on a

\mathbb{E}=\ker(f)\oplus\mathop{\mathrm{I}m}(g)=\ker(g)\oplus\mathop{\mathrm{I% }m}(f).

\mathop{\mathrm{r}g}(f)=\mathop{\mathrm{r}g}(g)=\mathop{\mathrm{r}g}(g\circ f)% =\mathop{\mathrm{r}g}(f\circ g).

Preuve de (1) (A) Comme
$(f+g)(\mathbb{E})\subset f(\mathbb{E})+g(\mathbb{E})$ , on a
$\mathop{\mathrm{I}m}(f+g)\subset\mathop{\mathrm{I}m}(f)+\mathop{\mathrm{I}m}(g)$ et donc

$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}(\mathop{\mathrm{I}m}(f+g))$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}(\mathop{\mathrm{I}m}(f)+\mathop{\mathrm{I}m% }(g))$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}(\mathop{\mathrm{I}m}(f))+\mathop{\mathrm{d}% im}(\mathop{\mathrm{I}m}(g))-\mathop{\mathrm{d}im}[\mathop{\mathrm{I}m}(f)\cap% \mathop{\mathrm{I}m}(g)]$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{r}g}(f)+\mathop{\mathrm{r}g}(g).$

Preuve de (1) (B) Le théorème du rang appliqué à la restriction $\widetilde{f}$ de $f$ à l’espace $\mathop{\mathrm{I}m}(g)$ s’écrit

\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(\widetilde{f})]+\mathop{\mathrm{r}g}[\widetilde{f}]% =\mathop{\mathrm{r}g}[g].

\ker(\widetilde{f})=\ker(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(g)\mbox{ et }\mathop{% \mathrm{I}m}(\widetilde{f})=\mathop{\mathrm{I}m}(f\circ g)

D’où

\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(g)]+\mathop{\mathrm{r}g}% (f\circ g)=\mathop{\mathrm{r}g}[g].

Comme

\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(g)]\leq\mathop{\mathrm{d% }im}[\ker(f)].

on obtient

\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)]+\mathop{\mathrm{r}g}(f\circ g)\geq\mathop{% \mathrm{r}g}[g].

On applique le théorème du rang à $f$ et on obtient

n-\mathop{\mathrm{r}g}(f)+\mathop{\mathrm{r}g}(f\circ g)\geq\mathop{\mathrm{r}% g}[g].

Preuve de (2)
On a

$\displaystyle n$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}[\mathop{\mathrm{I}m}(f)+\mathop{\mathrm{I}m% }(g)]$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}[\mathop{\mathrm{I}m}(f)]+[\mathop{\mathrm{I% }m}(g)]-\mathop{\mathrm{d}im}[\mathop{\mathrm{I}m}(f)]\cap[\mathop{\mathrm{I}m% }(g)]$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle 2n-\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)]-[\ker(g)]-\mathop{\mathrm{d}im% }[\ker(f)\cap\ker(g)]$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle 2n-n-\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)\cap\ker(g)]-\mathop{\mathrm{d% }im}[\mathop{\mathrm{I}m}(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(g)]$

Finalement, on a

\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)\cap\ker(g)]+\mathop{\mathrm{d}im}[\mathop{% \mathrm{I}m}(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(g)]=0

et les sommes sont donc directes.
Preuve de (3A) $\Rightarrow$
Partant de l’hypothèse

\ker(f)+\ker(g)=\mathbb{E}

et utilisant la formule de grassmann, on obtient

	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)]+\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(g)]$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)+\ker(g)]-\mathop{\mathrm{d}im}[\ker% (f)\cap\ker(g)]$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle n-\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)\cap\ker(g)]$

Appliquant la formule du rang à chacune des deux applications, on obtient

2n-\mathop{\mathrm{r}g}(f)-\mathop{\mathrm{r}g}(g)=n-\mathop{\mathrm{d}im}[% \ker(f)\cap\ker(g)]

Soit

$\displaystyle\mathop{\mathrm{r}g}(f)+\mathop{\mathrm{r}g}(g)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle n+\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)\cap\ker(g)]$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle n+\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f+g)]$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}[\mathop{\mathrm{I}m}(f+g)]=\mathop{\mathrm{% r}g}(f+g).$

Comme on a toujours

rg(f+g)\geq\mathop{\mathrm{r}g}(f)+\mathop{\mathrm{r}g}(g)

on obtient l’égalité.
Preuve de (3A) $\Leftarrow$
Partons de l’hypothèse

\displaystyle\mathop{\mathrm{r}g}(f+g)=\mathop{\mathrm{r}g}(f)+\mathop{\mathrm% {r}g}(g)

On a

	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)+\ker(g)]$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)]+\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(g)]-% \mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)\cap\ker(g)]$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle n+\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f+g)]-\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)% \cap\ker(g)]$

Comme

\ker(f)\cap\ker(g)\subset\ker(f+g)

On obtient

\mathop{\mathrm{d}im}\ker(f)+\ker(g)]\geq n

et donc

\ker(f)+\ker(g)=\mathbb{E}.

Preuve de (3B) $\Rightarrow$
On a toujours $\mathop{\mathrm{I}m}(f+g)\subset\mathop{\mathrm{I}m}(f)+\mathop{\mathrm{I}m}(g)$ et donc

$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}(\mathop{\mathrm{I}m}(f+g))$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}(\mathop{\mathrm{I}m}(f)+\mathop{\mathrm{I}m% }(g))$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}(\mathop{\mathrm{I}m}(f))+\mathop{\mathrm{d}% im}(\mathop{\mathrm{I}m}(g))-\mathop{\mathrm{d}im}[\mathop{\mathrm{I}m}(f)\cap% \mathop{\mathrm{I}m}(g)]$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{r}g}(f)+\mathop{\mathrm{r}g}(g)-\mathop{\mathrm{d% }im}[\mathop{\mathrm{I}m}(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(g)].$

D’où

\mathop{\mathrm{d}im}[\mathop{\mathrm{I}m}(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(g)]\leq 0% \quad\mbox{soit}\quad\mathop{\mathrm{I}m}(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(g)=\{0\}.

