Section17: Espace euclidien, Produit scalaire à valeurs dans \mathbb{R}

1.1 Forme bilinéaire symétrique définie positive

Une forme bilinéaire est une fonction scalaire $B$
définie sur $\mathbb{E}\times\mathbb{E}$ linéaire par rapport à la première variable et
linéaire par rapport à la deuxième.
La forme $B$ est dite :

1.

symétrique si

$B(x,y)=B(y,x)\quad\forall x,y\in\mathbb{E}$
2.

définie non négative $(B\geq 0)$ si

$B(x,x)\geq 0\quad\forall x\in\mathbb{E}$
3.

définie positive $(B>0)$ si

$B(x,x)>0\quad\forall x\neq 0\in\mathbb{E}$

Toute forme bilinéaire définie positive $B$ définit un produit
scalaire sur l’espace $\mathbb{E}$ . L’expression $B(x,y)$ s’appelle produit scalaire
de $x$ et $y$ . On dit que $x$ est orthogonal à $y$ si $B(x,y)=0$ .
Cela équivaut à dire que $y$ est alors orthogonal à $x$ en vertu de
la symétrie. On dit aussi que $x$ et $y$ sont orthogonaux. Il est
clair que la notion d’orthogonalité dépend de la forme $B$ qui définit le
produit scalaire. L’application qui à tout vecteur $x\in\mathbb{E}$ associe le
le nombre positif

\|x\|=B(x,x)^{1/2}

(1)

définit une norme. Le nombre $\|x\|$ est appelé
norme de $x$ . Cette norme permet aussi de définir une métrique.
On fixe un produit scalaire qui sera noté $\prec,\succ$ et qui définira la topologie sur $\mathbb{E}$ . L’espace topologique $(\mathbb{E},B)$ est appelé espace euclidien. On peut alors définir sur cet espace d’autres produits scalaires en introduisant des endomorphismes symétriques par rapport au produit scalaire $B$ .
Expression matricielle d’un produit scalaire
Soit $\mathbb{E}$ un espace vectoriel de dimension $n$ muni d’un produit scalaire défini par une forme bilinéaire $B$ . Soit ${\bf B}$ la matrice de cette forme dans une base $\{{\bf u}_{1},\ldots,{\bf u}_{n}\}$ . L’expression du produit scalaire sous forme matricielle est donnée par

B({\bf x},{\bf y})=B(\sum_{i=1}^{n}x_{i}{\bf u}_{1},\sum_{j=1}^{n}y_{j}{\bf v}% _{j})=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}B({\bf u}_{1},{\bf v}_{j}).

Sous forme matricielle, ce produit scalaire s’écrit:

B({\bf x},{\bf y})=^{t}X{\bf B}Y=^{t}Y{\bf B}X

puisque la matrice ${\bf B}$ est symétrique.
Si ${\bf u}_{1},\ldots,{\bf u}_{n}$ forment une base ${\bf B}$ -orthogonale de $\mathbb{E}$ , i.e, $B({\bf u}_{1},{\bf v}_{j})=\delta_{i,j}$ , on obtient

B({\bf x},{\bf y})=\prec{\bf x}),\,{\bf y}\succ=^{t}X\,Y=^{t}Y\,X.

Cette notation sera réservée pour désigner le produit scalaire de base dans un repère $B$ -orthonormé. On sera conduit à manipuler d’autres produits scalaires. Un endomorphisme $f$ est dit symétrique par rapport au produit scalaire $B$ s’il vérifie

B(f({\bf x}),{\bf y})=B({\bf x},f({\bf y}))\quad\forall{\bf x}.\,{\bf y}

Si $S$ désigne la matrice de $f$ , la produit scalaire s’écrit :

{}^{t}(SX)B\,Y=^{t}X\,{\bf B}SY,\quad\forall X,Y.

La matrice $S$ d’un endomorphisme symétrique vérifie donc la condition

{}^{t}S{\bf B}={\bf B}S.

