Section7: Applications n-linéaires, Forme alternée, Déterminant

L’ensemble des bijections de $E=\{1,2,\mathrm{\dots },n\}$ sur lui-même est un groupe pour la loi de composition $\circ$. Il est appelé groupe symétrique ou ensemble des permutations et son cardinal est égal à $n!$. Chaque permutation est notée sous-forme d’une matrice à deux lignes

Support d’une permutation : supp $(\sigma )$ C’est le sous-ensemble qui n’est pas fixé par $\sigma$, i.e.,

$$k\in \text{supp}(\sigma )\iff \sigma (k)\ne k.$$

Permutations disjointes
Deux permutations sont disjointes si leurs supports sont disjoints. Deux permutations disjointes commutent
Orbite d’un élément
Soit $\sigma$ une permutation donnée et $x$ un élément de $E$. L’orbite de $x$ selon $\sigma$ est le sous-ensemble de $E$ défini par

$$𝒪(x)=\{\sigma {(x)}^k,k\in \mathbb{Z}\}\subset E$$

Permutation circulaire ou cycle C’st une permutation $\sigma$ telle qu’il existe $x\in E$ vérifiant

$$\mathrm{s}upp(\sigma )=𝒪(x).$$

Cette orbite est donc le support du cycle et le cardinal $p$ ($p$-cycle) de cette orbite est la longueur du cycle.
Il existe donc $A=\{x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_p\}$ tels que

$$\sigma (x_1)=x_2,\sigma (x_2)=x_3,\mathrm{\dots },\sigma (x_p)=x_1\text{et}\sigma (x)=x\text{si}x\notin A.$$

Un cycle est une permutation qui contient au plus une orbite qui n’est pas réduite à un élément. Le groupe symétrique ${𝒮}_n$l contient $a(n-1)!$ cycles différents
Transposition C’est une permutation qui échange deux éléments $a$ et $b$ et laisse inchangés les autres, c’est donc un cycle d’ordre 1. On la note ${\tau }_{ab}$ ou $\tau$.

Preuve
Soit $\sigma$ une permutation de ${𝒮}_n$ fixée. La relation définie par

$$x,y\in E,x\sim y\iff {𝒪}_{\sigma }(x)={𝒪}_{\sigma }(y)$$

est une relation d’équivalence sur $E$. Considérons les représentants des $p$ classe d’équivalence associées à la permutation $\sigma$ et définis par

	${\sigma }_i(x)$	$=$	$\sigma (x)\text{si}x\in {𝒪}_{\sigma }(x)$
		$=$	$x\text{si}x\notin {𝒪}_{\sigma }(x)i=1,\mathrm{\dots },p\le n$

On associe ainsi à chaque $\sigma \in {𝒮}_n$ un ensemble unique de $p$ cycles:
$\sigma {}_i{}^{},i=1,\mathrm{\dots },p\le n$.
Ces cycles ont des supports disjoints et on vérifie facilement que

$$\sigma ={\sigma }_1\circ \mathrm{\dots }\circ {\sigma }_p.$$

On peut vérifier que le noyau de ce morphisme est un sous-groupe de ${𝒮}_n$. Il est dénommé groupe alterné d’ordre n.
Existence du morphisme
Considérons l’ensemble défini par

$$E_2=\{(i,j)\in E^{2}i\ne j\}$$

Alors, l’application

${\mu }_{\sigma }:E_2\to E_2,{\mu }_{\sigma }(i,j)$

$=$

$(\sigma (i),\sigma (j))$

est une bijection et on obtient

$$\prod _{1\le i\ne j\le n}|\sigma (i)-\sigma (j)|=\prod _{1\le k\ne h\le n}|k-h|.$$

Le changement d’indice $(k,h)=(i,j)$ conduit à

$$\prod _{1\le k\ne h\le n}|k-h|=\prod _{1\le i\ne j\le n}|i-j|$$

et par suite

$$\prod _{1\le i\ne j\le n}|\sigma (i)-\sigma (j)|=\prod _{1\le i\ne j\le n}|i-j|.$$