La réciproque est fausse. Il suffit de prendre $\mathop{\mathrm{I}m}(f)=\mathop{\mathrm{V}ect}(u)$ et
$\mathop{\mathrm{I}m}(g)=\mathop{\mathrm{V}ect}(v)$ où $u$ et $v$ sont deux vecteurs indépendants.
Preuve de (4)
Si $x\in\ker(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(g)$ , alors il existe $y$ tel que $x=g(y)$ et $f(x)=0$ . Donc
$x=g(y)=g\circ f\circ g(y)=g\circ f(x)=0$
et la somme est donc directe.
Pour $x\in\mathbb{E}$ , on a $x=x-g\circ f(x)+g\circ f(x)$ . On vérifie que
$x-g\circ f(x)$ appartient à $\ker(f)$ et il est clair que $g\circ f(x)\in\mathop{\mathrm{I}m}(g)$ .
Le théorème du rang appliqué à $f$ et l’hypothèse donnent

n=\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)]+\mathop{\mathrm{r}g}(f)\mbox{ et }n=\mathop{% \mathrm{d}im}[\ker(f)]+\mathop{\mathrm{r}g}(g)

et ceci donne $\mathop{\mathrm{r}g}(f)=\mathop{\mathrm{r}g}(g)$ .
$\mathop{\mathrm{r}g}(f\circ g)\leq\mathop{\mathrm{r}g}(g)=\mathop{\mathrm{r}g}% (g\circ f\circ g)\leq\mathop{\mathrm{r}g}(f\circ g)$ .
Donc
$\mathop{\mathrm{r}g}(f\circ g)=\mathop{\mathrm{r}g}(g)$ .
Le même raisonnement conduit à
$\mathop{\mathrm{r}g}(g\circ f)=\mathop{\mathrm{r}g}(f)$ .

0.3 Puissance d’un endomorphisme, noyaux itérés

Proposition 0.3.1

Noyaux itérés
On associe à $f$ de ${\cal L}(\mathbb{E})$ les notations :

N_{k}=\ker(f^{k}),\quad\mbox{${\cal N}$}=\cup_{k\in\mathbb{N}}N_{k},\quad I_{k% }=\mathop{\mathrm{I}m}(f^{k})\quad\mbox{et}\quad\mbox{${\cal I}$}=\cap_{k\in% \mathbb{N}}I_{k}

(10)

1.
On a les propriétés suivantes avec les
1. (a)
  
  La suite $N_{k}$ est croissante pour l’inclusion et si $N_{k}=N_{k+1}\quad\mbox{alors}\quad N_{k+1}=N_{k+2}$ .
2. (b)
  
  La suite $I_{k}$ est décroissante pour l’inclusion.
3. (c)
  
  Chacun des ensembles $N_{1},N_{2},\ldots$ et ${\cal N}$ est stable par $f$ .
4. (d)
  
  Chacun des ensembles $I_{1},I_{2},\ldots$ et ${\cal I}$ est stable par $f$ .
5. (e)
  
  On a toujours
  
  $\mathop{\mathrm{d}im}[N_{1}]\leq\mathop{\mathrm{d}im}[N_{2}]\leq 2\mathop{% \mathrm{d}im}[N_{1}].$
6. (f)
  
  Tout $f\in{\cal L}(\mathbb{E})$ vérifie l’équivalence suivante :
  
  $N_{1}=N_{2}\quad\Leftrightarrow\quad I_{1}\cap N_{1}=\{0\}.$
  
  Dans ce cas, on a
  $N_{k}=N_{1}\quad\forall k\geq 1.$
2.
Dans le cas où $\mathbb{E}$ est de dimension finie $n$ , on a les propriétés suivantes.
1. (a)
  
  Il existe un entier $p\leq n$ tel que $I_{p}=I_{p+1}$ , $N_{p}=N_{p+1}$ et
  
  $\mathbb{E}=N_{p}\oplus I_{p}.$ (11)
2. (b)
  
  La restriction $f_{\mbox{${\cal N}$}}$ de $f$ à $N_{p}$
  vérifie $f_{\mbox{${\cal N}$}}^{p}=0$ .
3. (c)
  
  La restriction de $f$ à $I_{p}$ est un automorphisme de ${\cal L}[I_{p}]$ .
4. (d)
  
  La suite
  $\alpha_{k}=\mathop{\mathrm{d}im}(I_{k})-\mathop{\mathrm{d}im}(I_{k+1})$ est décroissante.
5. (e)
  
  Tout $f\in{\cal L}(\mathbb{E})$ vérifie les équivalences suivantes :
  
  $\displaystyle\mathbb{E}=I_{1}\oplus N_{1}\,\Leftrightarrow\,N_{1}=N_{2}\,% \Leftrightarrow\,I_{1}=I_{2}\,\Leftrightarrow\,f\in\mathop{\mathrm{V}ect}\{f^{% k},k\geq 2\}.$
6. (f)
  
  Si un endomorphisme $f$ vérifie
  
  $\forall x,\quad\exists\quad\lambda_{x}\mbox{ tel que }f^{\lambda_{x}}(x)=0$
  
  alors, il existe $n$ tel que $f^{n}=0.$

Exemple de noyaux itérés
La suite $N_{k}$ est croissante pour l’inclusion alors que la suite $I_{k}$ est décroissante. Si $\mathbb{E}$ est de dimension finie, il existe toujours un entier $p\leq n$ à partir duquel ces deux suites deviennent stationnaires, i.e., $I_{p}=I_{p+1}=\ldots$ , $N_{p}=N_{p+1}=\ldots$ et on a

\mathbb{E}=N_{p}\oplus I_{p}.

A titre d’exemple, si $\mathbb{E}=\mathbb{K}_{n}[X]$ et $f(P)=P^{\prime}$ , on obtient

I_{k}=\mathbb{K}_{n-k}[X]\mbox{ et }N_{k}=\mathbb{K}_{k-1}[X].

D’où $p=n+1=\mathop{\mathrm{d}im}(\mathbb{E})$ et on a $N_{p}=\mathbb{E}$ et $I_{p}=\{0\}$ .
Par contre, si $\mathbb{E}$ est de dimension infinie, le nombre $p$ n’existera pas forcément. Par exemple, pour $\mathbb{E}=\mathbb{K}[X]$ et $f(P)=P^{\prime}$ , on obtient

I_{k}=\mathbb{K}[X]\mbox{ et }N_{k}=\mathbb{K}_{k-1}[X].

La suite $I_{k}$ est constante, la suite $N_{k}$ est strictement croissante et le nombre $p$ n’existe pas.
A chaque étape $k$ , l’application $f$ définit un isomorphisme $\widetilde{f}$ du supplémentaire $S_{k}$ de
$I_{k}\cap N_{1}$ par rapport à $I_{k}$ sur $I_{k+1}$ . Cet isomorphisme se construit comme suit

I_{k}=I_{k}\cap N_{1}\oplus S_{k},\quad\widetilde{f}:S_{k}\rightarrow I_{k+1},% \quad\widetilde{f}(s)=f(s)=f(s+n).

En effet, $\widetilde{f}(s_{1})=\widetilde{f}(s_{2})$ implique $\widetilde{f}(s_{1}-s_{2})=0$ .
Donc $s_{1}-s_{2}\in I_{k}\cap N_{1}$ et comme on a aussi $s_{1}-s_{2}\in S_{k}$ , on obtient $s_{1}=s_{2}$ .
Preuve de la Proposition 0.3.1

1.
1. (a)
  
  $x\in N_{k}\Rightarrow f^{k}(x)=0\Rightarrow f(f^{k}(x))=0\Rightarrow f^{k+1}(x% )=0\Rightarrow x\in N_{k+1}.$
  
  On a déjà $N_{k+1}\subset N_{k+2}$ , il suffit de montrer l’inclusion inverse.
  