Dans une base orthonormée, on a ${\bf B}=I_{d}$ et $S$ vérifie ${}^{t}S=S$ . Donc un endomorphisme $B$ -symétrique est représenté par une matrice symétrique dans une base orthonormée pour $B$ . Attention, une matrice symétrique ne représente un endomorphisme symétrique que si la base considérée est une base $B$ -orthonormée. Si $f$ est un endomorphisme quelconque de matrice $A$ , on a toujours l’identité importante suivante

\prec AX,Y\succ=\prec X,\,^{t}AY\succ\quad\forall X,Y

dont la valeur est donnée par ${}^{t}XAY$ dans le cas où la base est orthonormée. Pour le voir, il suffit d’utiliser le fait que le transposé d’un scalaire est égal au scalaire lui-même. Lorsqu’on dispose d’un produit scalaire dans un espace vectoriel, il est souvent très commode de l’utiliser pour établir certaines démonstrations. De plus, la forme matricielle du produit scalaire se manipule facilement comme le montrent les exemples suivants.

FX=0\quad\Leftrightarrow\quad X\in\operatorname{Im}(^{t}F)^{\perp}\quad% \Rightarrow\quad\ker(f)\subset\operatorname{Im}(^{t}F)^{\perp}

Réciproquement

$\displaystyle X\in\operatorname{Im}[(^{t}F)^{\perp}]\quad$	$\displaystyle\Leftrightarrow$	$\displaystyle\quad\prec X,^{t}FY\succ=0\quad\forall Y$
	$\displaystyle\Leftrightarrow$	$\displaystyle\quad\prec FX,Y\succ=0\quad\forall Y$
	$\displaystyle\Leftrightarrow$	$\displaystyle\quad FX=0\quad\mbox{prendre}\quad Y=FX$
	$\displaystyle\Leftrightarrow$	$\displaystyle\quad X\in\ker(F)$

On obtient donc les résultats suivants.

\ker(F)=\operatorname{Im}(^{t}F)^{\perp}\quad et\quad\operatorname{Im}(F)=\ker% (^{t}F)^{\perp}

A titre d’application, on vérifie que si $F$ est une matrice unitaire $(^{t}AA=I_{d})$ , on a

\mathbb{E}=\ker(F-I_{d})\oplus\operatorname{Im}(F-I_{d})

En effet, on a toujours

\mathbb{E}=\ker(F-I_{d})\oplus\ker(F-I_{d})^{\perp}

Comme

$\displaystyle\ker(F-I_{d})^{\perp}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\operatorname{Im}(^{t}F-I_{d})$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\operatorname{Im}[^{t}FF-F]\quad\mbox{car F inversible}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\operatorname{Im}[I_{d}-F]=\operatorname{Im}[F-I_{d}]\quad\mbox{ % car }{{}^{t}FF=I_{d}}$

on obtient le résultat.
Soit $\mathcal{B}$ une base de $\mathbb{E}$ et
$A$ la matrice symétrique définie positive qui définit le produit scalaire dans cette base.
Si l’on désigne par $M$ la matrice de $u$ et par $X$ et $Y$ les composantes de $x$ et $y$ dans la base $\mathcal{B}$ , on
obtient :

{\prec}x,u(y){\succ}=^{t}XA(MY)=^{t}X(AM)Y).

Ainsi, l’application $\varphi$ est défini matriciellement par :

A_{\varphi}:{\mathcal{M}}_{n}(\mathbb{R})\mapsto{\mathcal{M}}_{n}(\mathbb{R}):% M\mapsto AM

Comme $A$ est inversible, $A_{\varphi}$ est un isomorphisme et $\varphi$ aussi.
Si $\mathcal{B}$ est une base orthonormée, alors $A=I_{d}$ et les applications $\varphi$ et $\varphi_{u}$ ont la
même matrice dans cette base.

1.2 Quelques applications du produit scalaire

Proposition 1.1

Construction de formes bilinéaires symétriques
Soit $\mathbb{E}$ un espace vectoriel euclidien, $u\in\mathbb{L}(\mathbb{E})$ et $B$ la forme bilinéaire définie par

B_{u}:(x,y)\in\mathbb{E}^{2}\quad\rightarrow\quad B_{u}(x,y)=\prec u(x),y\succ.

(1)–Alors $B_{u}$ est symétrique si, et seulement si, $u$ est symétrique ( $u\in S(\mathbb{E})$ )
(2)–La forme $B_{u}$ est symétrique positive si, et seulement si, $u\in S(\mathbb{E})$ et $Sp(u)\subset\mathbb{R}^{+}$ .
(3)–La forme $B_{u}$ est un produit scalaire euclidien si, et seulement si, $u\in S(\mathbb{E})$ et $Sp(u)\subset\mathbb{R}^{+*}$ .