Ainsi le nombre

$$ϵ(\sigma )=\prod _{1\le i,j\le n}\frac{\sigma (i)-\sigma (j)}{i-j}$$

appartient à $\{-1,+1\}$ et la relation (1) définit donc une application de
${𝒮}_n$ dans $\{-1,+1\}$.
Cette application $ϵ$ est un morphisme de groupe puisque

$$ϵ(\sigma {\sigma }^{\prime })=\prod _{1\le i,j\le n}\frac{\sigma {\sigma }^{\prime }(i)-\sigma {\sigma }^{\prime }(j)}{\sigma (i)-\sigma (j)}\frac{\sigma (i)-\sigma (j)}{i-j}=ϵ(\sigma )ϵ({\sigma }^{\prime }).$$

Signature d’une transposition
Calculons $ϵ({\tau }_{a,b})$. On a

	${\displaystyle \frac{{\tau }_{a,b}(i)-{\tau }_{a,b}(j)}{i-j}}$	$=$	${\displaystyle \frac{b-a}{a-b}}=-1\text{si}(i,j)=(a,b)$
		$=$	${\displaystyle \frac{i-j}{i-j}}=1\text{si}(i,j)\ne (a,b)$
		$=$	${\displaystyle \frac{{\tau }_{a,b}(a)-{\tau }_{a,b}(j)}{a-j}}={\displaystyle \frac{b-j}{a-j}}\text{si}i=a,j\notin \{a,b\}$
		$=$	${\displaystyle \frac{{\tau }_{a,b}(b)-{\tau }_{i,b}(j)}{b-j}}={\displaystyle \frac{a-j}{b-j}}\text{si}i=b,j\notin \{a,b\}$

Dans les deux derniers cas, les termes se regroupent deux par deux pour donner un produit égal à 1. Le produit de tous les facteurs qui interviennent dans l’expression de $ϵ$ est donc égal à $-1$. D’où $ϵ({\tau }_{a,b})=-1$.
Unicité du morphisme $ϵ$
Supposons l’existence de deux morphismes $ϵ$ et ${ϵ}^{\prime }$ vérifiant les conditions imposées.
Soit $\sigma \in {𝒮}_n$ et une décomposition

$$\sigma ={\tau }_1\circ \mathrm{\dots }\circ {\tau }_p$$

Alors les relations suivantes montrent que $ϵ={ϵ}^{\prime }$.

$$ϵ(\sigma )=ϵ({\tau }_1)\circ \mathrm{\dots }\circ ϵ({\tau }_p)={(-1)}^p\text{et}{ϵ}^{\prime }(\sigma )={ϵ}^{\prime }({\tau }_1)\circ \mathrm{\dots }\circ {ϵ}^{\prime }({\tau }_p)={(-1)}^p.$$

Soient ${𝔼}_1,\mathrm{\dots },{𝔼}_n,𝔽$ des $𝕂$-espaces vectoriels. On dit qu’une application

$$f:{𝔼}_1\times \mathrm{\dots }\times {𝔼}_n\to 𝔽$$

est multilinéaire ($n$-linéaire) si chacune des $n$ applications $f_k$ suivantes est linéaire :

$$f_k:{𝔼}_k\to 𝔽,f_k(x)=f(x_1,\mathrm{\dots },x_{k-1},x,x_{k+1},\mathrm{\dots },x_n).$$

Si $𝔽=𝕂$, $f$ est appelée forme $n$-linéaire ou forme multilinéaire. Afin d’attirer l’attention sur l’importance de l’ordre des vecteurs dans l’évaluation de $f$, donnons l’expression de
$f(x_{\phi (1)},\mathrm{\dots },x_{\phi (n)})$ dans une base $(e_1,\mathrm{\dots },e_n)$ où $\phi$ est une permutation. On obtient en détaillant les calculs