  $x\in N_{k+2}\Rightarrow f^{k+1}[f(x)]=0$
  
  et donc $f(x)\in N_{k+1}=N_{k}$ . D’où $f^{k+1}(x)]=0$ et donc $x\in N_{k+1}$ .
2. (b)
  
  $x\in I_{k+1}\Rightarrow x=f^{k+1}(y)=f^{k}[f(y)]=f^{k}(z)\Rightarrow x\in I_{k}.$
3. (c)
  
  $x\in\mbox{${\cal N}$}\Rightarrow\exists k\quad\mbox{tel que}\quad x\in N_{k}% \Rightarrow f^{k}(x)=0$
  
  D’où
  
  $f(f^{k}(x))=f^{k}(f(x))=0.$
  
  Ainsi $f(x)\in N_{k}$ qui est donc stable par $f$ . La réunion ${\cal N}$ des $N_{k}$ est aussi stable par $f$ .
4. (d)
  
  $x\in I_{k+1}\Rightarrow x=f^{k+1}(y)\Rightarrow f(x)=f^{k+1}[f(y)]=f^{k+1}(z).$
  
  Ainsi $f(x)\in I_{k+1}$ qui est donc stable par $f$ .
  Montrons que ${\cal I}$ est stable par $f$ . Pour $y\in\mbox{${\cal I}$}$ , il existe $x_{k}$ tel que $y=f^{k}(x_{k})$ pour tout $k$ . Comme
  $f(y)=f^{k+1}(x_{k})=f^{k}(f(x_{k}))$ pour tout $k$ , alors $f(y)\in\cap I_{k}=\mbox{${\cal I}$}$ . Donc ${\cal I}$ est stable par $f$ .
5. (e)
  
  On a toujours $N_{1}\subset N_{2}$ et donc $\mathop{\mathrm{d}im}[N_{1}]\leq\mathop{\mathrm{d}im}[N_{2}]$ . Pour démontrer la seconde inégalité, considérons un supplémentaire $S$ de $\ker(f)$ dans $\mathbb{E}$ ,
  
  $\mathbb{E}=\ker(f)\oplus S.$
  
  La restriction de $\tilde{f}$ à $S$ est une bijection de $S$ sur $\mathop{\mathrm{I}m}(f)$ .
  Posons
  $x=n+s$ On a
  
  $\displaystyle x\in\ker(f^{2})\quad$ $\displaystyle\Leftrightarrow$ $\displaystyle\quad f^{2}(x)=f^{2}(s)=f(\tilde{f}(s))=0\quad$
  
  $\displaystyle\Leftrightarrow$ $\displaystyle\quad\tilde{f}(s)\in\ker(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(f)\quad$
  
  $\displaystyle\Leftrightarrow$ $\displaystyle\quad s\in(\tilde{f}^{-1}[\ker(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(f)].$
  
  Donc
  
  $\displaystyle\ker(f^{2})$ $\displaystyle\subset$ $\displaystyle\ker(f)+\tilde{f}^{-1}[\ker(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(f)]\quad$
  
  $\displaystyle\subset$ $\displaystyle\ker(f)+\tilde{f}^{-1}[\ker(f)].$
  
  Utilisant la décomposition $\mathbb{E}=\ker(f)\oplus S$ , on obtient
  
  $\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}(\ker(f^{2}))$ $\displaystyle\leq$ $\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}(\ker(f))+\mathop{\mathrm{d}im}[\tilde{f}^{-% 1}[\ker(f)]]$
  
  $\displaystyle\leq$ $\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}(\ker(f))+\mathop{\mathrm{d}im}(\ker(f))$
  
  $\displaystyle=$ $\displaystyle 2\mathop{\mathrm{d}im}(\ker(f))$
  
  car étant une bijection, on a $\mathop{\mathrm{d}im}(\tilde{f}^{-1}[\ker(f)])=\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)]$ .
  Autre démonstration
  Le théorème du rang appliqué à la restriction $\widetilde{f}$ définie par
  
  $\widetilde{f}:f(\mathbb{E})\quad\rightarrow\quad f^{2}(\mathbb{E}),\quad% \widetilde{f}(x)=f(x)$
  
  donne
  
  $\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(\widetilde{f})]+\mathop{\mathrm{d}im}[\widetilde{f}% (f(\mathbb{E}))]=\mathop{\mathrm{d}im}[f(\mathbb{E})].$
  
  Or
  
  $\widetilde{f}(x)=0\quad\Leftrightarrow\quad f(x)=0\quad\mbox{et}\quad x\in f(% \mathbb{E})\quad\Leftrightarrow\quad x\in\ker(f)\cap f(\mathbb{E}).$
  
  Donc
  
  $\ker(\widetilde{f})=\ker(f)\cap f(\mathbb{E}).$
  
  De plus, on a
  
  $\widetilde{f}[f(\mathbb{E})]=f^{2}(\mathbb{E}).$
  
  D’où
  
  $\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)\cap f(\mathbb{E})]+\mathop{\mathrm{d}im}[f^{2}(% \mathbb{E})]=\mathop{\mathrm{d}im}[f(\mathbb{E})].$
  
  Le théorème du rang appliqué à $f$ et $f^{2}$ donne
  
  $\mathop{\mathrm{d}im}[f(\mathbb{E})]=n-\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)]\quad% \mbox{et}\quad\mathop{\mathrm{d}im}[f^{2}(\mathbb{E})]=n-\mathop{\mathrm{d}im}% [\ker(f^{2})].$
  
  On obtient
  
  $\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f^{2})=\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)]+\mathop{% \mathrm{d}im}[\ker(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(f)]\leq 2\mathop{\mathrm{d}im}[% \ker(f)].$
6. (f)
  
  On a toujours $\ker(f)\subset\ker(f^{2})$ . Il suffit de démontrer l’équivalence suivante.
  
  $\ker(f^{2})\subset\ker(f)\quad\Leftrightarrow\quad\mathop{\mathrm{I}m}(f)\cap% \ker(f)=\{0\}.$
  
  Supposons $f^{2}(x)=0$ implique $f(x)=0$ . Alors, si $x=f(y)$ et $f(x)=0$ , on obtient $f(f(y))=0$ . L’hypothèse implique $f(y)=0$ c’est-à-dire $x=0$ .
  Réciproquement, supposons que les deux condition $f(x)=0$ et $x=f(y)$ impliquent $x=0$ . Alors, si $x\in N_{2}$ , on a $f^{2}(x)=0$ et donc $f(x)\in N_{1}$ . Ainsi $f(x)$ appartient à $N_{1}$ et à $I_{1}$ et donc $f(x)=0$ d’après l’hypothèse. D’où $x\in N_{1}$ .
7. (g)
  