Proposition 1.2

: Majoration des valeurs propres d’un endomorphisme
Soit $\mathbb{E}$ un espace vectoriel euclidien, $u$ un endomorhisme de $\mathbb{L}(\mathbb{E})$ et $Sp_{u}(\mathbb{R})$ son spectre réel. Alors on a les résultats suivants.
(1) Si $u\in S(\mathbb{E})$ , ensemble des endomorphismes symétriques, alors l’application :

f_{u}:\mathbb{E}\rightarrow\mathbb{R}^{+},x\rightarrow f_{u}(x)=\frac{\prec u(% x),x\succ}{\|x\|}

est continue et on a :

\{f_{u}(x),x\in\mathbb{E}\backslash\{0\}\}\subset[\lambda_{min},\lambda_{max}].

(2) Si $A\in S_{n}(\mathbb{R})$ et $\lambda_{min}$ ( $\lambda_{max}$ ) désignent la plus petite (grande) valeur propres de $A$ , alors on a :

\{\frac{{}^{t}XAX}{{}^{t}XX},X\in M_{n,1}\backslash\{0\}\}\subset[\lambda_{min% },\lambda_{max}].

(3) Si $u\in\mathbb{L}(\mathbb{E})$ , alors ses valeurs propres appartiennent au segment
$[\lambda_{min},\lambda_{max}]$ associé à $s=\frac{1}{2}(u+^{t}u)$ .

Proposition 1.3

Soit $e_{1},\ldots,e_{n}$ une base orthonormée de vecteurs propres de $u$ .
Alors on a

\prec u(x),x\succ=\prec\sum_{i=1}^{n}u(x_{i}e_{i}),\sum_{i=1}^{n}x_{i}\succ=% \prec\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}e_{i},\sum_{i=1}^{n}x_{i}\succ=\sum_{i=1}^{% n}\lambda_{i}|x_{i}|^{2}

D’où

{\|x\|}^{2}\lambda_{min}\leq\quad\prec u(x),x\succ\quad\leq\lambda_{max}{\|x\|% }^{2}

puis

f(x)=\frac{\prec u(x),x\succ}{\|x\|^{2}}\in[\lambda_{min},\lambda_{max}].

La fonction $f$ atteint ses bornes puisque troutes ses valeurs propres sont dans $\mathbb{R}$ .
Pour démontrer que toute valeur de $[\lambda_{min},\lambda_{max}]$ est atteinte il suffit de démontrer que
l’ensemble

\{\frac{\prec u(x),x\succ}{\|x\|^{2}},\quad x\in\mathbb{E}\}

est connexe par arcs puisque $f$ est une fonction continue en tant que fraction rationnelle des composantes de $x$ .
(1) Si $\mathbb{E}$ est une droite vectorielle c’est évident.
(2) $(x,y)\in\mathbb{E}^{2}$ non liés, l’application $\phi$ de $\mathbb{C}$ dans $\operatorname{Vect}(x,y)$ ,

\phi:\alpha+i\beta\rightarrow\phi(\alpha+i\beta)=\alpha x+\beta y

est continue. Si $(x,y)$ lié, il existe $z$ tel que $(x,y)$ libre et $(x,y)$ libre et on procède
comme ce qui précède. Donc l’ensemble est connexe.
L’application $s=\frac{1}{2}(u+^{t}u)$ est symétrique et on a

\prec\frac{1}{2}(u+^{t}u)(x),x\succ=\frac{1}{2}\prec(u+^{t}u)(x),x\succ=\frac{% 1}{2}[\prec u(x),x\succ+\prec a,u(x)\succ]=\prec u(x),x\succ.

Si $\alpha_{i}$ est une valeur propre réelle de $u$ , on a

\frac{\prec\frac{1}{2}(u+^{t}u)(x),x\succ}{\|x\|}=\frac{\prec u(x),x\succ}{\|x% \|}=\alpha_{i}.