	$f(x_{\phi (1)},\mathrm{\dots },x_{\phi (n)})$	$=$	$f({\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_{i,\phi (1)}{e}_i,{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_{i,\phi (2)}{e}_i,\mathrm{\dots },{\displaystyle \sum _{i=1}}{a}_{i,\phi (n)}{e}_i)$		(2)
		$=$	$f({\displaystyle \sum _{i_1=1}^n}{a}_{i_1,\phi (1)}{e}_{i_1},{\displaystyle \sum _{i_2=1}^n}{a}_{i_2,\phi (2)}{e}_{i_2},\mathrm{\dots },{\displaystyle \sum _{i_n=1}^n}{a}_{i_n,\phi (n)}{e}_{i_n})$
		$=$	${\displaystyle \sum _{1\le i_1,i_2,\mathrm{\dots },i_n\le n}}{a}_{i_1,\phi (1)}{a}_{i_2,\phi (2)}\mathrm{\dots }{a}_{i_n,\phi (n)}f(e_{i_1},e_{i_2},\mathrm{\dots },e_{i_n})$
		$=$	${\displaystyle \sum _{\alpha \in {ℱ}_n}}{a}_{\alpha (1),\phi (1)}{a}_{\alpha (2),\phi (2)}\mathrm{\dots }{a}_{\alpha (n),\phi (n)}f(e_{\alpha (1)},e_{\alpha (2)},\mathrm{\dots },e_{\alpha (n)})$
		$=$	${\displaystyle \sum _{\alpha \in {ℱ}_n}}{\displaystyle \prod _{i=1}^n}{a}_{\alpha (i),\phi (i)}f(e_{\alpha (1)},e_{\alpha (2)},\mathrm{\dots },e_{\alpha (n)}).$

Dans le cas particulier où $\phi =I_d$, on a

$$f(x_1,\mathrm{\dots },x_n)=\sum _{\alpha \in {ℱ}_n}\prod _{i=1}^n{a}_{\alpha (i),i}f(e_{\alpha (1)},e_{\alpha (2)},\mathrm{\dots },e_{\alpha (n)}).$$

où $ℱ$ désigne l’ensemble des applications de $\{1,\mathrm{\dots },n\}$ sur $\{1,\mathrm{\dots },n\}$. Une application $n$-linéaire est donc complètement déterminée par la donné des $n^n$ vecteurs $f(e_{\alpha (1)},e_{\alpha (2)},\mathrm{\dots },e_{\alpha (n)}),\alpha \in {ℱ}_n$ de $𝔽$.

Preuve
(1)–Si la famille est liée, il existe $k$ tel que $x_k={\sum }_{i\ne k}^n{\alpha }_i{x}_i.$
Donc

			$f(\mathrm{\dots },x_{k-1},{\displaystyle \sum _{i\ne k}^n}{\alpha }_i{x}_i,x_{k+1},\mathrm{\dots })$
		$=$	${\displaystyle \sum _{i\ne k}^n}{\alpha }_{i}f(\mathrm{\dots },x_{k-1},x_i,x_{k+1},\mathrm{\dots })$
		$=$	$0$

car il y a au moins deux termes égaux dans chaque suite
$\mathrm{\dots },x_{k-1},x_i,x_{k+1},\mathrm{\dots }$ puisque $i\ne k$.
(2)–On a

			$f(\mathrm{\dots },x_{k-1},x_k+{\displaystyle \sum _{i\ne k}^n}{\alpha }_i{x}_i,x_{k+1},\mathrm{\dots })$
		$=$	${\displaystyle \sum _{i\ne k}^n}{\alpha }_i{x}_{i}f(\mathrm{\dots },x_{k-1},x_i,x_{k+1},\mathrm{\dots })$
		$+$	$f(\mathrm{\dots },x_{k-1},x_k,x_{k+1},\mathrm{\dots })$
		$=$	$f(\mathrm{\dots },x_{k-1},x_k,x_{k+1},\mathrm{\dots }).$

car il y a au moins deux termes égaux dans chaque suite
$\mathrm{\dots },x_{k-1},x_i,x_{k+1},\mathrm{\dots }$ puisque $i\ne k$.
(3)–Le développement de $f(\mathrm{\dots },x_i+x_j,\mathrm{\dots },x_i+x_j,\mathrm{\dots })$ qui vaut 0 donne

$$f(\mathrm{\dots },x_i,\mathrm{\dots },x_j,\mathrm{\dots })+f(\mathrm{\dots },x_j,\mathrm{\dots },x_i,\mathrm{\dots })+0+0=0.$$