  On a toujours $f(x)=0$ implique $f^{2}(x)=0$ . Il suffit de partir de l’hypothèse : $f^{2}(x)=0$ implique $f(x)=0$ .
  Soit $x\in\mathop{\mathrm{I}m}(f)\cap\ker(f)$ . Alors on a $x=f(y)$ et $f(x)=0$ ce qui donne $f(f(y))=0$ . L’hypothèse implique $f(y)=0$ c’est-à-dire $x=0$ .
  D’après le théorème du rang, en dimension finie, on a
  
  $\ker(f)+\mathop{\mathrm{I}m}(f)=\ker(f^{2})+\mathop{\mathrm{I}m}(f^{2})=n$
  
  Ainsi, on a
  
  $\ker(f)=\ker(f^{2})\quad\Leftrightarrow\quad\mathop{\mathrm{I}m}(f)=\mathop{% \mathrm{I}m}(f^{2}).$
2.
1. (a)
  
  Introduisons les notations :
  
  $S_{N}=\{k\in\mathbb{N}\mbox{ tel que }N_{k}=N_{k+1}\},\quad S_{I}=\{k\in% \mathbb{N}\mbox{ tel que }I_{k}=I_{k+1}\}.$
  
  Montrons qu’il existe un entier $p\leq n$ tel que
  
  $S_{N}=S_{I}=\{k\in\mathbb{N}\quad\mbox{tel que}\quad k\geq p\}.$
  
  D’après le théorème du rang, on a l’équivalence suivante :
  
  $N_{k}=N_{k+1}\Leftrightarrow I_{k+1}=I_{k}\Leftrightarrow\mathop{\mathrm{d}im}% (I_{k})=\mathop{\mathrm{d}im}(I_{k+1}).$
  
  On a alors
  $S_{N}=S_{I}$ et cet ensemble peut être l’ensemble vide.
  La suite $\mathop{\mathrm{d}im}(N_{k})$ croit strictement et comme elle est majorée par $n$ elle tend vers une limite $m\leq n$ . Soit $p$ la plus petite valeur de $k$ pour laquelle on a $\mathop{\mathrm{d}im}(N_{p})=m$ .
  La suite $\mathop{\mathrm{d}im}(I_{k})=n-\mathop{\mathrm{d}im}(N_{k})$ décroit donc strictement et elle tend vers la limite $n-m$ . Les limites de ces deux suites étant atteintes pour la même valeur $k=p$ et ces deux suites deviennent stationnaires à partir de $k=p$ .
  En effet, $N_{p}=N_{p+1}$ implique d’après ce qui précède
  $N_{p+1}=N_{p+2}$ . On a le même résultat pour la suite $f_{k}$ .
  On a
  
  $\mathbb{E}=N_{p}+I_{p}$
  
  et il suffit de montrer que $N_{p}\cap I_{p}=\{0\}$ . On a
  
  $f^{p}(x)=0\quad\mbox{et}\quad x=f^{p}(y).$
  
  D’où $f^{2p}(y)=0$ . $N_{2p}=N_{p}$ , on obtient $f^{p}(y)=0$ .
  Finalement, on a $x=0$ .
2. (b)
  
  On a $\mbox{${\cal N}$}=N_{p}=\ker(f^{p})$
  Comme ${\cal N}$ est stable par $f$ , $f_{\mbox{${\cal N}$}}$ est un endomorphisme défini sur ${\cal N}$ . De plus, il vérifie $f_{\mbox{${\cal N}$}}^{p}=0$ .
  On a $\mbox{${\cal I}$}=\mbox{${\cal I}$}_{p}=\mathop{\mathrm{I}m}(f^{p})$ .
3. (c)
  
  Comme ${\cal I}$ est stable par $f$ , $f_{\mbox{${\cal I}$}}$ est un endomorphisme défini sur ${\cal I}$ . On a $\ker(f_{\mbox{${\cal N}$}})\subset\ker(f)\subset\mbox{${\cal N}$}$ . Comme
  $\ker(f_{\mbox{${\cal I}$}})\subset\mathop{\mathrm{I}m}(f)$ , alors $\ker(f_{\mbox{${\cal I}$}})=\{0\}$ et par suite
  $f_{\mbox{${\cal I}$}}$ est un automorphisme de $\mathop{\mathrm{I}m}(f^{p})$ .
4. (d)
  
  On applique le théorème du rang à la restriction $f_{k}$ de $f$ à $I_{k}$ .
  On obtient
  
  $\mathop{\mathrm{d}im}(I_{k})=\mathop{\mathrm{d}im}[N_{k}]+\mathop{\mathrm{d}im% }[I_{k}],\quad I_{k}=f(I_{k})=I_{k+1}$
  
  Donc pour tout $k$ , on a
  
  $\mathop{\mathrm{d}im}(I_{k})-\mathop{\mathrm{d}im}(I_{k+1})=\mathop{\mathrm{d}% im}[\ker(f_{k})]=\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)\cap I_{k}]$
  
  $\mathop{\mathrm{d}im}(I_{k+1})-\mathop{\mathrm{d}im}(I_{k+2})=\mathop{\mathrm{% d}im}[N_{k+1}]=\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)\cap I_{k+1}]$
  
  Comme $I_{k+1}\subset I_{k}$ , on obtient
  
  $\mathop{\mathrm{d}im}(I_{k})-\mathop{\mathrm{d}im}(I_{k+1})\geq\mathop{\mathrm% {d}im}(I_{k+1})-\mathop{\mathrm{d}im}(I_{k+2}).$
5. (e)
  
  Supposons $f\in\mathop{\mathrm{V}ect}(f^{k},k\geq 2)$ .
  Soit $x$ vérifiant $f(x)=0$ et $x=f(y)$ . Comme
  
  $f=\sum_{k=2}^{m}\alpha_{k}f^{k}=(\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_{k}f^{k})\circ f$
  
  On obtient
  
  $f(y)=Q(f)\circ f(y)=Q(f)(x)=\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_{k}f^{k}(0)=0.$
  
  On a donc $x=0$ .
6. (f)
  
  Réciproquement, considérons le sous-espace $C_{f}=\mathop{\mathrm{V}ect}(f^{1},f^{2},\ldots)$ . Ce sous-espace est non vide, il contient $f$ . D’après l’hypothèse on a $\mathop{\mathrm{r}g}(f^{1})=\mathop{\mathrm{r}g}(f^{2})=\ldots$ .
  Si $f\neq 0$ , alors tous les éléments de $C_{f}$ sont non nuls. Comme la dimension de
  $C_{f}$ est finie, il existe $p$ tel que la famille $(f^{1},f^{2},\ldots,f^{p})$
  est libre et la famille $(f^{1},f^{2},\ldots,f^{p+1})$ est liée.
  Il existe donc des scalaires non tous nuls tels que
  
  $\sum_{1}^{p+1}\lambda_{k}f^{k}=0.$ (12)
  
  Si $\lambda_{1}\neq 0$ , on a bien $f\in\mathop{\mathrm{V}ect}(f^{2},\ldots)$ et si $\lambda_{1}=0$ , on peut mettre $f^{2}$ en facteur pour obtenir
  