Proposition 1.4

: Norme d’un endomorphisme et spectre
(1) Soit $u\in S(\mathbb{E})$ . Alors

|||u|||=\sup\{|\lambda|,\lambda\in\operatorname{Sp}(u)\}

(2) Soit $u\in\mathcal{L}(\mathbb{E})$ et $A$ la matrice de $u$ dans une base orthonorméé de $\mathbb{E}$ . Alors

|||u|||=\sup\{\sqrt{\lambda},\lambda\in Sp_{\mathbb{R}}(^{t}AA)\}

Proposition 1.5

: Spectre positif
Soit $A\in S_{n}(\mathbb{R})$ . Alors les propositions suivantes sont équivalentes.
(1) Les valeurs propres de $A$ sont non-négative:

Sp(A)\subset\mathbb{R}^{+}

(2) La matrice $A$ est égale au carré d’une matrice symétrique

\exists B\in S_{n}^{+}(\mathbb{R})\quad\mbox{tel que }\quad A=B^{2}

(2) La matrice $A$ est égale au produit d’une matrice par sa transposée :

\exists B\in{\mathcal{M}}_{n}(\mathbb{R})\quad\mbox{tel que }\quad A=^{t}BB

(3) La forme quadratique associée à $A$ ne prend pas de valeurs négatives :

\forall X\in M_{n,1}(\mathbb{R})\quad\mbox{on a}\quad^{t}XAX\geq 0

(4) Il existe une famille de $n$ matrices colonnes telle que $A$ soit la matrice de Gram de cette famille:

\forall X_{1},\ldots,X_{n}\in M_{n,1}(\mathbb{R})\quad\mbox{tels que}\quad A=(% ^{t}X_{i}X_{j})

Proposition 1.6

: Spectre strictement positif
Soit $A\in S_{n}(\mathbb{R})$ . Alors les propositions suivantes sont équivalentes.
(1) Les valeurs propres de $A$ sont strictement positives :

Sp(A)\subset\mathbb{R}^{+*}

(2) La matrice $A$ est égale au carré d’une matrice symétrique inversible

\exists B\in S_{n}^{+*}(\mathbb{R})\quad\mbox{tel que }\quad A=B^{2}

(2) La matrice $A$ est égale au produit d’une matrice inversible par sa transposée :

\exists B\in GL_{n}(\mathbb{R})\quad\mbox{tel que }\quad A=^{t}BB

(3) La forme quadratique associée à $A$ ne prend que des valeurs positives et ne prend la valeur zéro que si $x=0$ :

\forall X\in M_{n,1}(\mathbb{R})\backslash\{0\}\quad\mbox{on a}\quad^{t}XAX>0

(4) Il existe une famille libre de $n$ matrices colonnes telle que $A$ soit la matrice de Gram de cette famille:

\exists X_{1},\ldots,X_{n}\in M_{n,1}(\mathbb{R}),\quad\mbox{base de }\mathbb{% E}\quad\mbox{telle que}\quad A=(^{t}X_{i}X_{j})

Proposition 1.7

Groupe orthogonal dans un espace vectoriel euclidien
Considérons les sous-ensembles suivants d’un espace euclidien $\mathbb{E}$ :

O(\mathbb{E})=\{u\in\mathcal{L}(\mathbb{E}),\quad u\mbox{ : isometrie}\}

SO(\mathbb{E})=\{u\in\mathcal{L}(\mathbb{E}),\quad u\mbox{ : isometrie, \, \, % \, }\operatorname{det}(u)=1\}=\{\mbox{ rotations de }\mathbb{E}\}

O_{n}(\mathbb{R})=\{A\in{\mathcal{M}}_{n}(\mathbb{R}),\quad^{t}AA=I_{d}\}

SO_{n}(\mathbb{R})=\{A\in{\mathcal{M}}_{n}(\mathbb{R}),\quad^{t}AA=I_{d},\quad% \operatorname{det}(A)=1\}

Alors

O(\mathbb{E}),\quad SO(\mathbb{E}),\quad O_{n}(\mathbb{R})\quad{\rm et}\quad SO% _{n}(\mathbb{R})

sont respectivement des sous-groupes de

GL(\mathbb{E}),\quad GL(\mathbb{E}),\quad GL_{n}(\mathbb{R})\quad{\rm et}\quad GL% _{n}(\mathbb{R}).