D’où

$$f(\mathrm{\dots },x_i,\mathrm{\dots },x_j,\mathrm{\dots })=-f(\mathrm{\dots },x_j,\mathrm{\dots },x_i,\mathrm{\dots }).$$

Preuve de (1) Supposons la propriété (3) pour tout $(x_1,\mathrm{\dots },x_n)\in {𝔼}^n$ et tout $\sigma \in {𝒮}_n$. Considérons un $n$-uplet dans lequel $x_i=x_j$ avec . et soit $\tau$ la transition $(i,j)$. On a alors

	$-f(x_1,\mathrm{\dots },x_n)$	$=$	$ϵ(\tau )f(x_1,\mathrm{\dots },x_n)=f(x_{\tau (1)},x_{\tau (2)},\mathrm{\dots },x_{\tau (n)})$
		$=$	$f(\mathrm{\dots },x_{i-1},x_j,x_{i+1},\mathrm{\dots },x_{j-1},x_i,x_{j+1},\mathrm{\dots })$
		$\stackrel{x_i=x_j}{=}$	$f(x_1,\mathrm{\dots },x_n).$

Donc $f(x_1,\mathrm{\dots },x_n)=0$.
Réciproquement, supposons $f$ alternée. Alors $f$ est antisymétrique et donc la propriété (3) est vérifiée pour toute transposition.
Comme toute permutation est le produit de transpositions et que la signature d’un produit de transpositions est le produit des signatures, la propriété (3) est vérifiée pour tout $\sigma \in {𝒮}_n$.

$f(x_1,\mathrm{\dots },x_n)$

$=$

${\displaystyle \sum _{\sigma \in {𝒮}_n}}{\displaystyle \prod _{i=1}^n}{a}_{\sigma (i),i}f(e_{\sigma (1)},e_{\sigma (2)},\mathrm{\dots },e_{\sigma (n)})$

De plus, on a

$$f(e_{\alpha (1)},e_{\alpha (2)},\mathrm{\dots },e_{\alpha (n)})=ϵ(\sigma )f(e_1,e_2,\mathrm{\dots },e_n)$$

où $ϵ(\sigma )\in \{-1,1\}$ est la signature de $\sigma$.
Preuve de (2) Utilisant les expressions des $x_i$ dans la base $(e_1,\mathrm{\dots },e_n)$ et développant la forme $n$-linéaire conduit à la somme de $n^n$ termes qui sont des produits
différents du type ${\prod }_{i=1}^n{a}_{i,k_i}f(e_{k_1},\mathrm{\dots },e_{k_n})$ apparaissant dans (2). Tous les termes où figurent au moins deux indices $k_i$ et $k_j$ égaux sont nuls. La somme comporte donc les seuls termes tels que l’application

$$\{1,\mathrm{\dots },n\}\to \sigma (i)=k_i$$

est injective et donc bijective. Ainsi, on doit sommer sur ${𝒮}_n$ et non sur ${ℱ}_n$. Enfin, l’utilisation de la relation (3 ) termine la preuve.

	$\mathrm{d}et(x_{\phi (1)},\mathrm{\dots },x_{\phi (n)})$	$=$	${\displaystyle \sum _{\sigma \in {𝒮}_n}}ϵ(\sigma ){\displaystyle \prod _{j=1}^n}{a}_{\sigma (j),\phi (j)}$
		$\stackrel{j={\phi }^{-1}(i)}{=}$	${\displaystyle \sum _{\sigma \in {𝒮}_n}}ϵ(\sigma ){\displaystyle \prod _{i=1}^n}{a}_{\sigma {\phi }^{-1}(i),i}$
		$\stackrel{\theta =\sigma {\phi }^{-1}}{=}$	${\displaystyle \sum _{\theta \in {𝒮}_n}}ϵ(\theta \phi ){\displaystyle \prod _{i=1}^n}{a}_{\theta (i),i}$
		$=$	${\displaystyle \sum _{\theta \in {𝒮}_n}}ϵ(\theta ){\displaystyle \prod _{i=1}^n}{a}_{\theta (i),i}=ϵ(\phi )\mathrm{d}et(x_1,\mathrm{\dots },x_n)$

puisque $ϵ(\theta \phi )=ϵ(\theta )ϵ(\phi )$ et que
$\sigma \to \theta =\sigma {\phi }^{-1}$ est une bijection sur ${𝒮}_n$.
Preuve de (3) Conséquence directe des points précédents.