  $f^{2}(\sum_{2}^{p+1}\lambda_{k}f^{k-2})=f^{2}(Q(f))=0.$
  
  Donc $Q(f)[\mathbb{E}]\in\ker(f^{2})=\ker(f)$ . D’où
  
  $f(\sum_{2}^{p+1}\lambda_{k}f^{k-2})=\sum_{1}^{p}\lambda_{k}f^{k-1}=0.$
  
  Ceci contredit la minimalité de l’entier $p$ . On a donc $\lambda_{1}\neq 0$ et la relation
  (12) montre que $f\in\mathop{\mathrm{V}ect}(f^{2},f^{3},\ldots)$ .
  AUTRE METHODE (Voir en Spé) On sait que tout endomorphisme $f$ admet son polynôme caractéristique, $\chi_{f}$ , comme polynôme annulateur. On a donc
  
  $\chi_{f}(f)=0.$ (13)
  
  Si $f$ est inversible, on a $\mathbb{E}=\mathop{\mathrm{I}m}(f)\oplus\{0\}$ . Supposons $f$ non inversible et donc le coefficient constant de $\chi_{f}$ qui est égal au déterminant de $f$ (au signe près) est nul. Si le coefficient de $f$ dans $\chi_{f}$ est non nul, on a $f\in\mathop{\mathrm{V}ect}(f^{2},\ldots,f^{k})$ et ceci termine la démonstration.
  Si ce coefficient est nul, la condition (13) s’écrit
  
  $\chi_{f}(f)=f^{2}Q_{1}(f)=0.$
  
  Donc $Q_{1}(f)(\mathbb{E})=\ker(f^{2})$ . D’où $Q_{1}(f)(\mathbb{E})=\ker(f)$ d’après l’hypothèse, soit $fQ_{1}(f)=0$ . Finalement, on a prouvé que
  
  $f^{2}Q_{1}(f)=0\Rightarrow fQ_{1}(f)=0.$
  
  On itère ce processus en posant
  $fQ_{1}(f)=Q_{2}(f)$ . Si $Q_{2}(f)=f(\lambda+R(f))$ avec $\lambda\neq 0$ , on a terminé et si $Q_{2}(f)=f^{2}Q_{3}(f)$ , on itère le processus.
  Comme les degrés des $Q_{k}$ décroissent strictement, le processus conduit à $fQ_{k}(f)=0$ avec $Q_{k}(f)=\lambda$ . Dans ce cas, on a $f=0$ et la propriété est encore vérifiée avec des coefficients tous nuls.
7. (g)
  
  Comme $\mathbb{E}$ est de dimension fini $n$ et que la suite $N_{k}$ est croissante, elle admet une limite. Il existe $p$ tel que $I_{p}=I_{p+1}=\ldots$
  Supposons par l’absurde que $I_{p}\neq\{0\}$ .
  Alors il existe $x\in I_{p},x\neq 0$ tel que $\forall n,f^{n}(x)\neq 0$ . Ceci contredit l’hypothèse et on a donc
  $I_{p}=\{0\}$ et donc $f_{p}=0$ .

Espace quotient, décomposition canonique d’une application
Soit $\mathbb{F}$ un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel $\mathbb{E}$ . Le relation

x\sim y\quad\mbox{si}\quad x-y\in\mathbb{F}

définit une relation d’équivalence sue $\mathbb{E}$ . L’ensemble
des classes d’équivalence, appelé espace quotient de $\mathbb{E}$
par $\mathbb{F}$ et noté $\mathbb{E}/\mathbb{F}$ , peut être muni naturellement des deux lois de $\mathbb{E}$ . Ces deux lois son compatibles avec la structure d’espace vectoriel de $\mathbb{E}$ et confèrent à $\mathbb{E}/\mathbb{F}$ la structure d’espace vectoriel. Lorsqu’on prend on prend $\mathbb{F}=\ker(f)$ , toute application linéaire $f\in\mbox{${\cal L}$}(\mathbb{E},\mathbb{G})$ peut alors se décomposer comme suit où $\widetilde{x}$ désigne la classe d »équivalence de $x$ .

$\displaystyle f:\mathbb{E}\quad$	$\displaystyle\rightarrow$	$\displaystyle\quad\mathbb{G},\quad f(x)=y$
	et
$\displaystyle s:\mathbb{E}\quad$	$\displaystyle\rightarrow$	$\displaystyle\quad\mathbb{E}/\ker(f),\quad s(x)=\widetilde{x}$
$\displaystyle\widetilde{f}:\mathbb{E}/\ker(f)\quad$	$\displaystyle\rightarrow$	$\displaystyle\quad\mathop{\mathrm{I}m}(f),\quad\widetilde{f}(\widetilde{x})=f(x)$
$\displaystyle i:\mathop{\mathrm{I}m}(f)\quad$	$\displaystyle\rightarrow$	$\displaystyle\quad\mathbb{G},\quad i(y)=y$
$\displaystyle i\circ\widetilde{f}\circ s:\mathbb{E}\quad$	$\displaystyle\rightarrow$	$\displaystyle\quad\mathbb{G},\quad i\circ\widetilde{f}\circ s(x)=y.$

L’application $s$ qui associe à tout $x$ sa classe d’équivalence $\widetilde{x}$
est appelée surjection canonique.
L’application $i$ , définie par $i(x)=x$ , est appelée injection canonique.
L’application $\widetilde{f}$ est bijective.
Ces trois applications sont linéaires et $f$ se décomposer canoniquement de manière unique sous la forme suivante :

f=i\circ\widetilde{f}\circ s.

Espace produit
Soient $\mathbb{E}_{1}$ et $\mathbb{E}_{2}$ deux espaces vectoriels. Sur l’espace
produit $\mathbb{E}_{1}\times\mathbb{E}_{2}$ on peut définir une structure d’espace vectoriel
en définissant les opérations au moyen des composantes. Pour
$x=(x_{1},x_{1})$ et $y=(y_{1},y_{1})$ , on pose:

\lambda x+\mu y=(\lambda x_{1}+\mu y_{1},\lambda x_{2}+\mu y_{2}).

Cette définition se généralise pour définir l’espace produit de plusieurs espaces vectoriels.

0.4 Projecteurs

Projection sur $\mathbb{F}$ parallèlement à $\mathbb{G}$
Tout sous-espace $\mathbb{F}$ d’un espace vectoriel $\mathbb{E}$ admet au moins un supplémentaire $\mathbb{G}$ dans $\mathbb{E}$ et tout $u\in\mathbb{E}$ s’écrit
de manière unique sous la forme :

\forall u\in\mathbb{E},\quad\exists!u_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F},\quad\exists!u% _{\mathbb{G}}\in\mathbb{G},\mbox{ tels que }u=u_{\mathbb{F}}+u_{\mathbb{G}}.

L’application

p_{F/G}:\mathbb{E}\rightarrow\mathbb{E},\quad p_{F/G}(u)=u_{\mathbb{F}}

est un endomorphisme appelé projection sur $\mathbb{F}$ parallèlement à $\mathbb{G}$ .