Proposition 1.8

: Diagonalisation simultanée de 2 matrices symétriques
Soient $A\in S_{n}^{+*}(\mathbb{R})$ et $A\in S_{n}(\mathbb{R})$ . Alors

\exists P\in GL_{n}(\mathbb{R})\quad\mbox{tels que}\quad^{t}PAP=I_{d},\quad^{t% }PBP=D

où $D$ désigne une matrice diagonale.

Proposition 1.9

Caractérisation d’un projecteur orthogonal
Soit $p$ un projecteur $(\Leftrightarrow p^{2}=p\Leftrightarrow\mathbb{E}=\operatorname{Im}(p)\oplus% \ker(p))$ .
(1) $p$ est orthogonal ssi $p$ est symétrique
(2) $p$ est orthogonal ssi $|||p|||\leq 1$
(3) L’ensemble des projecteurs orthogonaux $P_{0}$ , est donné par l’intersection des deux ensembles suivants

P=\{p\quad\mbox{tel que}\quad p^{2}-p=0\}

P_{0}=\bigcap_{(x,y)\in\mathbb{E}^{2}}\{p\quad\mbox{tel que}\quad<p(x),y>-<x,p% (y)>=0\}

(4) L’ensemble des projecteurs orthogonaux $P\cap P_{0}$ est compact dans $\mathcal{L}(\mathbb{E})$ .

1.3 Projecteur orthogonal, Symétrie orthogonale, Isométrie

Proposition 1.10

Projecteur orthogonal en dimension finie
Soit $\mathbb{E}$ un espace vectoriel de dimension $n$ muni d’un produit scalaire défini par une matrice ${\bf M}$ (symétrique et définie positive). Sous forme matricielle, ce produit scalaire s’écrit:

\prec{\bf u},{\bf v}\succ={\bf u}^{T}{\bf M}{\bf v}.

(1) Si ${\bf u}_{1},\ldots,{\bf u}_{n}$ forment une base ${\bf M}$ -orthogonale de $\mathbb{E}$ , alors on a

\sum{\bf u}_{i}{\bf u}_{i}^{T}={\bf M}^{-1}.

(2) Une matrice ${\bf A}$ est autoadjointe par rapport à ce produit scalaire ( ${\bf M}$ -autoadjointe) si, et seulement si :

{\bf M}{\bf A}={\bf A}^{T}{\bf M}.

Une telle matrice est alors diagonalisable, ses valeurs propres sont réelles et ses vecteurs propres
sont ${\bf M}$ -orthogonaux deux à deux.
(3) Soient $\mathbb{F}$ un espace engendré par ${\bf u}_{1},\ldots,{\bf u}_{m}$ ,
${\bf X}$ la matrice admettant ces vecteurs comme colonnes et ${\bf P}$ la matrice du projecteur orthogonal
sur $\mathbb{F}$ . Alors, on a les résultats suivants.

1.

Si les vecteurs ${\bf u}_{1},\ldots,{\bf u}_{m}$ sont linéairement indépendants, alors la matrice

${\bf\widehat{X}}={\bf X}^{T}{\bf M}{\bf X}$

est inversible et on a :

${\bf P}={\bf X}\,{\bf\widehat{X}}^{-1}\,{\bf X}^{T}{\bf M}.$ (2)
2.

Si les vecteurs ${\bf u}_{1},\ldots,{\bf u}_{m}$ ne sont pas forcément indépendants, alors

${\bf P}={\bf X}\,{\bf\widehat{X}}^{-}\,{\bf X}^{T}{\bf M}$ (3)

où ${\bf\widehat{X}}^{-}$ est la matrice pseudo-inverse de Moore-Penrose de la matrice ${\bf\widehat{X}}$ .

Preuve
Le projecteur ${\bf P}$ vérifie

\prec{\bf y}-{\bf P}{\bf y},{\bf u}_{i}\succ=0,\quad 1\leq i\leq m.

De plus, il existe ${\bf b}$ tel que ${\bf P}{\bf y}={\bf X}{\bf b}$ . On obtient

{\bf X}^{T}{\bf M}{\bf y}={\bf X}^{T}{\bf M}{\bf X}{\bf b}

{\bf b}=({\bf X}^{T}{\bf M}{\bf X})^{-1}\,{\bf X}^{T}{\bf M}{\bf y}.