Comme ${\mathrm{d}et}_{{ℬ}^{\prime }}$ est une forme $n$-linéaire alternée, on peut prendre $f={\mathrm{d}et}_{{ℬ}^{\prime }}$ dans
(4). On obtient

$$\underset{{ℬ}^{\prime }}{\mathrm{d}et}(x_1,\mathrm{\dots },x_n)=\underset{ℬ}{\mathrm{d}et}(x_1,\mathrm{\dots },x_n)\underset{{ℬ}^{\prime }}{\mathrm{d}et}(e_1,\mathrm{\dots },e_n).$$

Comme ${\mathrm{d}et}_{{ℬ}^{\prime }}(e_1,\mathrm{\dots },e_n)={\mathrm{d}et}_{{ℬ}^{\prime }}(ℬ)$, on obtient

$$\underset{{ℬ}^{\prime }}{\mathrm{d}et}(x_1,\mathrm{\dots },x_n)=\underset{{ℬ}^{\prime }}{\mathrm{d}et}(ℬ)\underset{ℬ}{\mathrm{d}et}(x_1,\mathrm{\dots },x_n).$$

Si le système $𝒳=(x_1,\mathrm{\dots },x_n)$ est libre, il forme une base et en prenant $(e_1^{\prime },\mathrm{\dots },e_n^{\prime })=𝒳$, on obtient

$$\underset{𝒳}{\mathrm{d}et}(𝒳)=\underset{𝒳}{\mathrm{d}et}(ℬ)\underset{ℬ}{\mathrm{d}et}(𝒳).$$

Comme ${\mathrm{d}et}_{𝒳}(𝒳)=1$, on a ${\mathrm{d}et}_{ℬ}(𝒳)\ne 0$.
Réciproquement, le déterminant d’une famille liée est nul puisque le déterminant est une forme alternée.
Déterminant d’une matrice carrée
Le déterminant d’une matrice carrée $𝐀=(a_{i,j})$ est, par définition, le déterminant des vecteurs colonnes de cette matrice dans la base canonique de ${𝕂}^n$. On a donc

$$\mathrm{d}et(𝐀)=\sum _{\sigma \in {𝒮}_n}ϵ(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$$

On peut aussi le définir par le scalaire définissant $𝐀$ pour $n=1$ et pour $n>1$, par le scalaire défini
récursivement par :

$$\mathrm{d}et(𝐀)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{(-1)}^{i+j}{a}_{ij}\mathrm{d}et({𝐀}_{ij}^{+})$$

où ${𝐀}_{ij}^{+}$ désigne la matrice
d’ordre $n-1$ obtenu en supprimant dans $𝐀$ la ligne $i$ et la colonne $j$.
Déterminant d’une famille de vecteurs et déterminant d’une matrice
Soit $𝔼\ne \{0\}$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur un corps $𝕂$, $ℬ$ une base de $𝔼$ et $(x_1,\mathrm{\dots },x_n)$ une famille de $n$ vecteurs. Le déterminant de $(x_1,\mathrm{\dots },x_n)$ est la valeur de ${\mathrm{d}et}_{ℬ}$ au point $(x_1,\mathrm{\dots },x_n)\in {𝕂}^n$.
Soit ${𝐗}_{ℬ}$ la matrice dont la colonne $j,j=1,\mathrm{\dots },n$ est formée par les composantes de $x_j$ dans la base $ℬ$, on a par définition

$$\mathrm{d}et({𝐗}_{ℬ})=\underset{ℬ}{\mathrm{d}et}(x_1,\mathrm{\dots },x_n).$$

Le déterminant d’une matrice est forcément une évaluation relative à une base. Si aucune base n’est précisée, il s’agit de la base canonique de ${𝕂}^n$. On verra plus loin que cette évaluation est la même lorsqu’on remplace la matrice par une matrice qui lui est semblable.