Proposition 0.4.1

Projecteur
Si $p$ est un endomorphisme, on a les définitions et propriétés suivantes.

1.

$p$ est appelé projecteur s’il vérifie l’égalité $p^{2}=p$ .
2.

$p$ est un projecteur ssi, $q\stackrel{{\scriptstyle\Delta}}{{=}}I_{d}-p$ est un projecteur.
3.

$p$ est un projecteur ssi,
$\mathbb{E}=\mathop{\mathrm{I}m}(p)+\mathop{\mathrm{I}m}(I_{d}-p)$ .
Cette somme est alors directe, soit
$\mathbb{E}=\mathop{\mathrm{I}m}(p)\oplus\mathop{\mathrm{I}m}(I_{d}-p)$ .
4.

$p$ est un projecteur ssi,
$\mathbb{E}=\ker(p)+\ker(I_{d}-p)$ .
Cette somme est alors directe, soit
$\mathbb{E}=\ker(p)\oplus\ker(I_{d}-p)$ .
5.

Si $p$ est un projecteur, on a
$\mathop{\mathrm{I}m}(p)=\ker(I_{d}-p)$ et
$\mathop{\mathrm{I}m}(I_{d}-p)=\ker(p)$ .
6.

Tout projecteur $p$ vérifie la propriété suivante mais qui ne caractérise pas un projecteur.

$p=p^{2}\quad\Rightarrow\quad\mathbb{E}=\mathop{\mathrm{I}m}(p)\oplus\ker(p).$
7.

A tout couple $(\mathbb{F},\mathbb{G})$ de sous-espaces supplémentaires on peut associer un projecteur $p$ unique
tel que $\mathop{\mathrm{I}m}(p)=\mathbb{F}$ et $\ker(p)=\mathbb{G}$ . Ce projecteur est aussi appelé projection
sur $\mathbb{F}$ parallèlement à $\mathbb{G}$ .
8.

En dimension finie, la matrice d’un projecteur
dans une base adaptée est $\mathop{\mathrm{D}iag}(1,\ldots,1,0,\ldots,0)$ .
La trace d’un projecteur est égal à son rang.

Proposition 0.4.2

Somme de projecteurs

1.

Soient $p$ et $q$ deux projecteurs quelconques. Alors on a

$\displaystyle p+q\mbox{ : projecteur }$ $\displaystyle\Leftrightarrow$ $\displaystyle p\circ q=q\circ p=0$

$\displaystyle\Leftrightarrow$ $\displaystyle\mathop{\mathrm{I}m}(p)\subset\ker(q)\mbox{ et }\mathop{\mathrm{I% }m}(q)\subset\ker(p)$

$\displaystyle\Rightarrow$ $\displaystyle\mathop{\mathrm{I}m}(p+q)=\mathop{\mathrm{I}m}(p)\oplus\mathop{% \mathrm{I}m}(q)$

$\displaystyle\Rightarrow$ $\displaystyle\ker(p+q)=\ker(p)\cap\ker(q).$
2.

Soient $p_{1},\ldots,p_{n}$ des endomorphismes de ${\cal L}(\mathbb{E})$ vérifiant
$p_{i}p_{j}=0$ pour $i\neq j$ et
$p_{1}+\ldots+p_{n}=I_{d_{E}}$ . Alors, les $p_{i}$ sont des projecteurs et on a :

$\mathop{\mathrm{I}m}(p_{1})\oplus\ldots\oplus\mathop{\mathrm{I}m}(p_{n})=% \mathbb{E}.$ (14)
3.

Soit $\mathbb{E}$ un $\mathbb{C}$ -espace de dimension finie $n$ . Soient $p_{1},\ldots,p_{n}$ des projecteurs non nuls de ${\cal L}_{n}(\mathbb{E})$ vérifiant $p_{i}p_{j}=0$ pour $i\neq j$ .
Alors tous les $p_{i}$ sont de rang 1 et on a :

$\mathop{\mathrm{I}m}(p_{1}+\ldots+p_{n})=\mathop{\mathrm{I}m}(p_{1})\oplus% \ldots\oplus\mathop{\mathrm{I}m}(p_{n})=\mathbb{E}.$ (15)
4.

Soient $p_{1},\ldots,p_{n}$ des projecteurs de de ${\cal L}_{n}(\mathbb{E})$ d’un espace de dimension finie $n$ . Alors
$p=p_{1}+\ldots+p_{n}$ est un projecteur $s s i$ les $p_{i}$ vérifient
$p_{i}p_{j}=0$ pour $i\neq j$
5.

Si $q_{1},\ldots,q_{n}$ sont des projecteurs non nuls de ${\cal L}_{n}(\mathbb{E})$ vérifiant $q_{i}q_{j}=0$ pour $i\neq j$ , alors il existe un automorphisme $\phi$ de
$\mathbb{E}$ tel que

$q_{i}=\phi\circ p_{i}\circ\phi^{-1},1\leq i\leq n.$

Preuve de (1) $\Leftrightarrow$
On a $(p+q)^{2}=p^{2}+q^{2}+pq+qp=p+q$ . D’où $pq+qp=0$ et

pq+qp=0\quad\Rightarrow\quad q(pq+qp)=0\mbox{ et }(pq+qp)q=0

D’où

qpq=-qp\mbox{ et }qpq=-pq\quad\Rightarrow\quad qp=pq.

Finalement, on obtient

qp=pq=-pq=0.

Preuve de (1) $\Leftrightarrow$

pq(x)=0\Rightarrow q(x)\in\ker(p)\quad qp(x)=0\Rightarrow p(x)\in\ker(q)

La réciproque est évidente puisque

q(x)\in\ker(p)\Rightarrow p[q(x)]=0\Rightarrow pq(\mathbb{E})=0

p(x)\in\ker(q)\Rightarrow q[p(x)]=0\Rightarrow qp(\mathbb{E})=0.

Preuve de (1) $\Rightarrow$
On a toujours $\mathop{\mathrm{I}m}(p+q)\subset\mathop{\mathrm{I}m}(p)+\mathop{\mathrm{I}m}(q)$ . Pour démontrer l’inclusion inverse, posons $z=p(x)+q(y)$
On obtient $p(z)=p(x)+pq(x)=p(x)$ et $q(z)=q(y)$ . D’où
$(p+q)(z)=p(x)+q(y)$ . Donc Tout élément $p(x)+q(y)$ de
$\mathop{\mathrm{I}m}(p)+\mathop{\mathrm{I}m}(q)$ est élément $(p+q)(z)$ de $\mathop{\mathrm{I}m}(p+q)$ .
De plus, la somme est directe car si $p(x)=q(y)$ on obtient

p(x)=p^{2}(x)=pq(y)=0.