Si les vecteurs ${\bf u}_{1},\ldots,{\bf u}_{m}$ sont linéairement indépendants, alors la
matrice ${\bf X}$ est de rang plein, ${\bf X}^{T}{\bf M}{\bf X}$ est inversible et on obtient
(2).
Si les vecteurs ${\bf u}_{1},\ldots,{\bf u}_{m}$ ne sont pas linéairement indépendants, alors la
matrice ${\bf X}$ n’est pas de rang plein et donc ${\bf X}^{T}{\bf M}{\bf X}$ n’est pas inversible. la
solution est donnée en utilisant la pseudo-inverse et on obtient
(3).

Proposition 1.11

Pseudo-inverse d’une matrice rectangulaire
Considérons le système linéaire rectangulaire

{\bf A}{\bf x}={\bf y}.

1.

Il existe plusieurs matrices ${\bf A}^{-}$ , appelées pseudo-inverses de ${\bf A}$ ,
telles que

${\bf x}={\bf A}^{-}{\bf y}.$
2.

Il existe au moins une matrice ${\bf A}^{-}$ vérifiant la relation caractéristique

${\bf A}{\bf A}^{-}{\bf A}={\bf A}^{-}.$
3.

Il existe une seule ${\bf A}^{-}$ , notée ${\bf A}^{+}$ et dénommée pseudo-inverse de Moore-Penrose,
vérifiant toutes les conditions suivantes.

${\bf A}^{+}{\bf A}{\bf A}^{+}={\bf A}^{+},\quad{\bf A}{\bf A}^{+}=({\bf A}{\bf A% }^{+})^{T},\quad{\bf A}^{+}{\bf A}=({\bf A}^{+}{\bf A})^{T}.$

Proposition 1.12

Caractérisation d’une isométrie
Une isométrie $u$ est un endomoprhisme orthogonal, i.e, ${}^{t}uu=I_{d}$ . Soit $u\in\mathbb{L}_{n}(\mathbb{R})$ . Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.
(1) $u$ est une isométrie.
(2) $u$ conserve le produit scalaire

\forall x,y\in\mathbb{E},\quad\prec u(x),u(y)\succ=\prec x,y\succ.

(3) $u$ conserve la norme

\forall x\in\mathbb{E},\quad||u(x)||=||x||.

(4)
$u\in GL_{n}(\mathbb{R})$ et la matrice $M$ de $u$ dans une base orthonormée est une matrice orthogonale, i.e,
$M\in O_{n}(\mathbb{R})$ .
(4) $u$ transforme une base orthonormée en une base orthonormée.
(5) Il existe une base orthonormée $\mathcal{B}$ telle que $u(\mathcal{B})$ est une base orthonormée.

Proposition 1.13

Autres propriétés d’une isométrie ??????
Soit $u$ une isométrie. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.
(1) Si $\mathbb{F}$ est stable par $u$ , alors son orthogonal est aussi stable par $u$ .
(2) $\operatorname{det}(u)\in\{-1,+1\}$
(3) $\operatorname{Sp}_{u}(\mathbb{R})\in\{-1,+1\}$
(4) Si ${}^{t}M=M^{-1}$ , alors $\operatorname{Sp}_{u}(\mathbb{C})\in\mathbb{U}$ .

Symétrie orthogonale
Soit $\mathbb{F}$ un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien $\mathbb{E}$ . L’endomorphisme
$s_{F}$ , défini ci-dessous, est appelé symétrie orthogonale.

\forall x=x_{F}+x_{F^{\perp}}\in\mathbb{E}=\mathbb{F}+\mathbb{F}^{\perp},\quad s% _{F}:x\quad\rightarrow\quad s_{F}(x)=x_{F}-x_{F^{\perp}}

Comme $x_{F}=x-x_{F^{\perp}}$ , une deuxième composition conduit à $s_{F}^{2}=I_{d}$ . De plus, $s_{F}$ conserve la norme puisque le théorème de Pythagore permet d’écrire :

||s_{F}(x)||^{2}=||x_{F}-x_{F^{\perp}}||^{2}=||x_{F}||+||x_{F^{\perp}}||^{2}=|% |x_{F}+x_{F^{\perp}}||^{2}=||x||^{2}.