Démontrons le point (1). Comme $𝒮$ est un groupe et que $ϵ(\sigma )=\pm 1$, la relation $\sigma {\sigma }^{-1}=I_d$ donne
$ϵ({\sigma }^{-1})=ϵ(\sigma )$. On obtient ensuite

	$\mathrm{d}et({𝐀}^t)$	$=$	${\displaystyle \sum _{\sigma \in {𝒮}_n}}ϵ(\sigma ){\displaystyle \prod _{i=1}^n}{a}_{\sigma (i),i}\stackrel{j=\sigma (i)}{=}{\displaystyle \sum _{\sigma \in {𝒮}_n}}ϵ({\sigma }^{-1}){\displaystyle \prod _{j=1}^n}{a}_{j,{\sigma }^{-1}(j)}$
		$\stackrel{\phi =\sigma }{=}$	${\displaystyle \sum _{\phi \in {𝒮}_n}}ϵ(\phi ){\displaystyle \prod _{j=1}^n}{a}_{j,\phi (j)}=\mathrm{d}et(𝐀).$

Déterminant d’un endomorphisme
Soit $𝔼\ne \{0\}$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur un corps $𝕂$ et $\phi$ un endomorphisme de ${ℒ}_n(𝔼)$. Soient $𝐀$ et ${𝐀}^{\prime }$ les matrices de $\phi$ dans les bases $ℬ$ et ${ℬ}^{\prime }$. On sait que ces deux matrices sont semblables (${𝐀}^{\prime }={𝐏}^{-1}𝐀$$𝐏$) et donc
on a $\mathrm{d}et({𝐀}^{\prime })=\mathrm{d}et(𝐀)$. Le scalaire $\mathrm{d}et(𝐀)$ ne dépend pas de la base choisie pour construire la matrice qui représente $\phi$, on le dénomme déterminant de $\phi$ et on le note simplement
$\mathrm{d}et(\phi )$. Le déterminant d’un endomorphisme de ${ℒ}_n(𝔼)$ est donc indépendant de toute base de $𝔼$.
Orientation d’une base d’un $ℝ$-espace vectoriel
Consirérons la relation définie sur l’ensemble des bases d’un espace vectoriel réel de dimension finie par :

$$ℬ\sim {ℬ}^{\prime }\underset{ℬ}{\mathrm{d}et}({ℬ}^{\prime })>0.$$

On vérifie que l’on a une relation d’équivalence. Deux bases équivalentes sont dites de même orientation. Il existe donc deux orientations possibles seulement : la classe des bases dites directes (${\mathrm{d}et}_{ℬ}({ℬ}^{\prime })>0$) et celle des bases dites indirectes ().
Orienter un espace $𝔼$, c’est choisir une base $ℬ$ et décider arbitrairement qu’elle est directe. Alors toutes celles qui sont dans la classe de $ℬ$ sont directes et les autres sont indirectes.
Pour justifier qu’il n’y a que deux orientations possibles, on montre que si $ℬ$ n’a pas la même orientation que ${ℬ}^{\prime }$ et ${ℬ}^{\prime \prime }$ , alors ces deux dernières ont la même orientation. Il suffit d’utiliser la relation

$$\underset{ℬ}{\mathrm{d}et}({ℬ}^{\prime \prime })=\underset{ℬ}{\mathrm{d}et}({ℬ}^{\prime })\underset{{ℬ}^{\prime }}{\mathrm{d}et}({ℬ}^{\prime \prime })=\frac{{\mathrm{d}et}_{ℬ}({ℬ}^{\prime \prime })}{{\mathrm{d}et}_{ℬ}({ℬ}^{\prime })}.$$

Si $ℬ$ et ${ℬ}^{\prime }$ sont deux bases de $𝔼$, on a

$$\underset{ℬ}{\mathrm{d}et}f({ℬ}^{\prime })=\mathrm{d}et(f)\underset{ℬ}{\mathrm{d}et}({ℬ}^{\prime }).$$

Si $\mathrm{d}et(f)>0$, l’image de toute base directe (resp. indirecte) est aussi une base directe (resp. indirecte).
Si , l’image de toute base directe (resp. indirecte) est une base indirecte (resp. directe).