Preuve de (1) $\Rightarrow$ Si $(p+q)(x)=0$ alors $p(p(x)+q(x))=0$ et donc $p^{2}(x)=p(x)=0$ puisque $pq=0$ .
De même, on a $q[p(x)+q(x)]=0$ et donc $q^{2}(x)=q(x)=0$ .
On a donc $\ker(p+q)\subset\ker(p)\cap\ker(q)$ . La réciproque est triviale.
Preuve de (14)
On a $p_{j}(p_{1}+\ldots+p_{n})=I_{d}p_{j}=p_{j}$ et donc $p_{j}^{2}=p_{j}$ .
Pour montrer que la somme est directe, il suffit de déterminer
l’intersection de $\mathop{\mathrm{I}m}(p_{j})$ avec $\mathop{\mathrm{I}m}[\sum_{i\neq j}p_{i}]$ .
Soit un vecteur $x$ appartenant à chacun de ces deux espaces. Alors,

x=p_{j}(x)\quad\mbox{et}\quad x=\sum_{i\neq j}p_{i}(x_{i}).

Donc $p_{j}(x)=\sum_{i\neq j}p_{j}p_{i}(x_{i})=0$ , puis $x=0$ .
Preuve de (15)
Chaque image est de rang 1 sinon la somme des rang dépasse $n$ .
Les images sont des droites vectorielles.
Preuve de (4) La condition $p_{i}p_{j}=0$ pour $i\neq j$ implique
$p^{2}=p$ et donc $p$ est un projecteur.
Réciproquement, supposons que $p$ est un projecteur. Posons
$\mathbb{F}=\mathop{\mathrm{I}m}(p_{1})+\ldots+\mathop{\mathrm{I}m}(p_{n})$ et $\mathbb{G}=\mathop{\mathrm{I}m}(p)$ . Vérifions que le rang d’un projecteur est égal à sa trace.
En effet, si $p$ est projecteur, on a

\mathbb{E}=\mathop{\mathrm{I}m}(p)\oplus\ker(p).

Si $p=I_{d}$ ou $p=0$ la propriété est triviale. Si $p$ est de rang $r,0<r<n$ , on choisit une base de $\mathbb{E}$ dans laquelle la matrice de $p$ une une matrice diagonale comportant sur sa diagonale $n-r$ fois le nombre $O$ et $r$ fois le nombre $1$ . On obtient alors par linéarité de la trace :

rg(p)=\mathop{\mathrm{t}race}(p)=\mathop{\mathrm{t}race}(p_{1})+\ldots+\mathop% {\mathrm{t}race}(p_{n})=rg(p_{1})+\ldots+rg(p_{n}).

D’où

\mathop{\mathrm{d}im}[\mathop{\mathrm{I}m}(p)]=\mathop{\mathrm{d}im}[\mathop{% \mathrm{I}m}(p_{1})]+\ldots+\mathop{\mathrm{d}im}[\mathop{\mathrm{I}m}(p_{n})].

Comme l’inclusion suivante est toujours vraie

(f+g)(\mathbb{A})\subset f(\mathbb{A})+g(\mathbb{A})

on obtient

\mathop{\mathrm{I}m}(p_{1}+\ldots+p_{n})\subset\mathop{\mathrm{I}m}(p_{1})+% \ldots+\mathop{\mathrm{I}m}(p_{n})

D’où

\mathop{\mathrm{I}m}(p_{1}+\ldots+p_{n})=\mathop{\mathrm{I}m}(p_{1})\oplus% \ldots\oplus\mathop{\mathrm{I}m}(p_{n}).

Soit $x\in\mathop{\mathrm{I}m}(p_{j})$ donc $x\in\mathop{\mathrm{I}m}(p)$ . Alors on a

x=p_{j}(x)=p(x)=\sum_{i}^{n}p_{i}(x).

D’où

\sum_{i\neq j}p_{i}(x)=0.

La somme étant directe, on obtient $p_{i}(x)=0$ pour $i\neq j$ .
D’où $p_{i}p_{j}(x)=0$ . Si $x\in\ker(p_{j})$ , on a aussi $p_{i}p_{j}(x)=p_{i}(0)=0$ . Finalement

x\in\mathbb{E},\quad p_{i}p_{j}(x)=0\quad\mbox{pour}\quad i\neq j.

Preuve de (5) Soient $e_{i}$ une base de $\mathop{\mathrm{I}m}(p_{i})$ et $f_{i}$ une base de $\mathop{\mathrm{I}m}(q_{i})$ .
L’application $\phi$ qui transforme la base $(e_{1},\ldots,e_{n})$ en la base $(f_{1},\ldots,f_{n})$ est un automorphisme et on a pour $1\leq i,j\leq n$ :

\phi\circ p_{i}\circ\phi^{-1}(f_{j})=\phi[p_{i}(e_{j})]=\phi[\delta_{i,j}e_{j}% )]=\delta_{i,j}\phi(e_{j})=\delta_{i,j}f_{j}=q_{i}f_{j}.

Donc les deux applications qui prennent les mêmes
valeurs sur la base $(e_{1},\ldots,e_{n})$ sont identiques.
Remarques
(1)–Si $f$ est un endomorphisme de ${\cal L}_{n}(\mathbb{E})$ où $\mathbb{E}$ est un espace de dimension finie, la somme
$\mathop{\mathrm{I}m}(f)+\ker(f)$ n’a aucune raison d’être égale à $\mathbb{E}$ même si on a toujours
$\mathop{\mathrm{d}im}[\mathop{\mathrm{I}m}(f)]+\mathop{\mathrm{d}im}[\ker(f)]=% \mathop{\mathrm{d}im}(\mathbb{E})$ . En effet, on n’a pas forcément
$\mathop{\mathrm{I}m}(f)\cap\ker(f)=\{0\}$ .
(2)–Si $f$ est tel que
$\mathop{\mathrm{I}m}(f)+\ker(f)=\mathbb{E}$ , alors cette somme est forcément directe mais $f$ n’est pas nécessairement un projecteur.

Proposition 0.4.3

Symétrie
Soit $s$ un endomorphisme de ${\cal L}(\mathbb{E})$ . On a les définitions et propriétés suivantes.
(1)–L’endomorphisme $s$ est une symétrie $s s i$ on a $s^{2}=I_{d}$ .
(2)–L’endomorphisme $s$ est une symétrie ssi
$\mathbb{E}=\ker(s+Id)\oplus\ker(s-I_{d})$ .
(3)– $s$ est une symétrie ssi, l’endomorphisme $p=\frac{1}{2}(s+I_{d})$
est une projection. On dit que $s$ est la symétrie par rapport à $\ker(s-I_{d})$ et parallèlement à $\ker(s+I_{d})$ et que $p$ est la projection associée à $s$ .
(4)–A tout couple $(\mathbb{F},\mathbb{G})$ de sous-espaces supplémentaires on peut associer une symétrie $s$ unique telle que $\ker(s-I_{d})=\mathbb{F}$ et $\ker(s+I_{d})=\mathbb{G}$ .