Comme $s_{F}\in\mathbb{L}(\mathbb{E})$ , alors $s_{F}\in O(\mathbb{E})$ . Soit $B_{F}$ une base orthonormée de $\mathbb{F}$ et
$B_{F^{\perp}}$ une base orthonormée de $\mathbb{F}^{\perp}$ , alors $B_{F}\cup B_{F^{\perp}}$ est une base orthonormée de $\mathbb{E}$ dans laquelle la matrice de $s_{F}$ est la matrice diagonale :
$\operatorname{Diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1)$ contenant 1 dans les $m=\operatorname{dim}(\mathbb{F})$ premières colonnes et $-1$ dans les $n-m$
suivantes. On a donc

s_{F}\in O(\mathbb{E})\Leftrightarrow\operatorname{det}(s_{F})=(-1)^{n-m}=1% \Leftrightarrow\operatorname{dim}(\mathbb{F})-\operatorname{dim}(\mathbb{F}^{% \perp})=m-n=\mbox{ paire}.

Réflexion orthogonale
Soit $a$ un vecteur non nul d’un espace vectoriel euclidien $\mathbb{E}$ . On appelle réflexion orthogonale
de vecteur $a$ , la symétrie orthogonale $s_{F}$ avec $\mathbb{F}=\operatorname{Vect}(a)^{\perp}$ . On la note
$\sigma_{A}$ et on a donc

\forall x\in\mathbb{E},\quad\sigma_{A}(x)=x-2\frac{\prec x,a\succ}{||a||}a.

1.4 Complexification d’un espace euclidien

Au lieu de considérer l’espace $\mathbb{E}$ sur le corps des réels, Il est souvent plus commode de le complexifier en prenant les scalaires sur le corps $\mathbb{C}$ . Cela revient à considérer les scalaires réels comme éléments de $\mathbb{C}$ . Le complexifié $\mathbb{E}_{c}$ de $\mathbb{E}$ est donc l’espace des combinaisons linéaires à coefficients sur $\mathbb{C}$ et le produit scalaire qui devient produit hermitien se définit en conjuguant la seconde composante (par convention).

\prec x,y\succ=\sum x_{k}y_{k}^{*}

Les bases réelles de $\mathbb{E}$ sont aussi des bases de $\mathbb{E}_{c}$ appelées bases réelles mais on peut évidemment prendre des bases dont les vecteurs sont complexes.
Soit $f$ un endomorphisme de $\mathcal{L}(\mathbb{E})$ et $A\in{\mathcal{M}}_{n}(\mathbb{R})$ sa matrice dans une base donnée de $\mathbb{E}$ . Le complexifié $f_{c}$ de $f$ est un endomrphisme de $\mathcal{L}(\mathbb{E}_{c})$ qui est défini par la matrice $F$ de $f$ qui reste évidemment à coefficients réels mais sera vue comme élément de ${\mathcal{M}}_{n}(\mathbb{C})$ .
L’endomorphisme $f_{c}$ est réel dans le sens où il transforme un vecteur réel en un vecteur réel.

f(x)=\lambda x\quad\Leftrightarrow\quad\bar{f}(\bar{x})=f(\bar{x})=\bar{% \lambda}\bar{x}.

Donc si ${\lambda}\in\mathbb{C}$ est une valeur propre de $f$ associé à $x$ , alors
$\bar{\lambda}$ est aussi une valeur propre de $f$ associé à $\bar{x}$ . Ainsi pour un endomorphisme réel si $\lambda$ est valeur propre alors $\bar{\lambda}$ l’est aussi.
Si $f$ est auto-adjoint pour un produit scalaire donné, alors $f_{c}$ est aussi auto-adjoint pour le même produit scalaire. En effet, une base orthonormée de $\mathbb{E}$ est aussi une base orthonormée de $\mathbb{E}_{c}$ .
Nous présentons dans cette section les propriétés d’endomorphismes particuliers dans le cas d’un produit scalaire à valeurs dans $\mathbb{R}$ . Ces propriétés seront étendues dans la section suivante au cas d’un produit scalaire à valeurs dans $\mathbb{C}$ .
On emploi le qualificatif spécifique d’endomorphisme symétrique au lieu d’auto-adjoint qui sera utilisé dans le contexte plus général d’un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel. Dans cette section, un endomorphisme $u$ de $\mathbb{L}(\mathbb{E})$ est dit symétrique s’il vérifie

\forall x,y\in\mathbb{E},\quad\prec u(x),y\succ=\prec x,u(y)\succ

et l’ensemble des endomorphismes symétriques est noté $S(\mathbb{E})$ .