Proposition 0.4.4

Homotétie
(1)–Soit $f$ un endomorphisme tel que $\forall x\in\mathbb{E}^{*}$ , la famille $(x,f(x))$ est liée. Alors $f$ est une homothétie.
(2) Un endomorphisme de $\mathbb{E}$ qui commutent avec tous les endomorphismes de $\mathbb{E}$ est une homothétie.
(3)–Soit $f$ un endomorphisme de $\mbox{${\cal L}$}_{n}(\mathbb{E})$ de rang 1. Alors il existe un scalaire $\lambda$ tel que

f^{2}-\lambda f=0.

Preuve de (1)
Si $x$ est un vecteur non nul tel que $(x,f(x))$ est liée alors il existe un scalaire $\lambda_{x}$ tel que $f(x)={\lambda_{x}}x$ . Si $x=0$ ,
$f(x)=0=0x$ et donc $f(x)={\lambda_{x}}x$ .
Inversement, si pour tout $x\in\mathbb{E}$ , il existe $\lambda_{x}$ tel que $f(x)={\lambda_{x}}x$ , alors la famille $(x,f(x))$ est liée. Dans le cas où $x\neq 0$ , $x$ est une base de la droite vectorielle $\mathop{\mathrm{V}ect}(x)$ et le nombre $\lambda_{x}$ est indépendant de $x$ .
Montrons que $f$ est une homothétie. Soient $x_{0}$ un vecteur non nul et fixé de $\mathbb{E}$ puis $x$ un vecteur quelconque de $\mathbb{E}$ .
1er cas Supposons la famille $(x_{0},x)$ libre. On a $f(x+x_{0})=\lambda_{x+x_{0}}(x+x_{0})$ et aussi $f(x+x_{0})=f(x)+f(x_{0})=(\lambda_{x}+\lambda_{x_{0}})x_{0}$ et donc

(\lambda_{x+x_{0}}-\lambda_{x})x+(\lambda_{x+x_{0}}-\lambda_{x_{0}})x_{0}=0.

Puisque la famille $(x_{0},x)$ est libre, on obtient $\lambda_{x+x_{0}}=\lambda_{x}=\lambda_{x_{0}}$ . Ainsi, pour
tout vecteur $x$ tel que $(x,x_{0})$ libre, on a $f(x)=\lambda_{x_{0}}x$ .
2ème cas Supposons la famille $(x_{0},x)$ liée. Puisque $x_{0}$ est non nul, il existe un scalaire $m$ tel que $x=mx_{0}$ . Mais alors
$f(x)=mf(x_{0})=m\lambda_{x_{0}}x_{0}=\lambda_{x_{0}}x$ .
Finalement, il existe un scalaire $k=\lambda_{x_{0}}$ tel que pour tout vecteur $x$ , $f(x)=kx$ et $f$ est une homothétie. La réciproque est évidente.
Preuve de (2) Soit $x$ un vecteur non nul de $\mathbb{E}$ et $s$ la symétrie par rapport à $\mathop{\mathrm{V}ect}(x)$ parallèlement à un supplémentaire donné
de $\mathop{\mathrm{V}ect}(x)$ . On a

s(f(x))=f(s(x))=f(x).

Par suite, $f(x)$ est invariant par $s$ et appartient donc à $\mathop{\mathrm{V}ect}(x)$ . Ainsi, si $f$ commute avec tout endomorphisme de $\mathbb{E}$ , $f$ vérifie nécessairement $\forall x\in\mathbb{E},(x,f(x))$ est lié et donc $f$ est nécessairement une homothétie. Réciproquement, les homothéties de $\mathbb{E}$ commutent avec tout endomorphisme
de $\mathbb{E}$ .
Preuve de (3) On a $\mathop{\mathrm{I}m}(f)=\mathop{\mathrm{V}ect}(e_{1})$ . On complète $e_{1}$ pour obtenir une base $\{e_{1},e_{2},\ldots,\lambda_{n}\}$ de $\mathbb{E}$ dans laquelle on définit $f$ par
$f(e_{i})=\lambda_{i}e_{1},1\leq i\leq n$ . On obtient

f^{2}(e_{i})=\lambda_{i}f(e_{1})=\lambda_{i}\lambda_{1}f(e_{1})=\lambda_{1}f(% \lambda_{i}e_{1})=\lambda_{1}f(e_{i})

Les deux applications étant égales pour les vecteurs de base donc elles sont égales, soit $f^{2}=\lambda_{1}f$ .
On a

(f-Id)(f-(1-\lambda_{1})I_{d})=(\lambda_{1}-1)I_{d}

Section6 Applications linéaires, Endomorphisme, Automorphisme

0.1 Applications linéaires, Endomorphisme, Automorphisme

Proposition 0.1.1

Proposition 0.1.2

Proposition 0.1.3

Proposition 0.1.4

0.2 Formule du rang et formule de Grassmann

Proposition 0.2.1

Proposition 0.2.2

Proposition 0.2.3

0.3 Puissance d’un endomorphisme, noyaux itérés

Proposition 0.3.1

0.4 Projecteurs

Proposition 0.4.1

Proposition 0.4.2

Proposition 0.4.3

Proposition 0.4.4

Commentaires

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$\displaystyle x\in\ker(f^{2})\quad$	$\displaystyle\Leftrightarrow$	$\displaystyle\quad f^{2}(x)=f^{2}(s)=f(\tilde{f}(s))=0\quad$
	$\displaystyle\Leftrightarrow$	$\displaystyle\quad\tilde{f}(s)\in\ker(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(f)\quad$
	$\displaystyle\Leftrightarrow$	$\displaystyle\quad s\in(\tilde{f}^{-1}[\ker(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(f)].$

	$\displaystyle\ker(f^{2})$	$\displaystyle\subset$	$\displaystyle\ker(f)+\tilde{f}^{-1}[\ker(f)\cap\mathop{\mathrm{I}m}(f)]\quad$
		$\displaystyle\subset$	$\displaystyle\ker(f)+\tilde{f}^{-1}[\ker(f)].$

$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}(\ker(f^{2}))$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}(\ker(f))+\mathop{\mathrm{d}im}[\tilde{f}^{-% 1}[\ker(f)]]$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}im}(\ker(f))+\mathop{\mathrm{d}im}(\ker(f))$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle 2\mathop{\mathrm{d}im}(\ker(f))$

$\displaystyle p+q\mbox{ : projecteur }$	$\displaystyle\Leftrightarrow$	$\displaystyle p\circ q=q\circ p=0$
	$\displaystyle\Leftrightarrow$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{I}m}(p)\subset\ker(q)\mbox{ et }\mathop{\mathrm{I% }m}(q)\subset\ker(p)$
	$\displaystyle\Rightarrow$	$\displaystyle\mathop{\mathrm{I}m}(p+q)=\mathop{\mathrm{I}m}(p)\oplus\mathop{% \mathrm{I}m}(q)$
	$\displaystyle\Rightarrow$	$\displaystyle\ker(p+q)=\ker(p)\cap\ker(q).$