Proposition 1.14

: Noyau et image d’un endomorphisme symétrique
Soit $\mathbb{E}$ un espace vectoriel euclidien et $u\in S(\mathbb{E})$ . Alors on a

\operatorname{Im}(u)=\ker(u)^{\bot}\quad\mbox{et }\quad\operatorname{Im}(u)^{% \bot}=\ker(u).

Proposition 1.15

: Un endomorphisme symétrique est diagonalisable sur $\mathbb{R}$
Soient $\mathbb{E}$ un $\mathbb{R}$ -espace euclidien et $f$ un endomorphisme symétrique sur $\mathbb{E}$ . On a les propriétés suivantes.
(1) Le polynôme caractéristique de $f$ est scindé sur $\mathbb{R}$ .
(2) Les vecteurs propres de $f$ sont réels.
(3) Les espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
(4) $f$ est diagonalisable sur une base orthonormée de vecteurs propres.

Démonstration (1) On note $\mathbb{E}_{c}$ et $f_{c}$ les complexifiés de $\mathbb{E}$ et $f$ . Dans une base réelle les endomorphismes $f$ et $f_{c}$ ont la même matrice. Par conséquent ils ont le même polynôme caractéristique $\chi_{f}$ . Soit $\lambda$ une racine de $\chi_{f}$ . Cette racine existe toujours sur $\mathbb{C}$ qui est algébriquement clos et on va montrer que $\lambda\in\mathbb{R}$ . En effet, $\lambda$ est une valeur propre de $f_{c}$ et si $u$ désigne un vecteur propre associé, on a:

\prec f_{c}(u),u\succ=\lambda\prec u,u\succ\quad\mbox{et}\quad\prec u,f_{c}(u)% \succ=\overline{\lambda}\prec u,u\succ.

Comme $f_{c}$ est auto-adjoint et $u\neq 0$ , on obtient $\lambda=\overline{\lambda}$ .
Ainsi, toutes les racines de $\chi_{f}$ sont réelles et donc $\chi_{f}$ est scindé sur $\mathbb{R}$ .
(2) Soient $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ deux valeurs propres distinctes. Comme elles sont réelles, on a :

\prec f_{c}(u_{1}),u_{2}\succ=\lambda_{1}\prec u_{1},u_{2}\succ=\prec u_{1},f_% {c}(u_{2})\succ=\lambda_{2}\prec u_{1},u_{2}\succ

D’où $(\lambda_{1}-\lambda_{2})\prec u_{1},u_{2}\succ=0$ et donc $u_{1}$ et $u_{2}$ sont orthogonaux.
(3) Soient $\mathbb{E}$ un espace euclidien de dimension $n$ et $f$ un endomorphisme auto-adoint de $\mathbb{E}$ . Raisonnons par récurrence sur $n$ . Pour $n=1$ il n’y a rien à démontrer. Supposons la propriété vraie à l’ordre $n-1$ . D’après le résultat du point (1), $\chi_{f}$ est scindé sur $\mathbb{R}$ . Soient $\lambda$ une valeur propre de $f$ , $u$ un
vecteur propre associé et $\mathbb{F}$ l’espace orthogonal de $\operatorname{Vect}(u)$ . Cet espace est de dimension $n-1$ et il est stable par $f$ , puisque

\forall x\in\mathbb{F},\quad\prec f(x),u\succ=\prec x,\,f(u)\succ)=\lambda% \prec x,\,u\succ=0

et donc $f(x)\in\mathbb{F}$ .
L’espace $\mathbb{F}$ est euclidien en tant que sous espace de $\mathbb{E}$ .
La restriction $f_{\mathbb{F}}$ de $f$ à $\mathbb{F}$ est aussi un endomorphisme auto-adjoint de $\mathbb{F}$ .
Il admet donc une base de vecteurs propres $\{u_{1},\ldots,u_{n-1}\}$ par hypothèse de récurrence.
Ainsi $\{u_{1},\ldots,u_{n-1},\frac{u}{||u||}\}$ est une base de $\mathbb{E}$ constituée de vecteurs propres de $f$ et la propriété est donc vraie pour $n$ .
Le point (4) est évident.